2023高考數(shù)學異構(gòu)異模復習第十章圓錐曲線與方程10.1.1橢圓的標準方程撬題文

PAGEPAGE52022高考數(shù)學異構(gòu)異模復習考案第十章圓錐曲線與方程10.1.1橢圓的標準方程撬題文1.橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點．假設△AF1B的周長為4eq\r(3)，那么C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析∵eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).又∵過F2的直線l交橢圓于A，B兩點，△AF1B的周長為4eq\r(3)，∴4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3).∴b＝eq\r(2)，∴橢圓方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，選A.2．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．假設|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，那么橢圓E的方程為________．答案x2＋eq\f(3,2)y2＝1解析不妨設點A在第一象限，∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)，又|AF1|＝3|F1B|，∴eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5c,3)，－\f(b2,3)))將其代入橢圓方程化簡得eq\f(25c2,9)＋eq\f(b2,9)＝1，又c2＝1－b2，得b2＝eq\f(2,3)，故橢圓E的方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.3．橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點M與C的焦點不重合．假設M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，那么|AN|＋|BN|＝________.答案12解析如圖，設MN的中點為P，那么由F1是AM的中點，可知|AN|＝2|PF1|.同理可得可知|BN|＝2|PF2|.∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)．根據(jù)橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12.4.橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F(－c,0)，離心率為eq\f(\r(3),3)，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝eq\f(b2,4)截得的線段的長為c，|FM|＝eq\f(4\r(3),3).(1)求直線FM的斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設動點P在橢圓上，假設直線FP的斜率大于eq\r(2)，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍．解(1)由有eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.設直線FM的斜率為k(k>0)，那么直線FM的方程為y＝k(x＋c)．由，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kc,\r(k2＋1))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2，解得k＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得橢圓方程為eq\f(x2,3c2)＋eq\f(y2,2c2)＝1，直線FM的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x＋c)，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－eq\f(5,3)c或x＝c.因為點M在第一象限，可得M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2\r(3),3)c)).由|FM|＝eq\r(c＋c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)c－0))\a\vs4\al(2))＝eq\f(4\r(3),3)，解得c＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(3)設點P的坐標為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t＝eq\f(y,x＋1)，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋1，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由，得t＝eq\r(\f(6－2x2,3x＋12))>eq\r(2)，解得－eq\f(3,2)<x<－1或－1<x<0.設直線OP的斜率為m，那么m＝eq\f(y,x)，即y＝mx(x≠0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得m2＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,3).①當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))時，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝eq\r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).②當x∈(－1,0)時，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－eq\r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3))).綜上，直線OP的斜率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).5．平面直角坐標系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓E：eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1，P為橢圓C上任意一點．過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.(ⅰ)求eq\f(|OQ|,|OP|)的值；(ⅱ)求△ABQ面積的最大值．解(1)由題意知2a＝4，那么a＝2.又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由(1)知橢圓E的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(ⅰ)設P(x0，y0)，eq\f(|OQ|,|OP|)＝λ，由題意知Q(－λx0，－λy0)．因為eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，又eq\f(－λx02,16)＋eq\f(－λy02,4)＝1，即eq\f(λ2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),4)＋y\o\al(2,0)))＝1，所以λ＝2，即eq\f(|OQ|,|OP|)＝2.(ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.由Δ>0，可得m2<4＋16k2.①那么有x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－16,1＋4k2).所以|x1－x2|＝eq\f(4\r(16k2＋4－m2),1＋4k2).因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)，所以△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|m||x1－x2|＝eq\f(2\r(16k2＋4－m2)|m|,1＋4k2)＝eq\f(2\r(16k2＋4－m2m2),1＋4k2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(m2,1＋4k2)))\f(m2,1＋4k2)).設eq\f(m2,1＋4k2)＝t.將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1.因此S＝2eq\r(4－tt)＝2eq\r(－t2＋4t).故S≤2eq\r(3)，當且僅當t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2eq\r(3).由(ⅰ)知，△ABQ面積為3S，所以△ABQ面積的最大值為6eq\r(3).6．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，點P(0,1)和點A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M.(1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m，n表示)；(2)設O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM＝∠ONQ？假設存在，求點Q坐標；假設不存在，說明理由．解(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2.))解得a2＝2.故橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.設M(xM,0)．因為m≠0，所以－1<n<1.直線PA的方程為y－1＝eq\f(n－1,m)x，所以xM＝eq\f(m,1－n)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,1－n)，0)).(2)因為點B與點A關(guān)于x軸對稱，所以B(m，－n)．設N(xN,0)，那么xN＝eq\f(m,1＋n).“存在點Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ〞等價于“存在點Q(0，yQ)使得eq\f(|OM|,|OQ|)＝