（江蘇專用）2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.5平行與垂直的綜合應(yīng)用教師用書(shū)文蘇教版

PAGEPAGE218.5平行與垂直的綜合應(yīng)用1.證明方法(1)證明平行關(guān)系的方法：①證明線線平行的常用方法a.利用平行公理，即證明兩直線同時(shí)和第三條直線平行；b.利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；c.利用三角形中位線定理證明；d.利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明.②證明線面平行的常用方法a.利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；b.利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.③證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行.(2)證明空間中垂直關(guān)系的方法：①證明線線垂直的常用方法a.利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可.②證明線面垂直的常用方法a.利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；b.利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；c.利用常見(jiàn)結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.③證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，假設(shè)圖中不存在這樣的直線，那么借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.2.應(yīng)特別注意的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)定理圖形語(yǔ)言易錯(cuò)點(diǎn)等角定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠AOB和,∠A′O′B′中,OA∥O′A′，,OB∥O′B′,且方向相同))?∠AOB＝∠A′O′B′易忽略“方向相同〞線面平行的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∥b))?a∥α易丟掉“a?α〞或“b?α〞線面平行的性質(zhì)定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，a?β,α∩β＝b))?a∥b易忽略“α∩β＝b〞直線和平面垂直的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，l⊥b,a?α，b?α,a∩b＝O))?l⊥α易忽略“a∩b＝O〞兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝c,a?α，a⊥c))?a⊥β易忽略“a?α〞面面平行的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，b∥α,a?β，b?β,a∩b＝O))?α∥β易忽略“a∩b＝O〞面面平行的判定定理的推論eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,c?β，d?β,c∩d＝O′,a∥c，b∥d))?α∥β易忽略“a∩b＝O〞或“c∩d＝O′〞【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)假設(shè)平面外一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，那么直線與平面平行.(×)(2)假設(shè)直線a∥α，P∈α，那么過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線有無(wú)數(shù)條.(×)(3)假設(shè)a⊥b，b⊥c，那么a∥c.(×)(4)α，β，γ為三個(gè)不同平面，α∥β，β∥γ?α∥γ.(√)(5)假設(shè)α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，那么l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α?a∥b.(×)1.(教材改編)如圖，平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足為C，PD⊥β，垂足為D，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)，那么平面EBD與平面FGA的位置關(guān)系為_(kāi)_____.答案平行3.(2022·常州一模)給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面；②假設(shè)兩個(gè)平面平行，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平面；③假設(shè)兩個(gè)平面垂直，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面；④假設(shè)兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面.其中為真命題的是________.(填序號(hào))答案①②解析③中的直線可能在另一平面內(nèi)；④中的直線與另一平面，可能是線面平行、線面相交或直線在平面內(nèi).4.點(diǎn)P是等腰三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底邊BC＝6，AB＝5，那么P到BC的距離為_(kāi)_______.答案4eq\r(5)解析取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，PD.∵AD⊥BC，PA⊥BC，且AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD，∴在Rt△PAD中，PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).5.(教材改編)如圖，在三棱錐V—ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，那么平面VBA與平面VBC的位置關(guān)系為_(kāi)______.答案垂直解析∵∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，VA⊥AC，VA⊥AB，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(VA⊥AB,VA⊥AC))?VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(VA⊥BC,AB⊥BC))?BC⊥平面VAB，又BC?平面VBC，∴平面VBC⊥平面VBA.題型一線、面平行與垂直關(guān)系的判定例1(1)如下圖，在直棱柱ABC—A1B1C1中，假設(shè)D是AB的中點(diǎn)，那么AC1與平面CDB1的關(guān)系為_(kāi)_______.(2)m，n為直線，α，β為平面，給出以下命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?α，,n?β，,α∥β))?m∥n.其中正確的命題是________.答案(1)AC1∥平面CDB1(2)②③解析(1)如圖，連結(jié)BC1，BC1與CB1交于E點(diǎn)，連結(jié)DE，那么DE∥AC1，又DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(2)對(duì)于①，n可能在α內(nèi)；對(duì)于④，m與n可能異面.易知②，③是真命題.思維升華對(duì)線面平行、垂直關(guān)系的判定(1)易無(wú)視判定定理與性質(zhì)定理的條件，如易無(wú)視線面平行的判定定理中直線在平面外這一條件.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(3)可舉反例否認(rèn)結(jié)論或用反證法判斷結(jié)論是否正確.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別為G1G2，G2G3的中點(diǎn).現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使點(diǎn)G1，G2，G3重合，記為點(diǎn)G，那么SG與平面EFG的位置關(guān)系為_(kāi)_______.