河北省廊坊市六校聯(lián)考2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若不相等的非零實(shí)數(shù)》,z成等差數(shù)列，且x,y,z成等比數(shù)列，則匕上=()

z

57

A.--B.-2C.2D.-

22

2,《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成，其中“■一”表示一個(gè)陽(yáng)爻，”表示一個(gè)陰爻).若從含有兩個(gè)及以上陽(yáng)

爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為()

%莪隱

^%

■■

1123

A.-B.—C.—D.一

3234

3.已知集合4={況/一2》一3<0}8={.》<2},則Afl3=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

4.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,，則該幾何體表面積為()

■二

；正在圖71陽(yáng)處

o>z

A.17TB.6zrC.5TTD.

5.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X,

已知E(X)=3,則。(X)=()

6.音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他

證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如asin/次的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是

基本音，其余的為泛音.由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下

列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sinl80000f構(gòu)成樂(lè)音的是（）

A.y=0.02sin360000,B.y=0.03sin180000，C.y=0.02sin181800/

D.y=0.05sin540000,

7.在AABC中，A。為8c邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，且|而|=1,|*|=2,ZA4C=120。，貝!）|麗|=（）

「V3不

B.空L?------

42.~T

8.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）

內(nèi)的概率為（）

（附：若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N則P（M-cr<&<M+b）=68.26%,

P（M-2b<4<〃+2cr）=95.44%.）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

9.某公園新購(gòu)進(jìn)3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現(xiàn)將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種

A.96B.120C.48D.72

10.已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三個(gè)元素的子集記為男,鳥,B,…，紇,鹿GN*.記”為集合中的最大元素，

則4+a+4+…+或=()

45B.105C.150D.210

1271

11.若。是第二象限角且sin。=—,則tan（e+—）=

134

177177

B.——C.—D.——

T17717

2

12.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,5）,且與雙曲線三-：/=1的漸近線相同，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

4

222

/_y_i2

A.X----------1C.------=1D.y--=1

42054

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量?jī)?(1,2),AC=(-3,1),則麗質(zhì)=.

14.已知多項(xiàng)式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+as,則a4=,as=.

15.動(dòng)點(diǎn)P到直線x=—l的距離和他到點(diǎn)口(1,0)距離相等，直線AB過(guò)(4,0)且交點(diǎn)P的軌跡于A,8兩點(diǎn)，則以A3

為直徑的圓必過(guò)________.

22

16.已知雙曲線C:5-與=1(。＞0/＞0)的左右焦點(diǎn)分別為6,8，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，

ah

若忻閭=2|OM|,tan/MgK?2,則雙曲線C的離心率的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓*+2=1(。＞。＞0)的離心率為g,且過(guò)點(diǎn)F為

橢圓的右焦點(diǎn)，A8為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，連接分別交橢圓于C,。兩點(diǎn).

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵若=求"B的F值;

FD

⑶設(shè)直線AB,C。的斜率分別為尤，k2,是否存在實(shí)數(shù)相，使得勺=〃編，若存在，求出加的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

口

x

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=Y-5x+21nx.

(1)求f(x)的極值；

(2)若/(%)=./1(%)=/(七)，且*＜々＜七，證明：X]+x2＞1.

19.(12分)隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利

地拿到駕駛證，他需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試.在一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試

的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試；若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需重新

報(bào)名)，其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).

某駕校對(duì)以往2000個(gè)學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：

考試情況男學(xué)員女學(xué)員

第1次考科目二人數(shù)1200800

第1次通過(guò)科目二人數(shù)960600

第1次未通過(guò)科目二人數(shù)240200

若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過(guò)科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過(guò)科目二考試的概率，且

每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試，在本次報(bào)名中，若這對(duì)夫

妻參加科目二考試的原則為：通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止.

（1）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；

（2）若這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒(méi)有通過(guò)，記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為

X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x

與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點(diǎn)圖（如圖）.

1_I10

表中叱==，w=嗎.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+云與y=c+4哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)X的回歸方程

廠

類型？（不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量，成正比，那么x為多少時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（4,巧），（4，%），（為，匕），…，（"”，匕），其回歸直線v=c+6”的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

_n_

￡（匕-

分別為夕=i=la=v-/3u?

Z=l

21.（12分）已知AA6C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且asin（A+8）=csin史C.

2

（1）求A；

（2）若AABC的面積為G，b+c=5,求AABC的周長(zhǎng).

