2023高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系撬題文

PAGEPAGE52022高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)考案第八章立體幾何8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系撬題文1．假設(shè)空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，那么正整數(shù)n的取值()A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5答案B解析首先我們知道正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)滿足兩兩距離相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也滿足兩兩距離相等，于是排除A，應(yīng)選B.2．假設(shè)l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，那么“l(fā)⊥m〞是“l(fā)∥α〞的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由“m⊥α且l⊥m〞推出“l(fā)?α或l∥α〞，但由“m⊥α且l∥α〞可推出“l(fā)⊥m〞，所以“l(fā)⊥m〞是“l(fā)∥α〞的必要而不充分條件，應(yīng)選B.3.m，n表示兩條不同直線，α表示平面．以下說法正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)m∥α，n∥α，那么m∥nB．假設(shè)m⊥α，n?α，那么m⊥nC．假設(shè)m⊥α，m⊥n，那么n∥αD．假設(shè)m∥α，m⊥n，那么n⊥α答案B解析A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面，C選項(xiàng)也可以n?α，D選項(xiàng)也可以n∥α或n與α斜交．根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，那么BM與AN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析解法一：取BC的中點(diǎn)Q，連接QN，AQ，易知BM∥QN，那么∠ANQ即為所求，設(shè)BC＝CA＝CC1＝2，那么AQ＝eq\r(5)，AN＝eq\r(5)，QN＝eq\r(6)，∴cos∠ANQ＝eq\f(AN2＋NQ2－AQ2,2AN·NQ)＝eq\f(5＋6－5,2\r(5)×\r(6))＝eq\f(6,2\r(30))＝eq\f(\r(30),10)，應(yīng)選C.5．如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，那么異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．答案eq\f(7,8)解析如以下圖所示，連接ND，取ND的中點(diǎn)E，連接ME，CE，那么ME∥AN，那么異面直線AN，CM所成的角即為∠EMC.由題可知CN＝1，AN＝2eq\r(2)，∴ME＝eq\r(2).又CM＝2eq\r(2)，DN＝2eq\r(2)，NE＝eq\r(2)，∴CE＝eq\r(3)，那么cos∠CME＝eq\f(CM2＋EM2－CE2,2CM·EM)＝eq\f(8＋2－3,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(7,8).6.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，那么cosθ的最大值為________．答案eq\f(2,5)解析取BF的中點(diǎn)N，連接MN，EN，那么EN∥AF，所以直線EN與EM所成的角就是異面直線EM與AF所成的角．在△EMN中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，EM⊥AF，所以當(dāng)點(diǎn)M逐漸趨近于點(diǎn)Q時(shí)，直線EN與EM的夾角越來越小，此時(shí)cosθ越來越大．故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時(shí)，cosθ取最大值．設(shè)正方形的邊長為4，連接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝eq\f(EQ2＋EN2－QN2,2EQ·EN)＝eq\f(20＋5－33,2×\r(20)×\r(5))＝－eq\f(2,5)，所以cosθ的最大值為eq\f(2,5).7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，求證：(1)直線BC1∥平面EFPQ；(2)直線AC1⊥平面PQMN.證明(1)連接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1，因?yàn)镕，P分別是AD，DD1的中點(diǎn)，所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.(2)如圖，連接AC，BD，那么AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.因?yàn)镸，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)，所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直線AC1⊥平面PQMN.8．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積．解(1)證明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC.因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形．所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