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，從而SG⊥平面EFG.(2)三個(gè)平面α，β，γ.假設(shè)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直線c?β，c∥b.①判斷c與α的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②判斷c與a的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α與β沒(méi)有公共點(diǎn).又∵c?β，∴c與α無(wú)公共點(diǎn)，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α與β沒(méi)有公共點(diǎn).又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a?α，b?β，且a，b?γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.題型二平行與垂直關(guān)系的證明命題點(diǎn)1線面平行的證明例2在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，C1D1的中點(diǎn).求證：EF∥平面BB1D1D.證明如下圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE，那么OE∥DC，OE＝eq\f(1,2)DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F(xiàn)為D1C1的中點(diǎn)，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四邊形D1FEO為平行四邊形，∴EF∥D1O.又∵EF?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命題點(diǎn)2面面平行的證明例3如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1.(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)假設(shè)E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD.證明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD?平面A1BD，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD?平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如下圖，取BB1的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四邊形AEB1G是平行四邊形，∴B1E∥AG.同理GF∥AD.又∵GF＝AD，∴四邊形ADFG是平行四邊形，∴AG∥DF，∴B1E∥DF，∴DF∥平面EB1D1.又∵BD∩DF＝D，∴平面EB1D1∥平面FBD.命題點(diǎn)3直線與平面垂直的證明例4(2022·連云港模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC、BD相交于點(diǎn)O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn).(1)求證：OG∥平面EFCD；(2)求證：AC⊥平面ODE.證明(1)∵四邊形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴OG∥CD，又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴OG∥平面EFCD.(2)∵BF＝CF，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴FG⊥BC.∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，F(xiàn)G?平面BCF，F(xiàn)G⊥BC，∴FG⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴FG⊥AC，∵OG∥AB，OG＝eq\f(1,2)AB，EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，∴OG∥EF，OG＝EF，∴四邊形EFGO為平行四邊形，∴FG∥EO.又∵FG⊥AC，∴AC⊥EO.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE內(nèi)，∴AC⊥平面ODE.命題點(diǎn)4面面垂直的證明例5如下圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E為BB1的中點(diǎn)，求證：截面A1CE⊥側(cè)面ACC1A1.證明如下圖，取A1C的中點(diǎn)F，AC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EF，BG，那么FG∥AA1，且GF＝eq\f(1,2)AA1.因?yàn)锽E＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因?yàn)镕為A1C的中點(diǎn)，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝eq\f(1,2)AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四邊形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因?yàn)锳1C∩FG＝F，所以EF⊥側(cè)面ACC1A1.又因?yàn)镋F?平面A1CE，所以截面A1CE⊥側(cè)面ACC1A1.命題點(diǎn)5平行、垂直的綜合證明例6(2022·泰州一模)如圖，在四棱錐E—ABCD中，△ABD為正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求證：EC⊥BD；(2)假設(shè)AB⊥BC，M，N分別為線段AE，AB的中點(diǎn)，求證：平面DMN∥平面BEC.證明(1)如圖，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)EO，CO.因?yàn)镋B＝ED，CD＝CB，所以CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO?平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因?yàn)镋C?平面EOC，所以EC⊥BD.(2)因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，△ABD為正三角形，所以DN⊥AB.因?yàn)锽C⊥AB，所以DN∥BC.因?yàn)锽C?平面BCE，DN?平面BCE，所以DN∥平面BCE.因?yàn)镸為AE的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，所以MN∥BE.因?yàn)镸N?平面BCE，BE?平面BCE，所以MN∥平面BCE.因?yàn)镸N∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.思維升華(1)空間線面的位置關(guān)系的判定方法①證明直線與平面平行，設(shè)法在平面內(nèi)找到一條直線與直線平行，解答時(shí)合理利用中位線性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)，或構(gòu)造平行四邊形，尋求比例關(guān)系確定兩直線平行.②證明直線與平面垂直，主要途徑是找到一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.解題時(shí)注意分析觀察幾何圖形，尋求隱含條件.(2)空間面面的位置關(guān)系的判定方法①證明面面平行，需要證明線面平行，要證明線面平行需證明線線平行，將“面面平行〞問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線平行〞問(wèn)題.②證明面面垂直，將“面面垂直〞問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直〞問(wèn)題，再將“線面垂直〞問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線垂直〞問(wèn)題.(2022·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分別為邊A1B1，C1C的中點(diǎn).