22.（10分）在①G（bcosC-a）=csin8；?2a+c-2/?cosC；③bsinA=Gasin這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足,b=2區(qū)a+c=4,求AABC的面

積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

尤+ZXZ

由題意，可得y=—z2=孫，消去＞得x2+xz—2z2=O,可得一=一2,繼而得到＞=代入即得解

2z2

【詳解】

由x,y,z成等差數(shù)列，

Y+7

所以y=亍，又％，z,成等比數(shù)列，

所以z2=孫，消去）'得V+XZ-2Z2=O,

所以2+--2=0,解得土=1或二=一2,

[Z）zzZ

因?yàn)閤,y,z是不相等的非零實(shí)數(shù)，

X7

所以土=一2,此時(shí)丁=一三，

z2

所以山=一2-'=-9.

z22

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

2.B

【解析】

基本事件總數(shù)為6個(gè)，都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，由此求出概率.

【詳解】

解：由圖可知，含有兩個(gè)及以上陽(yáng)爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，

取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共6個(gè)，其中符合條件的

基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共3個(gè)，

31

所以，所求的概率P=二=二.

62

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化，考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí)，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出4仆民

【詳解】

集合A={X|X2-2X-340}={H-14X43},

B={x|x<2},/.AnJB={x|-1<x<2}

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

12

—x3x2乃+2?x「=57.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

5.B

【解析】

由題意知，由EX=5x_?_=3,知*~3(5=)，由此能求出。(X).

m+3m+35

【詳解】

3

由題意知，X?B(5,——),

m+3

3

??.EX=5義------=3,解得〃2=2,

陽(yáng)+3

3

oqA

Q(X)=5x—x(l——)=—.

555

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.

6.C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得力=叨(〃eN*),利用/■='=￡_可得四(〃eN*),即可判斷選項(xiàng).

T2萬(wàn)

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波，

由/=[==，可知若/=nf25€1^*),則必有q=〃處(〃€丫)，

T2開(kāi)

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.

7.A

【解析】

——3■?1.__,o,,

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得EB=NA6—*AC,利用|麗|2=麗-及|451=1,14C1=2,ABAC=120°計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)辂?麗+通=一,正+通=一工*!(通+*)+通=3通一,衣,

22244

2

所以|海|2=麗2=2_AB-2X-X-ABAC+—AC

164416

9,23,、/1、1c2

=—xl2——xlx2x(——)+—x2~

168216

19

16

所以I而1=乎,

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.

【解析】

試題分析：由題意P(-3VJV3)=68.26%,P(-6<^<6)=95.44%,P(3<^<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.

故選B.

考點(diǎn)：正態(tài)分布

9.B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開(kāi)有用閥，扣除郁金香在兩邊有2&用，即可求出結(jié)論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A；種，

然后將3盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有A：種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有A；國(guó)，扣除郁金香在兩邊，

排2盆虞美人、1盆郁金香有28種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有A；,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有2&A，

所以共有A；&-2A；A；=120種.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列應(yīng)用問(wèn)題、分步乘法計(jì)數(shù)原理，不相鄰問(wèn)題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.B

【解析】

分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)，即可得解.

【詳解】

集合M含有3個(gè)元素的子集共有盤=20,所以左=20.

在集合=1,2,3,…,3中：

最大元素為3的集合有C；=l個(gè)；

最大元素為4的集合有=3；

最大元素為5的集合有C：=6；

最大元素為6的集合有C；=10；

所以4+b2+b3+b4+么=3x1+4x3+5x6+6x10=105.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查集合相關(guān)的新定義問(wèn)題，其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理，分類討論，分別求解.

11.B

【解析】

12

由，是第二象限角且sin”一知：cos6=-s/1-sin20----,tan0=----.

13135

―,八萬(wàn)、tan6>+tan45°7

r)\"UU“IZT—)---------------------=------.

41-tantan45017

12.B

【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.

【詳解】

r2

???雙曲線c與3-丁=1的漸近線相同，且焦點(diǎn)在y軸上,

22

...可設(shè)雙曲線C的方程為菅-尢=1,一個(gè)焦點(diǎn)為(。,5)'

；.k+4k^25,：.k=5,故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上一三=1.

520

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-6

【解析】

由配=而可求死，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求福?BC-

【詳解】

■:AB=(1，2),AC=(-3,1),/.BC-AC—AB=(-4,-1),

貝!I麗?BC=1X(-4)+2x(-1)=-6

故答案為-6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題.

14.164

【解析】

只需令x=O,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得內(nèi)=C；+2C：+C；.

【詳解】

令x=O,得痣=(0+1)3(0+2)2=4,

而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3[(X+1)2+2(X+1)+1]=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；

則。4=C；+2C：+C；=5+8+3=16.

故答案為：16,4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多項(xiàng)式展開(kāi)中的特定項(xiàng)的求解，可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)公式求解，屬于中檔題.

