(完整版)線性代數(shù)試卷及答案詳解

千里之行，始于足下。第2頁/共2頁精品文檔推薦(完整版)線性代數(shù)試卷及答案詳解《線性代數(shù)A》試題（A卷）

試卷類不：閉卷考試時(shí)刻：120分鐘考試科目：線性代數(shù)考試時(shí)刻：學(xué)號(hào)：姓名：

《線性代數(shù)A》參考答案（A卷）一、單項(xiàng)挑選題（每小題3分，共30分）

二、填空題（每小題3分，共18分）

1、256；

2、132465798???

????；3、112

2

112

21122

000??

?-??-??

；4、

；5、4；6、2。

三．解：因?yàn)榫仃嘇的行列式別為零,則A可逆,所以1XAB-=.為了求1AB-,可利用下列初等行變換的辦法：

2312112

01012

010*******

12101

141103311033102321102721

002781

002780

11410

101440

10144001103001103001103??????

?

?

?

-??→-??→--??????--?

??

??

?-??????

?

?

?

??→--??→-??→--????????????

―――――（6分）

因此1

278144103XAB-???==--????

.―――――（8分）

四．解：對(duì)向量組12345,,,,ααααα作如下的初等行變換可得：

12345111

4

3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--????

??

??

=

→??

????????

11

1

431

2

12011310

1131000000

0000000000

0000--????

?

?

??

→→

??

??

???

???――――（5分）

從而12345,,,,ααααα的一具極大線性無關(guān)組為12,αα，故秩

12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分）五．解：對(duì)方程組的增廣矩陣舉行如下初等行變換：

22

1121121

1211101130

11311101112002421120113400(2)(1)42ppppppppppppppppppppp??????

?????→--??→--??????--+--+?

????

?

-?????→??-+-+??

(分)

(1)當(dāng)10,(2)(1)0,ppp-≠-+-≠且時(shí)即1,2,pp≠≠-且時(shí)系數(shù)矩陣

與增廣矩陣的秩均為3,此刻方程組有唯一解.――――（5分）(2)當(dāng)1,p=時(shí)系數(shù)矩陣的秩為1,增廣矩陣的秩為2,此刻方程組無

解.――――（6分）

(3)當(dāng)2,p=-時(shí)此刻方程組有無窮多組解.方程組的增廣矩陣舉行初等行變換可化為

11

221122112212110333011121110333000010110

11180000??????

???-??→-??→--???

????

?????--??

?

??→????

（分）

故原方程組與下列方程組同解:

1

323

11xxxx-=-??

-=-?令30,x=可得上述非齊次線性方程組的一具特解0(1,1,0)T

ξ=--;

它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組13230

xxxx-=??

-=?的基礎(chǔ)解系含有一具元素,令

31,x=可得

1(1,1,1)Tξ=為該齊次線性方程組的一具解,它構(gòu)成該齊次線性方程組的基

礎(chǔ)解系.

此刻原方程組的通解為001101,,.kkkkξξ+這個(gè)地方為任意常數(shù)――――（12分）

六

．

解

：（

1

）

由

于

A

的特征多項(xiàng)式

21

24

||2

2

2(3)(6)4

2

1

IAλλλλλλ=-+-=+

故A的特征值為13λ=-（二重特征值），36λ=。――――（3分）

當(dāng)13λ=-時(shí)，由1()IAXOλ-=，即：123424*********xxx??????

??????=??????????????????

得基礎(chǔ)解系為12[1,2,0],[1,0,1]TT

αα=-=-，故屬于特征值13λ=-的所有

特征向量為1122kkαα+,12,kk別全為零的任意常數(shù)。――――（6分）

當(dāng)36λ=時(shí)，由3()IAXOλ-=，即：123524028204250xxx--????????????--=????????????--??????

得基

礎(chǔ)解系為3[2,1,2]T

α=，故屬于特征值26λ=的所有特征向量為33kα,3k

為非零的任意常數(shù)。(8分)(2)

將

12

,αα正交化可得：

211122111,42

[1,2,0],

[,,1],55

TT

αββαβαβββ==-=-

=--。再將其

單位化

得

：

121212,

5515153T

T

ββηηββ???==-==--?????

??

將3α單位化得：3212,,333T

η??

=????

。――――（12分）

則123,,ηηη是A的一組單位正交的特征向量，令

[

]23

1123323,,0Tηηη??

??==????????

則T是一具正交矩陣，且1

336TAT--????=-??????

。――――（14分）七．證明：(1)因?yàn)?)()TTTTTTAAAAAA+=+=+,所以TAA+為

對(duì)稱矩陣。

――――（2分）同理,因?yàn)?/p>

()()()

TTTTTTTAAAAAAAA-=-=-=--,所以

TAA-為反對(duì)稱矩陣。――――（4