山東省威海中考數(shù)學試題解析版-001

2019年山東省威海市中考數(shù)學試卷

一'選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.3C.1.D.

33

2.（3分）據(jù)央視網報道，2019年1?4月份我國社會物流總額為88.9萬億元人民幣，“88.9

萬億”用科學記數(shù)法表示為（）

A.8.89X1013B.8.89X1012C.88.9X10,2D.8.89X101'

3.（3分）如圖，一個人從山腳下的4點出發(fā)，沿山坡小路48走到山頂5點.已知坡角為

20°,山高口=2千米.用科學計算器計算小路48的長度，下列按鍵順序正確的是（）

A0EJH0ESB.

00EB00SD.0QB00H

4.（3分）如圖所示的幾何體是由幾個大小相同的小正方體搭成的，其俯視圖是（）

ZZ7I

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.（a2）3=aB.3a+a=3a

C.a^a=a（a豐0）D.a（/1）=a+1

6.（3分）為配合全科大閱讀活動，學校團委對全校學生閱讀興趣調查的數(shù)據(jù)進行整理.欲

反映學生感興趣的各類圖書所占百分比，最適合的統(tǒng)計圖是（）

A.條形統(tǒng)計圖B.頻數(shù)直方圖C.折線統(tǒng)計圖D.扇形統(tǒng)計圖

7.（3分）如圖，E是p4宓〃邊延長線上一點，連接維，CE,BD,BE交CD于&F.添加

以下條件，不能判定四邊形8的為平行四邊形的是（）

E

AB

A.Z.ABD=ADCEB.DF=CFC./AEB=Z.BCDD.NAEC=4CBD

8.（3分）計算（丘-3）°+V27-（-返）的結果是（）

3

A.1+金?B.1+273C.如D.1+473

3

3-x》4①

9.（3分）解不答式組22…時，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的

冬+l〉x\?②

JJ

是（）

J_I_1_I_I_I_I_I_b-

A.?3?24012347

111j1ill

B.0I2345

C.?3?2-1012345

iiji」i」iJ.

D.-3-2-1012345

10.（3分）已知a,6是方程￥+*-3=0的兩個實數(shù)根，則--加2019的值是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

11.（3分）甲、乙施工隊分別從兩端修一段長度為380米的公路.在施工過程中，乙隊曾

因技術改進而停工一天，之后加快了施工進度并與甲隊共同按期完成了修路任務.下表

是根據(jù)每天工程進度繪制而成的.

施工時間/天123456789

累計完成施工量/3570105140160215270325380

米

下列說法錯誤的是（）

A.甲隊每天修路20米

B.乙隊第一天修路15米

C.乙隊技術改進后每天修路35米

D.前七天甲，乙兩隊修路長度相等

12.（3分）如圖，。P與x軸交于點4（-5,0）,B（1,0）,與y軸的正半軸交于點C.若

NACB=60；則點C的縱坐標為（）

A.B.2揚EC.4MD.2折2

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結果）

13.（3分）把一塊含有45°角的直角三角板與兩條長邊平行的直尺如圖放置（直角頂點在

直尺的一條長邊上）.若N1=23°,則N2=°.

15.（3分）如圖，在四邊形483中，AB//DC,過點。作您，仇?，交力。于點￡,連接匹

/BEg/DEC、若則但.

16.（3分）一元二次方程3x?=4-2x的解是.

17.（3分）如圖，在四邊形48緲中，AB//CD,連接AC,BD.若NACB=90°,AC=BC,AB

18.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點48在反比例函數(shù)y=K（k*0）的圖象上運

動，且始終保持線段4y的長度不變.”為線段48的中點，連接0〃則線段。/長

度的最小值是（用含R的代數(shù)式表示）.

三'解答題（本大題共7小題，共66分）

19.（7分）列方程解應用題：

小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球.他們兩家到體育公園的距離分別是1200米，

3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前

4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度.

20.（8分）在一個箱內裝入只有標號不同的三顆小球，標號分別為1,2,3.每次隨機取出

一顆小球，記下標號作為得分，再將小球放回箱內.小明現(xiàn)已取球三次，得分分別為1

分，3分，2分，小明又從箱內取球兩次，若五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，請用畫樹

狀圖或列表的方法，求發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率.