求證：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.證明(1)∵四邊形AA1C1C為矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1?平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四邊形CC1B1B為菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF.∵四邊形AA1C1C為矩形，E，F(xiàn)分別為C1C，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥AC.∵EF?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EF∥平面AB1C.∵D，F(xiàn)分別為邊A1B1，AA1的中點(diǎn)，∴DF∥AB1.∵DF?平面AB1C，AB1?平面AB1C，∴DF∥平面AB1C.∵EF∩DF＝F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，∴平面DEF∥平面AB1C.∵DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C.題型三平行與垂直的應(yīng)用例7(2022·安徽)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值.(1)解由題設(shè)AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高，又PA＝1.所以三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)證明在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M，連結(jié)BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，從而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2)，由MN∥PA，得eq\f(PM,MC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,3).思維升華(1)利用平行關(guān)系可以轉(zhuǎn)移點(diǎn)到面的距離，從而求幾何體體積或解決關(guān)于距離的最值問(wèn)題.(2)對(duì)于存在性問(wèn)題的證明與探索有三種途徑：途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；途徑二：先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.途徑三：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，探索出命題成立的條件.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝eq\r(3)，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊DC上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)時(shí)，判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；(2)證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊DC的何處，都有AF⊥EF；(3)求三棱錐B—AFE的體積.(1)解當(dāng)點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行.證明如下：在△PDC中，E，F(xiàn)分別為DC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)證明∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面PAD.又AF?平面PAD，∴AF⊥CD.∵PA＝AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF?平面PCD，∴AF⊥EF.即無(wú)論點(diǎn)E在邊DC的何處，都有AF⊥EF.(3)解作FG∥PA交AD于G，那么FG⊥平面ABCD，且FG＝eq\f(1,2)，又S△ABE＝eq\f(\r(3),2)，∴VB—AEF＝VF—AEB＝eq\f(1,3)S△ABE·FG＝eq\f(\r(3),12).∴三棱錐B—AFE的體積為eq\f(\r(3),12).6.立體幾何平行、垂直的證明問(wèn)題典例(14分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn).(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積.標(biāo)準(zhǔn)解答(1)證明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. [1分]又因?yàn)锳B⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1， [2分]又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1. [3分](2)證明取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G. [4分]因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC. [6分]因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形.所以C1F∥EG. [8分]又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE. [10分](3)解因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3). [12分]所以三棱錐E－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3). [14分]證明線面平行問(wèn)題(一)第一步：作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線；第二步：證明線線平行；第三步：根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行；第四步：反思回憶.檢測(cè)關(guān)鍵點(diǎn)及答題標(biāo)準(zhǔn).證明線面平行問(wèn)題(二)第一步：在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面；第二步：利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面平行；第三步：證明所作平面與所證平面平行；第四步：轉(zhuǎn)化為線面平行；第五步：反思回憶，檢查答題標(biāo)準(zhǔn).證明面面垂直問(wèn)題第一步：根據(jù)條件確定一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線；第二步：結(jié)合條件證明確定的這條直線垂直于另一平面內(nèi)的兩條相交直線；第三步：得出確定的這條直線垂直于另一平面；第四步：轉(zhuǎn)化為面面垂直；第五步：反思回憶，檢查答題標(biāo)準(zhǔn).1.設(shè)α，β為兩個(gè)不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)α∥β，l?α，那么l∥β；②假設(shè)m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么α∥β；③假設(shè)l∥α，l⊥β，那么α⊥β；④假設(shè)m，n是異面直線，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，那么l⊥α.其中真命題的序號(hào)是________.答案①③④解析①由α∥β，l?α知，l與β無(wú)公共點(diǎn)，故l∥β.②當(dāng)m?α，n?α，m與n相交，m∥β，n∥β時(shí)，α∥β.③由l∥α知，α內(nèi)存在l′，使得l′∥l.因?yàn)閘⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α內(nèi)存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.