2021-2022學(xué)年河南省駐馬店市新蔡縣高二年級(jí)上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年河南省駐馬店市新蔡縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知曲線，關(guān)于曲線的四個(gè)結(jié)論：①若曲線表示雙曲線，則；②曲線的焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上；③若曲線表示橢圓，則；④曲線可能表示圓.其中所有正確的編號(hào)為（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征討論k的范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】對①，若曲線表示雙曲線，則，正確；對②，因?yàn)?，若曲線C表示橢圓，則，則焦點(diǎn)在x軸上，若曲線C表示雙曲線，由①，，此時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，所以曲線的焦點(diǎn)不可能在y軸上，錯(cuò)誤；由②可知，③正確；由②可知，，④錯(cuò)誤.故選：B.2．已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】解：由橢圓得，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦長為.故選：C.3．以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求得雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得：橢圓的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的方程是，故選：C.4．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的離心率為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的概念和性質(zhì)，結(jié)合題意即可求解.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得c=3，又雙曲線C：=1的離心率為，所以，即a=2，所以b=，故所求的雙曲線方程為=1.故選：B.5．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的任意一點(diǎn)，M(1，2)為平面上點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．12 C．9 D．6【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義可得，故到準(zhǔn)線的距離）為所求．【詳解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，（即垂直于準(zhǔn)線，為垂足），如圖，則，（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），故選：A6．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依題意將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出拋物線的準(zhǔn)線；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，即，所以，即，所以拋物線的準(zhǔn)線為故選：C7．若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則k的值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得拋物線準(zhǔn)線方程，從而得值．【詳解】由橢圓方程有，焦點(diǎn)為和，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為或，若準(zhǔn)線方程是，則，若準(zhǔn)線方程是，則．故選：B．8．已知，則“”是“曲線表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】求出方程表示橢圓的充要條件，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】方程表示橢圓，則，解得且，因此是曲線表示橢圓的既不充分也不必要的條件．故選：D．9．橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為（

）A．16 B．32 C．8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可得結(jié)果.【詳解】，，，∴的周長為.故選：A.10．雙曲線=1與有相同的（

）A．實(shí)軸 B．焦點(diǎn) C．漸近線 D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，容易判斷與的實(shí)軸和焦點(diǎn)均不同，即A,B錯(cuò)誤.下面判斷漸近線.易知，現(xiàn)在僅討論時(shí)的情況，其它情況同理.的漸近線為：，若，則，則漸近線方程為：，若，則，則漸近線方程為：.于是，C正確，同時(shí)D錯(cuò)誤.故選：C.11．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】雙曲線的實(shí)軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實(shí)軸長為8，即，，漸近線方程為，進(jìn)而得到雙曲線方程為.故選：D.12．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是雙曲線上一點(diǎn)，且.若的面積為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，余弦定理以及三角形的面積公式列出方程組，即可解出．【詳解】設(shè)，.由，的面積為，可得，∴①由離心率為，可得，代入①式，可得.故選：D.二、填空題13．過拋物線內(nèi)一點(diǎn)作弦，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為______．【答案】【分析】設(shè)，，代入拋物線方程相減可得直線的斜率，從而得直線方程．【詳解】設(shè)，，則．又①，②，②-①得，所以，即直線的斜率是1，所以直線的方程為，即．故答案為：．14．若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______【答案】【分析】先求得直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線與橢圓總有公共點(diǎn)，由點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部求解.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且直線與橢圓總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部，即解得，綜上，故答案為：15．已知點(diǎn)，，.設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則_____.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求出點(diǎn)的軌跡方程與聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為：，而點(diǎn)為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，由解得：，即，所以，故答案為：.16．若雙曲線的兩條漸近線相交所成的銳角為60°，則它的離心率為________．【答案】或##或【分析】根據(jù)已知條件求得或，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】當(dāng)時(shí)，離心率為，當(dāng)時(shí)，離心率為，當(dāng)時(shí)，離心率為，當(dāng)時(shí)，離心率為.所以雙曲線的離心率為：或.故答案為：或三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AM與圓E：和圓F：都外切.(1)求圓心M的軌跡方程C；(2)已知點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，即可得的軌跡是以為焦點(diǎn)，的雙曲線的右支，即可得出結(jié)果.（2）設(shè)，A（8，0）,則,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】（1）動(dòng)圓M與圓E：和圓F：都外切，設(shè)圓半徑為，則，,,所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，的雙曲線的右支，即.（2）設(shè)，A（8，0）,則，所以，且，所以，當(dāng)時(shí)，.18．已知拋物線，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，直線．(1)若l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，若的面積等于，求直線的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，討論或，使方程只有一個(gè)根或兩個(gè)相等實(shí)根即可.（2）求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，利用韋達(dá)定理求出，再由三角形的面積即可求解.【詳解】（1）（1）依題意，消去x得，①當(dāng)時(shí)，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，當(dāng)或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．（2）拋物線，所以焦點(diǎn)，顯然斜率不等于0，設(shè)直線方程為，設(shè)，，由，消去x得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，，∴，直線的方程為．19．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)異于、時(shí)，直線、的斜率分別為、，則是否為定值？請說明理由；【答案】定值為，理由見解析【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，利用斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓的方程及題意可得、，設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，則，所以是為定值，且定值為.20．已知圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．(1)說明是什么圖形，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)，，求直線在軸上的截距的取值范圍．【答案】(1)圓錐曲線是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，(2)【分析】（1）由平面上兩點(diǎn)間距離公式及橢圓的定義即得；（2）由題可設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可得，即求.【詳解】（1）由題可知點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和為，∴圓錐曲線是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線：，，，由，消去，得，由題意，有，解得，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線C的方程；(2)直線：與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，求k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意首先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后確定其焦點(diǎn)坐標(biāo)，最后確定拋物線方程即可；（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合弦長公式得到斜率的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：雙曲線方程即：，則，∴，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，設(shè)，，則，，易知直線恒過定點(diǎn)，即直線恒過拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的弦長公式可得：，∴，即：，∴，∴.22．已知雙曲線C：（a＞b＞0）的離心率e=，其虛軸長為2(1)求C的方程(2)若過點(diǎn)M（0，3）的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求