（新課標(biāo)版）備戰(zhàn)2023高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點2.8立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題測試卷理

PAGEPAGE1立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題〔一〕選擇題〔12*5=60分〕1．在等腰梯形中，,,為的中點，將與分別沿、向上折起，使、重合于點，那么三棱錐的外接球的體積為〔〕A．B．C.D．【答案】C2．將邊長為的正方形沿對角線折成一個直二面角.那么四面體的內(nèi)切球的半徑為〔〕A．1B．C.D．【答案】D【解析】設(shè)球心為，球的半徑為，由，知，應(yīng)選D.3．【湖南省株洲市2022屆質(zhì)量檢測】直三棱柱的側(cè)棱長為6，且底面是邊長為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側(cè)棱，分別交于三點，假設(shè)為直角三角形，那么該直角三角形斜邊長的最小值為〔〕A.B.3C.D.4【答案】C【解析】建立直角坐標(biāo)系如下：點M在側(cè)棱上，設(shè)M，點N在上，設(shè)，點在上，設(shè)，那么因為為直角三角形，所以，斜邊，當(dāng)時取等號.故答案為.應(yīng)選C.4．，如圖，在矩形中，分別為邊、邊上一點，且，現(xiàn)將矩形沿折起，使得，連接，那么所得三棱柱的側(cè)面積比原矩形的面積大約多〔〕A.68%B.70%C.72%D.75%【答案】D5．【河南省漯河市2022屆第四次模擬】三棱錐中，，，點在底面上的射影為的中點，假設(shè)該三棱錐的體積為，那么當(dāng)該三棱錐的外接球體積最小時，該三棱錐的高為〔〕A.2B.C.D.3【答案】D6．邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得二面角為120°，此時點在同一個球面上，那么該球的外表積為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖分別取的中點,連,那么容易算得,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,那么由題設(shè)可得,解之得,那么,所以球面面積,故應(yīng)選C．7．【福建省南安2022屆第二次階段考試】如下圖，長方體中，AB=AD=1,AA1=面對角線上存在一點使得最短，那么的最小值為〔〕A.B.C.D.【答案】A8．如圖，邊長為的等邊三角形的中線與中位線交于點，是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，那么以下命題中正確的選項是〔〕①；②平面；③三棱錐的體積有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由可得面，∴．②，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面．③當(dāng)面面時，三棱錐的體積到達(dá)最大．應(yīng)選C．9．【河南省林州市2022屆8月調(diào)研】如圖，矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，那么其外接球的體積為〔〕A.B.C.D.【答案】D10.一塊邊長為的正方形鐵皮按如圖〔1〕所示的陰影局部裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正三棱錐形容器，將該容器按如圖〔2〕放置，假設(shè)其正視圖為等腰直角三角形〔如圖〔3〕〕，那么該容器的體積為〔〕A．B．C.D．【答案】B11．【河南省師范大學(xué)附中2022屆8月】把邊長為1的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如以下圖所示，那么側(cè)視圖的面積為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】∵C在平面ABD上的射影為BD的中點O，在邊長為1的正方形ABCD中，，所以：左視圖的面積等于12．【湖北省武漢市2022屆調(diào)研聯(lián)考】設(shè)點是棱長為2的正方體的棱的中點，點在面所在的平面內(nèi)，假設(shè)平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，那么點到點的最短距離是〔〕A.B.C.1D.【答案】A〔二〕填空題〔4*5=20分〕13.如圖，，平面，交于，交于，且，那么三棱錐體積的最大值為．【答案】【解析】因為平面，所以,又，,又因為,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱錐體積的最大值為.14．【河北衡水金卷2022屆模擬一】如圖，在直角梯形中，，，，點是線段上異于點，的動點，于點，將沿折起到的位置，并使，那么五棱錐的體積的取值范圍為__________．【答案】15．邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體，那么四面體的外接球的外表積．【答案】【解析】如下圖，，，，∴，設(shè)，∵，，∴由勾股定理可得，∴，∴四面體的外接球的外表積為，故答案為．16．【南寧市2022屆12月聯(lián)考】如圖，在正方形中，分別是的中點，是的中點.現(xiàn)在沿及把這個正方形折成一個空間圖形，使三點重合，重合后的點記為.以下說法錯誤的選項是__________〔將符合題意的選項序號填到橫線上〕.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④(三)解答題〔4*10=40分〕17．如圖，在正方形中，點，分別是，的中點，將分別沿，折起，使兩點重合于.〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值.方法二：由題知兩兩互相垂直，故以為原點，向量方向分別為，，軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形邊長為2，那么，，，.所以，.設(shè)為平面的一個法向量，由得，令，得，又由題知是平面的一個法向量，所以.所以，二面角的余弦值為.18.【遼寧省丹東市2022屆高期末】長方形中，，是中點〔圖1〕．將△沿折起，使得〔圖2〕在圖2中：〔1〕求證：平面平面；〔2〕在線段上是否存點，使得二面角為大小為，說明理由．19.【北京市通州區(qū)2022屆期末】如圖，在四棱柱中，平面,底面為梯形，,，，點，分別為，的中點.〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值；〔Ⅲ〕在線段上是否存在點，使與平面所成角的正弦值是，假設(shè)存在，