21.（8分）（1）閱讀理解

如圖，點48在反比例函數(shù)y=L的圖象上，連接48,取線段48的中點C.分別過點4

X

C,8作X軸的垂線，垂足為￡F,G,小交反比例函數(shù)/=L的圖象于點。.點￡F,G

X

的橫坐標分別為“-1,","1

小紅通過觀察反比例函數(shù)y=上的圖象，并運用幾何知識得出結論：

X

A&BG=2CF,CF>DF

由此得出一個關于」2,之間數(shù)量關系的命題：

n-ln+1n

若〃>1,則.

（2）證明命題

小東認為：可以通過“若a-6》0,則的思路證明上述命題.

小晴認為：可以通過“若a>0,b>Q,且則的思路證明上述命題.

請你選擇一種方法證明（1）中的命題.

22.（9分）如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進汽車貨廂的示意圖.已

知汽車貨廂高度86=2米，貨廂底面距地面的高度仍=0.6米，坡面與地面的夾角N外〃

=a,木箱的長（F6為2米，高（㈤和寬都是1.6米.通過計算判斷：當sina=a,

5

木箱底部頂點C與坡面底部點4重合時，木箱上部頂點E會不會觸碰到汽車貨廂頂部.

23.（10分）在畫二次函數(shù)（a右。）的圖象時，甲寫錯了一次項的系數(shù)，列表

如下

X......-10123......

V甲......63236......

乙寫錯了常數(shù)項，列表如下:

X......-10123......

V乙-2-12714......

通過上述信息，解決以下問題:

（1）求原二次函數(shù)y=a/+6肝c（a*Q）的表達式；

（2）對于二次函數(shù)y=a/+6/。%去0）,當^時，y的值隨x的值增大而增大；

（3）若關于x的方程a/+6/c=A5豐0）有兩個不相等的實數(shù)根，求幺的取值范圍.

24.（12分）如圖，在正方形483中，48=10c叫￡為對角線劭上一動點，連接〃；CE,

過￡點作爐_L/IE交直線外于點尸.￡點從8點出發(fā)，沿著被方向以每秒2cm的速度運

動，當點石與點。重合時，運動停止.設△弼的面積為人步，&點的運動時間為X秒.

備用圖

(1)求證：CE=EF；

(2)求y與x之間關系的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求△比尸面積的最大值.

25.(12分)(1)方法選擇

如圖①，四邊形俶切是。。的內接四邊形，連接妝BD,AB=BXAC.求證：BMAKCD.

小穎認為可用截長法證明：在加上截取加肥，連接

小軍認為可用補短法證明：延長必至點乂使得加

請你選擇一種方法證明.

(2)類比探究

【探究1】

如圖②，四邊形四”?是。。的內接四邊形，連接4C,BD,8c是。。的直徑，為8=4C.試

用等式表示線段加，BD,3之間的數(shù)量關系，井證明你的結論.

【探究2】

如圖③，四邊形形切是。。的內接四邊形，連接他BD.若比是。。的直徑，NABC=

30°,則線段/〃，BD,切之間的等量關系式是.

(3)拓展猜想

如圖④，四邊形是。。的內接四邊形，連接4C,BD.若8c是。。的直徑，BC-.ACz

2019年山東省威海市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分)

1.【解答】解：-3的相反數(shù)是3.

故選：B.

2.【解答】解:法一：88.9萬億=88.9X1()4X1O8=88.9X1O'2

用科學記數(shù)法表示：88.9X10'2=8.89X10n

法二：科學記數(shù)法表示為：88.9萬億=8890000000000=8.89X10”

故選：A.

3.【解答】解：在中，si"=sin20°=匹，

AB

-BC=2

"sin20°sin20°

按鍵順序為:2-?sin20=

故選：A.

4.【解答】解：從上面看，得到的視圖是：LJ,

故選：C.