15.（0,0）

【解析】

利用動(dòng)點(diǎn)P到直線x=-l的距離和他到點(diǎn)P（1,0）距離相等，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以尸（1,0）為焦點(diǎn)的拋物線,從而可

求曲線的方程，將.V=%（x-4）,代入V=4x,利用韋達(dá)定理，可得玉々+X%=0，從而可知以A8為直徑的圓經(jīng)過(guò)

原點(diǎn)O.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,由題意可得x+I=J（x-1）2+/,（x+1）2=（x-l）2+y2,x2+2x+\=x2-2x+l+y2,可得

V=4x,設(shè)直線AB的方程為丁=左（犬一4）,代入拋物線可得

“丁-4（2K+l）x+16左2=0,4（%,凹）,8（工2，、2），中2=16,%+x=

2"?1叫,

K

???0>2=去（著一4）&一4）,

2

：.x^x2+y1y2=（爐+1）玉工2—4攵*（玉+x2）+16Z:

=16儼+1）-4&2^^+16/=0,

K

：,OAOB^O>以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。.

故答案為：（0,0）

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問(wèn)題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

16.l<e<V5

【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得/6加入=],4c2=|5「+|昨『，1黑乙叫耳=翳（又由雙曲線

的定義得|嗎|-阿司=2。,將離心率表示成關(guān)于|摩段的式子,再令局=122,則f+1_2'令

/（。=「+；,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在[2,+8）上單調(diào)性，可求得離心率的范圍.

法二：令|峙|=、|明|=弓，ZMF^O,tan^>2,/;=2csin。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得

IT

乙F\MF?=3,將離心率表示成關(guān)于角。的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan。的函數(shù)，可求得離

心率的范圍.

【詳解】

法一:?忻瑪=2|OM|,.?./［奶=曰2幽

:Ac=\MFtf+\MF2f,tanZMF2F1

麗+|悶

2

2=4c=|叫『+.眉2=_________/周2_________

???阿制一|摩|=2訪

222

4a2(\MFt\-\MF2\)\MFX|-2\MFt\\MF2\+\MF21'

產(chǎn)+1?2

\ME\/—............=1+——；-----

設(shè)鼎=C2,貝/，

/-2f+1/n-1---2N

令+所以f>2時(shí)，/'")>0，/")在［2上單調(diào)遞增,

J152r

??，+-22+7二不，/.1<e2<5，1<e<v5.

t22

法二：.「I耳用|=2|QM|,令I(lǐng)孫|=小閭=G，ZMF2F^0,tan^>2,(=2csin9,

1

r2=2ccos。,2。=4-r2=2c(sin0-cos0)e=---------------

sin6-cos。

1_sin2^+cos20_tan2^+1

=1+-------------------<5

2

(sin。一cosOFsin?e+cos?e-2sin6cos。tan6+1-2tan6tan0+--------2

tan。

:A<e<\/5-

故答案為：l<e4火.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的〃,4c有關(guān)，從而將離心率表示關(guān)

于某個(gè)量的函數(shù)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2275

17.(1)—+^-=1(2)-(3)m=—

4333

【解析】

試題分析：（1）千+5=1；（2）由橢圓對(duì)稱性，知小，］,所以《一1,一此時(shí)直線方程為3x-4.y-3=0,

故而=下"二'=§?（3）設(shè)AG。,%）,則3（-玉）,一%），通過(guò)直線和橢圓方程，解得

-----1

7

3yo-3.

8-5%-3%I(急)，所以'辛=1，即存在，〃=9.

CD8+5%

5—2/5—2XQ)5+2x0□+2x03+0/_3-3o3x033

5+2x05-2x()

試題解析:

22a2

（1）設(shè)橢圓方程為x二+3=1（。＞方＞0）,由題意知：，

19

a~----1------==1?

a2破

a=22y2

解之得：所以橢圓方程為：—x+^-=1

b=y/343

（2）若AF=FC,由橢圓對(duì)稱性，知A（l，|），所以1，-g

此時(shí)直線Bb方程為3x—4y-3=0,

'3x-4y-3=0,

由x2/，得7X2_6X-13=O,解得尤=?(尤=一1舍去),

I43

BF1-(-1)7

故而一13一1

-----1

7

(3)設(shè)Alx。，%),則B(—%),—%),

V22

直線A歹的方程為，=37（彳-1）,代入橢圓方程二+匕=1,得

"43

2

(15-6x0)x-8北一154+24Ao=0,

8—5XQ

因?yàn)閤=x°是該方程的一個(gè)解，所以C點(diǎn)的橫坐標(biāo)左=

5—2%

又C&,無(wú))在直線y=T4(x-i)上，所以為=產(chǎn)7(4一1)=^^

AQ—1AQ—1J—ZAQ

/8+5x3yo)

同理，。點(diǎn)坐標(biāo)為(足(}

5+2x0'

即存在〃z=3,使得k,=2占.