(2022·南京二模)平面α，β，直線m，n，給出以下命題：①假設(shè)m∥α，n∥β，m∥n，那么α∥β；②假設(shè)α∥β，m∥α，n∥β，那么m∥n；③假設(shè)m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；④假設(shè)α⊥β，m⊥α，n⊥β，那么m⊥n.其中是真命題的是________.答案③④解析對(duì)于①，平面α與β可能相交，故①錯(cuò)；對(duì)于②，假設(shè)α∥β，m∥α，n∥β，那么直線m與n可能平行，可能相交，也可能異面，故②錯(cuò)；對(duì)于③，由面面垂直的判定可知③正確；對(duì)于④，由面面垂直的性質(zhì)可知m⊥n，故④正確.因此真命題的序號(hào)為③④.3.在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M滿足是________時(shí)，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中點(diǎn)解析當(dāng)M是PC中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)AC，BD交于O，由題意知，O是AC的中點(diǎn)，連結(jié)MO，那么MO∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴MO⊥平面ABCD，MO?平面MBD，∴平面MBD⊥平面ABCD.4.(2022·連云港模擬)如圖，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F、G分別是棱BB1、AA1、AD的中點(diǎn)，那么平面A1DE與平面BGF的位置關(guān)系是________(填“平行〞或“相交〞).答案平行解析在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱BB1、AA1、AD的中點(diǎn)，所以FG∥A1D，所以FG∥平面A1DE，同理FB∥平面A1DE，又FG∩FB＝F，所以平面BGF∥平面A1DE.5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF，設(shè)AF＝x，那么A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽R(shí)t△FA1D，得eq\f(AC,AF)＝eq\f(A1F,A1D)，即eq\f(2a,x)＝eq\f(3a－x,a)，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.6.在正四面體P—ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC.其中不成立的結(jié)論是________.答案③解析如圖，由題知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵四面體P—ABC為正四面體，∴BC⊥PA，AE⊥BC，BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴①和②成立.設(shè)此正四面體的棱長(zhǎng)為1，那么PA＝1，AM＝eq\f(\r(3),4)，PM2＝PD2－DM2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(11,16)，∴PA2≠AM2＋PM2，故③不成立.7.(2022·常州調(diào)研)如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分別是BD，PC的中點(diǎn)，連結(jié)OM.求證：(1)OM∥平面PAD；(2)OM⊥平面PCD.證明(1)連結(jié)AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).在△PAC中，因?yàn)镺，M分別是AC，PC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA.因?yàn)镺M?平面PAD，PA?平面PAD，所以O(shè)M∥平面PAD.(2)連結(jié)PO.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，PB＝PD，所以PO⊥BD.因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO?平面PBD，所以PO⊥平面ABCD，從而PO⊥CD.因?yàn)镃D⊥PC，PC∩PO＝P，PC?平面PAC，PO?平面PAC，所以CD⊥平面PAC.因?yàn)镺M?平面PAC，所以CD⊥OM.因?yàn)镻A⊥PC，OM∥PA，所以O(shè)M⊥PC.因?yàn)镃D?平面PCD，PC?平面PCD，CD∩PC＝C，所以O(shè)M⊥平面PCD.8.如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn).(1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論.(1)證明如圖，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，所以B1C1⊥面ABB1A1.因?yàn)锳1B?面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因?yàn)锳1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因?yàn)锳1B?面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解當(dāng)點(diǎn)F為C1D1中點(diǎn)時(shí)，可使B1F∥平面A1BE.證明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝eq\f(1,2)C1D.設(shè)AB1∩A1B＝O，那么B1O∥C1D且B1O＝eq\f(1,2)C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四邊形B1OEF為平行四邊形.所以B1F∥OE.又因?yàn)锽1F?面A1BE，OE?面A1BE.所以B1F∥面A1BE.9.(2022·南京三模)如圖，在四棱錐P—ABCD中，O為AC與BD的交點(diǎn)，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA＝DC＝2AB.(1)假設(shè)E為棱PA上一點(diǎn)，且OE∥平面PBC，求eq\f(AE,PE)的值；(2)求證：平面PBC⊥平面PDC.(1)解因?yàn)镺E∥平面PBC，OE?平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以O(shè)E∥PC，所以AO∶OC＝AE∶EP.因?yàn)镈C∥AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2，所以eq\f(AE,PE)＝eq\f(1,2).(2)方法一取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)D.因?yàn)椤鱌AD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以DF⊥PC.因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD.因?yàn)镈C∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA.設(shè)AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝eq\r(2)a.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(5)a.在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝eq\r(5)a.因?yàn)锽C＝PB＝eq\r(5)a，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，所以PC⊥FB.在Rt△PFB中，F(xiàn)B＝eq\r(3)a.在△FDB中，由DF＝eq\r(2)a，F(xiàn)B＝eq\r(3)a，BD＝eq\r(5)a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF.因?yàn)镈F⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC，F(xiàn)B?平面PBC，所以DF⊥平面PBC.又DF?平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC.方法二取PD，PC的