5.【解答】解：A(a2)3=/,故本選項錯誤；

B、3a+a,不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；

C、a-^a—a(a#=0),正確；

D、a(>1)=a+a,故本選項錯誤.

故選：C.

6.【解答】解：欲反映學生感興趣的各類圖書所占百分比，最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

故選：D.

7.【解答】解：?.?四邊形/成沙是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

：.DE//BC,/ABX2CDB,

'：NABD=Z.DCE,

NDCE=/CDB、

C.BD//CE,

為平行四邊形，故4正確；

-：DE//BC,

NDEF=NCBF,

'/DEF二NCBF

在/\DEF與4CBF中,ZDFE=ZCFB,

DF=CF

???△，￡&△慚（A4S）,

:.EF=BF、

,:DF=CF,

.二四邊形仇卻為平行四邊形，故8正確；

-AE//BG,

4AEB=NCBF,

'//AEB=/BCD,

：?/CBF=/BCD、

:?CF=BF、

同理，EF=DF、

??.不能判定四邊形成順為平行四邊形；故C錯誤;

'CAE//BC.

??./DE3/BCE=/ED卅/DBC=\8G,

*/NAEC=NCBD,

:NBDE=NBCE,

???四邊形仇即為平行四邊形，故〃正確，

8.【解答】解：原式=1+

故選：D.

9.【解答】解：解不等式①得：xW-1,

解不等式②得：%<5,

將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下：

11j11111A.

-3-2-1012345

故選：D.

10?【解答】解：a,6是方程『+x-3=0的兩個實數(shù)根，

b=3-IJ,a^b--1,ab-3,

Aa-b+2019=a-3+h2+2019=（尹6）2-2aZ>+2016=1+6+2016=2023；

故選：A.

11.【解答】解：由題意可得，

甲隊每天修路：160-140=20（米），故選項4正確；

乙隊第一天修路：35-20=15（米），故選項8正確；

乙隊技術改進后每天修路：215-160-20=35（米），故選項C正確；

前7天，甲隊修路：20X7=140米，乙隊修路：270-140=130米，故選項〃錯誤;

故選：D.

12.【解答】解：連接版PB,PC,過。作戶九須于。，PE1BC于E,

,:N4CB=60°,

二.N4陽=120°,

?：PA=PB,

；.NPAB=NPBA=3Q°,

■：A（-5,0）,B（1,0）,

；?AB=6,

；.AD=BD=3,

「?勿=遂，PA=PAPX2M,

'：PDLAB、PELBC,/A0C=q0°,

r.四邊形戶是矩形，

：.0E=PD=M，PE=OA2.

C￡='PC2_pE2=，12-4=2a,

0gC日0E=2^^氏,

..?點C的縱坐標為2心M，

故選：8.

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結果）

13.【解答】解：?二△/ISC是含有45°角的直角三角板，

，4=NG=45°,

VZ1=23°,

:.N4GB=NON1=68°,

?：EF//BD,

；.N2=NAGB=68°；

故答案為：68.

14?【解答】解：原式=2(%-A+1)

4

=2(x--)2.

2

故答案為：2(x-1)L

2

15.【解答］解：如圖，延長8C、相交于點尸,

?：CELBC,

BCE=/FCE=9N,

YNBEC=/DEC,CE=CE,

：./\EBC^/\EFC{ASA),

:?BC=CF、

'：AB//DC,

：,AD=DF,

■,-z?6?=yAB=6Xy=3-

故答案為：3.

16.【解答]解：3，=4-2x

3/+2x-4=0,

貝lj6?-4ac=4-4X3*(-4)=52>0,

故片一2土屈,

6__

解得：必=*!S,X2=±fil

33_

故答案為：X1=―?413_,X2=-.

33

17.【解答】解：作巫，絲于￡CF'AB^F,如圖所示:

貝I]DE=CF,

,:CFLAB、ZACB=90°,AC=BC,

：.CF=AF=BF=LAB,

2

,:AB=BD,：.DE=CF=LAB=LBD,/BAD=NBDA、

22

；.N480=30°,

:./BAD=ZBDA=15°,

?：AB//CD,

：.AADC+^BAD=^,

二N4%=105°；

故答案為：105。.