3-3

9

18.(1)/(x)極大值為——21n2；極小值為-6+21n2；(2)見(jiàn)解析

4

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，進(jìn)而可求出單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的極值；

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)^f(x)-f(l-x),xe(0,，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得F(x)<0,從而/(x)</(I-x)在(0,上

恒成立，再結(jié)合王40,；［,/伍)=/(%)</(1一%),可得到&>1一禮即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

(1)函數(shù)fM的定義域?yàn)?(),+<?),/'(x)=2x-5+|=QI,-2)(X>0),

所以當(dāng)Xe(o,g)u(2,+8)時(shí),r(x)>0；當(dāng)時(shí),f\x)<0,

則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(J,2).

故f(x)的極大值為/=；—1+2111；=-1-21112；/(0的極小值為/(2)=4—10+21112=-6+21112.

\乙JI4乙I

(2)證明油(1)知0<%<3<%2<2<芻，

設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-f(l-x),xe(0,,

貝(JF(x)=*2-5x+21n尤一—5(1—x)+21n(l-x),

尸=(2x-l)(x-2)+(2x-l)(x+l)=2(21)2

x\-xx(l-x)，

則?（x）＞0在j0,：］上恒成立，即F（x）在j0,；］上單調(diào)遞增,

\乙）\乙）

故F(x)<F0

=0，貝!J/(x)=/(x)-/(l-x)<o,xefo,1

即/(x)</(I-x)在［0,g)上恒成立.

因?yàn)椴粈（。，；1,所以/（芭）＜/（1一%）,

又/（電）="與），則了（電）＜一（1一%），

因?yàn)橥酢挂粸閚2〕,且/（X）在仁,21上單調(diào)遞減,

所以%＞1一%,故X［+巧＞1.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

9

19.（1）—;（2）見(jiàn)解析.

【解析】

事件A,表示男學(xué)員在第i次考科目二通過(guò)，事件B,表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(guò)（其中i=l,2,3,4,5）（1）這對(duì)

夫妻是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立，利用獨(dú)立事件乘法公式即可求得；（2）補(bǔ)考費(fèi)用之和為X元可能取值為400,600,

800,1000,1200,根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求X的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

事件A,表示男學(xué)員在第i次考科目二通過(guò)，

事件與表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(guò)（其中i=1,2,3,4,5）.

（1）事件M表示這對(duì)夫妻考科目二都不需要交補(bǔ)考費(fèi).

P（M）=p（A4+4瓦5+無(wú)+可為瓦心）

=P（A4）+P（4瓦&）瓦巴）

434131431413

--X-+-X-X-+-X-X-+-X-X--

545445545544

（2）X的可能取值為400,600,800,1000,1200.

433

P（X=4OO）=P（A3B3）=-X-=-,

P（X=600）=瓦與+44員）41314327

二——X—X1——X—X—=--------,

544554100

1413411113II

P(X=800)=網(wǎng)用4瓦巴+4瓦瓦+)=——X—X—X1X—X—4——X—X—=-------,

5544544554100

141111137

P（X=IOOO）=P（44瓦瓦+44瓦紇）=—X—X—X—+—X—X—X—=--------,

55445544400

11111

p（X=1200）=P（44瓦瓦）—X—X—y——___

5544400,

則X的分布列為:

X40060080010001200

3271171

D

r

5100100400400

327117I

故EX=400x=+600x—+800x—+1000x——+1200x——=510.5（%）.

5100100400400

【點(diǎn)睛】

本題以實(shí)際問(wèn)題為素材，考查離散型隨機(jī)變量的概率及期望，解題時(shí)要注意獨(dú)立事件概率公式的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)

題.

f。八

20.(1)y=c+=更適宜(2)y=5+當(dāng)(3)x為2時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣

xx

【解析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答；

(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于。的線性回歸方程，再得出y關(guān)于x的回歸方程;

(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.

【詳解】

(1)y=c+4更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.

X

￡(叱一可(》-亍)162

<2)由公式可得：d=a-nj--------；=——=20,

(一\~U.01

c=y-dvv=20.6—20x0.78=5，

20

所以所求回歸方程為y=5+-r.

x~

(3)設(shè)，=區(qū)，則煤氣用量S=W=依15+當(dāng)〔=5依+迎22小必亞=20人,

2()4-

當(dāng)且僅當(dāng)5息=-^-時(shí)取“="，即x=2時(shí)，煤氣用量最小.

x

故X為2時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣.

【點(diǎn)睛】

本題考查擬合模型的選擇，回歸方程的求解，涉及均值不等式的使用，屬綜合中檔題.

21.(1)60;(2)V13+5.

【解析】

(1)利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果;

(2)由面積公式，可以求得。c,再利用余弦定理，即可求得“，結(jié)合8+C即可求得周長(zhǎng).

【詳解】

A

(1)由題設(shè)得。sinC=ccos—.

2