高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題九平面解析幾何3橢圓綜合集訓(xùn)含解析新人教A版

PAGEPAGE11橢圓基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.已知橢圓y2m+x22=1的一個(gè)焦點(diǎn)為0,12A.1B.2C.3D.9答案D2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為33,過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長(zhǎng)為43A.x23+y22=1B.xC.x212+y28=1D.答案A3.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-2,0),過點(diǎn)F1作傾斜角為30°的直線與圓x2+y2=b2相交,且弦長(zhǎng)為3A.y28+x24=1B.C.y216+x212=1D.答案B4.(多選題)設(shè)橢圓C:x22+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是C上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 (A.|PF1|+|PF2|=22B.離心率e=6C.△PF1F2面積的最大值為2D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-2=0相切答案AD5.過點(diǎn)P1,-12作圓x2+y2=1的切線l,已知A,B分別為切點(diǎn),直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和下頂點(diǎn),則直線AB的方程為;答案2x-y-2=0;x25+考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)6.設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B為橢圓在第二象限上的點(diǎn),直線BO交橢圓E于點(diǎn)C,若直線BF平分線段AC于M,A.12B.23C.13答案C7.設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1b≥32a>0,右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的兩實(shí)根分別為x1A.0,32B.1,32答案D考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系8.與橢圓x22+y2=1有相同的焦點(diǎn)且與直線l:x-y+3=0相切的橢圓的離心率為 (A.22B.55C.12答案B9.(多選題)已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F、E,直線x=m(-1<m<1)與橢圓相交于點(diǎn)A、B,A.當(dāng)m=0時(shí),△FAB的面積為3B.不存在m,使△FAB為直角三角形C.存在m,使四邊形FBEA面積最大D.存在m,使△FAB的周長(zhǎng)最大答案AC10.已知P(1,1)為橢圓x24+y22=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過P引一條弦,使此弦被P點(diǎn)平分,且弦與橢圓交于A、B兩點(diǎn)答案x+2y-3=011.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線(1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,14)已知橢圓的方程為x29+y24=1,過橢圓中心的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),F2是橢圓右焦點(diǎn),則△ABF2的周長(zhǎng)的最小值為,△ABF答案10;25解析設(shè)F1為橢圓左焦點(diǎn),連接AF1,BF1,則由橢圓的中心對(duì)稱性可得C△ABF2=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,S△ABF2=考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)(2018甘肅酒泉中學(xué)月考,9)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M,上頂點(diǎn)為N,右焦點(diǎn)為F,若NM·A.32B.2-C.3-12答案D橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M(-a,0),上頂點(diǎn)為N(0,b∵NM·NF=0,∴NM⊥NF,∴a2+b2+b2+c2=(a+c)2,又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac,即e2+e-1=0,∵e∈(0,1),∴e=5-故選D.方法總結(jié)求橢圓離心率的方法有兩種:一是直接法,即e=ca=1-b2a考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系1.(2018廣東清遠(yuǎn)模擬,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3,ms+nt=1,其中m、n是常數(shù)且m<n,若s+t的最小值是3+22,滿足條件的點(diǎn)(m,n)是橢圓x24+y216=1A.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0C.x+y-3=0D.2x+y-4=0答案D∵m、n、s、t為正數(shù),m+n=3,ms+nt=1,s+t的最小值是3+2∴(s+t)ms+nt∴(s+t)ms+nt=m+n+mts+nst≥當(dāng)且僅當(dāng)mts=nst此時(shí)m+n+2mn=3+22,解得mn=2,又m+n=3,m<n,∴m=1,n=2.設(shè)以(1,2)為中點(diǎn)的弦交橢圓x24+y216=1于A(x1,y1),B(x2由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知x1+x2=2,y1+y2=4,把A(x1,y1),B(x2,y2)分別代入4x2+y2=16,得4兩式相減得2(x1-x2)+(y1-y2)=0,∴k=y2-y1x2即2x+y-4=0.故選D.2.(2019吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第四次月考,10)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2、點(diǎn)M為橢圓上不同于A1,A2的一點(diǎn),若直線MA1與直線MA2的斜率之積等于-A.12B.13C.22答案C由已知得A1(-a,0),A2(a,0),設(shè)M(x0,y0),則kMA1=y0x∵kMA1·kMA2=-又∵x02a2+y02b2=1,∴y02由①②可得b2a2∴e=ca=a2-b2a2=綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一與橢圓定義相關(guān)的問題1.(2020北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,6)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-4,0),B(4,0),它的周長(zhǎng)是18,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 ()A.x225+y29=1B.y225C.x216+y29=1(y≠0)D.x225答案D2.(2019豫東豫北十校4月聯(lián)考,8)橢圓C:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),PF1,PF2的中點(diǎn)分別為M,N,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OMPN的周長(zhǎng)為23,則△PF1F2的周長(zhǎng)是A.2(2+3)B.4+23C.2+3D.2+23答案A3.(2020湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考,7)設(shè)P,Q分別是圓x2+(y-6)2=2和橢圓x210+y2=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是 (A.52B.46+2C.62D.7+2答案C4.(2020浙江杭州4月模擬,10)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若該方程表示橢圓的方程,則k的取值范圍是.

