2021-2022學(xué)年河南省南陽地區(qū)高二年級上冊學(xué)期期中熱身摸底考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年河南省南陽地區(qū)高二上學(xué)期期中熱身摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】代入驗證可得.【詳解】A中不適合，B中不適合，C中不適合，D中，，都適合，故選：D.2．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式，結(jié)合集合交集的運(yùn)算即可求解.【詳解】由題知或，所以故選：B.3．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理直接求解.【詳解】由正弦定理得：.故選：A4．下列四個命題中為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷BD，根據(jù)特值可判斷C.【詳解】因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以若，則，故A選項為真命題；由，可得，故B選項為真命題；當(dāng)，時，，但，故C選項為假命題；因為，，所以，，故D選項為真命題.故選：C.5．若一個等差數(shù)列的前三項之和為21，最后三項之和為93，公差為2，則該數(shù)列的項數(shù)為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】設(shè)該數(shù)列共有n項，依題意可得，的值，從而可得公差，即可得出答案.【詳解】設(shè)該數(shù)列共有n項，依題意有，即可得，，即可得.因為公差為2，所以，即，解得.故選：B6．不等式組,表示的可行域為（

）A．梯形 B．三角形C．五邊形 D．平行四邊形【答案】A【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域進(jìn)而即得.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，由圖可知，該區(qū)域為梯形.故選：A.7．在中，，，若該三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理直接求解.【詳解】根據(jù)正弦定理，該三角形有兩解，所以，即，所以.故選：A8．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】由遞推公式求出數(shù)列的前幾項，歸納出數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，即可求解.【詳解】因為，所以.因為，所以，，，，，，，所以數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，故.故選：C9．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬元的時間為（

）A．2022年12月11日 B．2022年11月11日 C．2022年10月11日 D．2022年9月11日【答案】C【分析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，分析首次達(dá)到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為.因為為增函數(shù)，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元.故選：C10．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（

）A．有最小值，且最小值為 B．有最小值，且最小值為C．有最大值，且最大值為 D．有最大值，且最大值為【答案】A【分析】由，得，，然后結(jié)合余弦定理可求出的范圍，再利用余弦的二倍角公式可求出的范圍【詳解】因為，所以，則，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故有最小值，且最小值.故選：A11．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得，利用等差數(shù)列等比數(shù)列定義即可判斷.【詳解】因為，所以，則，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故C正確；所以，不是常數(shù)，即數(shù)列不是等差數(shù)列，故A錯誤；所以，即，又，所以，，，則，，所以數(shù)列不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故BD錯誤.故選：C.12．設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊．已知，，，則的周長為（

）A．56 B．60 C．64 D．66【答案】D【分析】利用正弦定理可得，然后根據(jù)余弦定理及三角恒等變換可得，根據(jù)二倍角公式結(jié)合條件可得，然后根據(jù)正弦定理結(jié)合條件即得.【詳解】由，得，即，因為，所以，即，由正弦定理得，所以，即，所以，即，所以，化簡得，即，因為且，所以，得，由正弦定理知，則，又，且，所以，，故的周長為66.故選：D.二、填空題13．設(shè)數(shù)列滿足，且，則________.【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系代入計算可得.【詳解】因為，，所以，所以.故答案為：14．若x，y滿足約束條件，則的最大值為________.【答案】10【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，然后利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由x，y滿足約束條件，可得可行域，當(dāng)直線經(jīng)過點,時，取得最大值，且最大值為10.故答案為：10.15．已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，，，則的面積為________.【答案】【分析】由題可得，，，然后根據(jù)余弦定理及三角形面積公式即得.【詳解】如圖，因為，，兩兩垂直，且，，，所以，，，所以，，所以的面積.故答案為：.三、雙空題16．在數(shù)列中，，則的最大值為________，數(shù)列的前n項和________．【答案】

【分析】根據(jù)作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性可得最值，然后利用錯位相減法即得.【詳解】因為，所以，故的最大值為；設(shè)，則，所以，所以，即，故.故答案為：；.四、解答題17．已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求出的通項公式；（2）利用裂項相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時，.又，也滿足，所以的通項公式為.（2）因為，所以.18．已知.(1)求的最小值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)基本不等式可求得最小值.（2）式子兩邊同乘，與相乘，運(yùn)用基本不等式可求得最值.【詳解】（1），，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，此時有最小值為（2）由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，此時有最小值，且最小值為.19．a(chǎn)，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．已知，．(1)求B；(2)若，求c．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理即得.【詳解】（1）由正弦定理得，，則，又，所以，又因為，所以或，因為，所以，故；（2）因為，所以，由余弦定理得，所以，即，解得.20．（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】分類討論結(jié)合二次不等式的解法即得.【詳解】（1）當(dāng)時，原不等式為，則原不等式的解集為；當(dāng)時，方程的兩根為，，，當(dāng)時，不等式為，其解集為；當(dāng)時，不等式為，其解集為；綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；（2）方程的兩根為，，當(dāng)時，，原不等式的解集為；當(dāng)時，，原不等式的解集為；當(dāng)時，，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.21．如圖，點在點的正東方向，現(xiàn)有一個圓形音樂噴泉，點為噴泉中心，用無人機(jī)于點正上空的點處，測得點的俯角為，點的俯角為，四點共線，均在圓上，且.已知圓的面積為平方米，且米.（1）求無人機(jī)的飛行高度；（2）如圖，現(xiàn)以三點為頂點在音樂噴泉內(nèi)建造三條排水暗渠，已知暗渠造價為元/米，且建造暗渠的預(yù)算資金為元.若要求，，成等差數(shù)列，試問完成三條排水暗渠的建造是否有可能會超預(yù)算？說明你的理由.【答案】（1）米；（2）有可能會超預(yù)算，理由見解析.【分析】（1）首先求得圓半徑，根據(jù)可構(gòu)造方程求得無人機(jī)的飛行高度；（2）設(shè)，利用正弦定理可求得，從而將排水暗渠長度表示為關(guān)于的函數(shù)，由正弦型函數(shù)最值的求法可確定最大值，根據(jù)最大值可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)無人機(jī)的飛行高度為米，圓形音樂噴泉的半徑為米，由題意可知：，解得.，，則，，則，故無人機(jī)的飛行高度為米；（2），，成等差數(shù)列，，解得：.設(shè)，則，.由正弦定理可得：（米），（米），（米），（米），，，，則.，完成三條排水暗渠的建造有可能會超預(yù)算.22．已知數(shù)列滿足