離心率的值和范圍

圓錐曲線的離心率的求值或取值范圍【高考地位】圓錐曲線的離心率是近年高考的一個熱點,有關離心率的試題,究其原因,一是貫徹高考命題“以能力立意”的指導思想,離心率問題綜合性較強,靈活多變,能較好反映考生對知識的熟練掌握和靈活運用的能力,能有效地反映考生對數(shù)學思想和方法的掌握程度;二是圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,具有數(shù)學的實用性和美學價值,也是以后進一步學習的基礎.【方法點評】方法1定義法解題模板：第一步根據(jù)題目條件求出的值第二步代入公式，求出離心率.例1.若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為、，則其離心率為（）A.B.C.D.【變式1】已知和分別是雙曲線(,)的兩個焦點,和是以為圓心,以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且是等邊三角形,則該雙曲線的離心率為 ().A. B. C. D.【變式2】雙曲線（，）的左右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則（）A.B.C.D.【變式3】已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若雙曲線上存在點P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．(1，eq\r(2)＋1) B．(1，eq\r(3)) C．(eq\r(3)，＋∞) D．(eq\r(2)＋1，＋∞)【變式4】若雙曲線上存在一點P滿足以為邊長的正方形的面積等于（其中O為坐標原點），則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式5】如圖，、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點、.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為B.C.D.【變式6】若橢圓經(jīng)過點，且焦點為，則這個橢圓的離心率等于________．【變式7】如圖,等腰梯形中,,.一雙曲線經(jīng)過,,三點,且以,為焦點,則該雙曲線離心率是________.【變式8】過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為E，延長FE交拋物線于點P，O為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為.方法2方程法解題模板：第一步設出相關未知量；第二步根據(jù)題目條件列出關于的方程；第三步化簡，求解方程，得到離心率.例2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是準線上一點，且，，則雙曲線的離心率是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【變式1】已知雙曲線的漸近線方程為，則以它的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓的離心率等于（）A. B. C. 【變式2】設雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（）（A）（B）2（C）（D）【變式3】已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A.B.C.D.【變式4】已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點.若函數(shù)在點處的切線過雙曲線左焦點，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【變式5】已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若直線y=2x與雙曲線的一個交點的橫坐標為c，則雙曲線的離心率為A.+1 B.+1 C.+ D.【變式6】已知分別是雙曲線：的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為，若雙曲線的離心率為5，則等于(). A． B． C． D．【變式7】設雙曲線(a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若，，則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式8】過點作斜率為的直線與橢圓：相交于A,B，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為.【變式9】如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為.【變式10】已知雙曲線的兩條漸近線分別為.（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.方法3借助平面幾何圖形中的不等關系解題模板：第一步根據(jù)平面圖形的關系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關系，第二步將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進行表示，進而得到不等式，第三步解不等式，確定離心率的范圍.例3.已知橢圓的中心在,右焦點為，右準線為，若在上存在點，使線段的垂直平分線經(jīng)過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【變式1】已知分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【變式2】已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．方法4借助題目中給出的不等信息解題模板：第一步找出試題本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點或直線使方程成立，的范圍等；第二步列出不等式，化簡得到離心率的不等關系式，從而求解.例4.已知橢圓上一點關于原點的對稱點為為其右焦點，若設且則橢圓離心率的取值范圍是.【變式1】設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，焦點F到一條漸近線的距離為d，若，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式2】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3】已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓以為焦點且經(jīng)過點，則橢圓的離心率的最大值為（）A.B.C.D.【變式4】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對任意的， B．當時，；當時，C．對任意的， D．當時，；當時，【變式5】過橢圓C：的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上