答案{k|1<k<5或5<k<9}考法二橢圓離心率問題的求法5.(2020福建龍巖質(zhì)量檢查,8)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,若△AFB是直角三角形,A.22B.32C.3-答案D6.(2020湘贛皖十五校第二次聯(lián)考,15)已知直線x+2y-3=0與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)在直線3x-4y答案27.(2020浙江溫州中學(xué)3月模擬,19)已知直線l:y=kx+m與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)恰有一個(gè)公共點(diǎn)P,l與圓x2+y2=a2(1)求k與m的關(guān)系式;(2)點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱.當(dāng)k=-12時(shí),△QAB的面積取到最大值a2,求橢圓的離心率考法三直線與橢圓位置關(guān)系問題的解法8.(多選題)(2020山東濰坊6月模擬,11)已知橢圓C:x2a+y2b=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部,點(diǎn)Q在橢圓上,A.|QF1|+|QP|的最小值為2a-1B.橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2C.橢圓C的離心率的取值范圍為0D.若PF1=F1Q,則橢圓C答案ACD9.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一與橢圓定義相關(guān)的問題1.(2018山東青島城陽(yáng)期末,7)若橢圓x25+y2a=1的焦距為4,則實(shí)數(shù)aA.1B.21C.4D.1或9答案D當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),2=5-a,解得當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),2=a-5,解得a=9.故選2.(2019湖北“荊、荊、襄、宜”四地七?？荚嚶?lián)盟聯(lián)考,4)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12,過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若△F1A.x24+y23=1B.C.x22+y2=1D.x2答案A由橢圓的定義可知,△F1AB的周長(zhǎng)為4a,∴4a=8,a=2,又離心率為12,即ca=12,∴c=1,則故橢圓方程為x24+y23.(2019江西五校協(xié)作體4月聯(lián)考,11)已知點(diǎn)F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)Q滿足F1P·PQ=|F1P||PQ|且|PQ|=|PF2|,其中F1P≠0,PQA.x225+y29=1B.xC.x225+y216=1D.x答案A由F1P·PQ=|F1P||PQ|知點(diǎn)F1,P,Q共線,且F1P與PQ同向.由橢圓的定義知|F1P|+|PF2|=2a,又|PF2|=|PQ|,所以|F1P|+|PQ|=|F1Q|=2a,所以動(dòng)點(diǎn)Q在以F1為圓心,2a為半徑的圓上.由平面幾何知識(shí)知當(dāng)點(diǎn)P位于左頂點(diǎn)時(shí),|PQ|取得最大值a+c,當(dāng)點(diǎn)P位于右頂點(diǎn)時(shí),|PQ|取得最小值a-c,所以a+c=9,考法二橢圓的離心率問題的求法1.(2018豫南九校3月聯(lián)考,9)已知兩定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:y=x+3上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P,則橢圓C的離心率的最大值為 ()A.55B.105C.25答案A不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y與直線l的方程聯(lián)立得x消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由題意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,解得a≥5,所以e=ca=1a≤所以e的最大值為55.故選A2.(2019四川第一次診斷,6)設(shè)橢圓x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=8y的焦點(diǎn)相同,離心率為12,則A.23-4B.4-33C.43-8D.8-43答案A拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為(0,2),∴橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,由離心率e=12,可得2n=12,則n=4,∴m=23,故m-n=23-4.3.(2018湖南湘東五校聯(lián)考,11)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是橢圓上一點(diǎn),△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120A.3-12C.12,1答案B由題意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PF1F2,即|PF2|=22c·1-cos∠PF1F2,所以a=|PF1|+|PF2|2=c+2c·1-cos∠PF1F2,又60°<∠PF1F2<120°,∴-12<cos∠PF1F2<12,思路分析首先根據(jù)余弦定理求出等腰三角形底邊PF2的長(zhǎng),進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可得橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=c+2c·1-cos∠PF1F2,結(jié)合60°<∠PF1F2<120°可得出4.(2018四川達(dá)州模擬,7)以圓x2+y2=4與x軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn),以拋物線y2=10x的焦點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)且中心在原點(diǎn)的橢圓的離心率是 ()A.15B.25C.45答案Cx2+y2=4與x軸的交點(diǎn)為(±2,0),拋物線y2=10x的焦點(diǎn)為52即橢圓的焦點(diǎn)為(±2,0),橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為52則橢圓中c=2,a=52所以橢圓的離心率e=ca=252=455.(2020浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,15)已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△POF為等邊三角形答案3-1解析本題考查橢圓的概念其性質(zhì);考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力和數(shù)形結(jié)合的思想;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).不妨令F為橢圓C的右焦點(diǎn),P為橢圓C在第一象限內(nèi)的點(diǎn),由題意可知Pc2,3c2,即e2+3e21-e2=4?e2-4=-23考法三直線與橢圓位置關(guān)系問題的解法1.(2019浙江寧波期末,9)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e的取值范圍為13,12,直線y=-x+1交橢圓于點(diǎn)M、N,A.[7,22]B.[6,7]C.[5,6]D.[22,3]答案C設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由x2a2+y2b2=1,y=-x+1得(a2+b2)則x1+x2=2a2a2+b2,x由OM⊥ON得OM·ON=0,即x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,②將①代入②,化簡(jiǎn)得b2=a2又因?yàn)閑=ca=1-b2a所以52≤a≤62?5≤2a≤6,故選小題巧解根據(jù)橢圓的性質(zhì),原點(diǎn)O到直線y=-x+1的距離d滿足1d2=1a2+1b2,又d=1又e2=c2a2=1-b2a2=1-12a2-1,e2∈13,12,所以4a2知識(shí)拓展已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的兩點(diǎn)M,N滿足OM⊥ON,且原點(diǎn)O到直線MN的距離為d,則橢圓有如下性質(zhì):證明:設(shè)M(r1cosθ,r1sinθ),Nr2cosθ+π2,r2sinθ+將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程得r12cos2θa2+r12sin2θb2=1,r22sin根據(jù)幾何意義可知,1r12+1r22.如圖,把橢圓x225+y216=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,P7,F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…+|P7答案35解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F',由橢圓的對(duì)稱性知,|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,∴原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.疑難突破橢圓中經(jīng)常使用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化線段,再搭配定義解決問題.3.