D

18.【解答］解：如圖，當時，線段0〃長度的最小,

..力為線段的中點，

：.OA=OB,

???點48在反比例函數(shù)y=k(^0)的圖象上，

X

???點力與點8關于直線V=x對稱，

,?,34圾，

二可以假設/(m,X),則8(*4,X-4),

IDID

irrt-4ro-4

解得k—m+4/77,

.'.A(/77,m4),B(m4,ni),

(府2,m2),

-'-0M=72(irri-2)2=V2(m2+4in)+8=^k+8，

的最小值為｛2k+8?

故答案為j2k+8-

三'解答題(本大題共7小題，共66分)

19.【解答】解：設小明的速度是x米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是3萬米/分鐘,根據(jù)題

意可得：

1200_4=3000,

x3x

解得：x=50,

經檢驗得：x=50是原方程的根，故3x=150,

答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘.

20?【解答】解：樹狀圖如下：

123

1731?31-)3

共有9種等可能的結果數(shù)，

由于五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，

???五次的總得分不小于11分，

二后2次的得分不小于5分，

而在這9種結果中，得出不小于5分的有3種結果，

..?發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率為

93

21.【解答】解：(1).:A?BG=2CF、CF>DF,/86=^—,DF=L,

n~ln+1n

n-1n+1n

故答案為：

n~ln+1n

999

(2)方法??1)1_2=n+n+nf-2n+2=2

n-ln+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

Vn>1,

:.n(n-1)(加1)>0,

_-2>o,

n-ln+1n

n-ln+1n

方法二：

一n-1

n

n-ln+1n

22.【解答】解：???8/U0.6米，sina=3,

5

?AR—BH_0.6一〔

..回sina--米,

5

??j/uo.8米,

"：AF=Fg2米、

：.BF=\米,

作FJL8G于點J,作EKI.￡/于點K,

■:EF=FB=AB=、米'NEKF=ZFJB=/AHB=9Q",NEFK=ZFBJ=NABH,

△EFKQ△FB擔叢ABH、

：.EK=FJ=AH,BJ=BH,

:.BKEK=O.6+0.8=1.4<2,

???木箱上部頂點E不會觸碰到汽車貨廂頂部.

23?【解答】解：(1)由甲同學的錯誤可知c=3,

由乙同學提供的數(shù)據(jù)選x=-1,y=-2；x=1,y=2,

有［-2=a-b+3,

12=a+b+3

.(a=-3

lb=2'

y=-3X+2A+3；

(2)y=-3f+2/3的對稱軸為直線x=L,

3

,拋物線開口向下，

.?.當時，y的值隨x的值增大而增大；

3

故答案為《工；

3

(3)方程a，+6/c=%(a#0)有兩個不相等的實數(shù)根,

即-3『+2/3-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△=4+12(3-A)>0,

???Y獨；

3

24.【解答】(1)證明：過E忤MN〃AB、交AD于M,交.BC于N,

.?.四邊形是正方形，

：.AD//BC,ABLAD.

：,MNVAD,MNA.BC,

：.NAME=NFNE=9G=NNF84FEN,

?：AE1EF,

：?4AEF=4AE%/FEN=9N,

???NAEM=NNFE,

ZDBC=45°,NBNE=90°,

：,BN=EN=AM,

:.△AEM^XEFN(A4S),

:?AE=EF,

.?.四邊形彳仇力是正方形，

:?AD=CD、4ADE=4CDE,

,:DE=DE,

:.△ADEQXCDE(%S),

：.AE=CE=EF；

（2）解：在RtZk8緲中，由勾股定理得：BD=7102+102=1

.,?0Wx/5

由題意得：BE=2x、

：,BN=EN=MX、

由（1）知：XAE旭4EFN,

??.ME=FN,

YAB=MN=0

；,ME=FN=10-?x,

/.BF=FN-BN=10-血x-近x=10-2yx,

?"胸?EN=/(10-2圾x)?后x=-2￥+5&x(0W*W5病

X=-2

(3)解：y=-2x+5V22(x-5y>+,^?

44

V-2<0,

???當x=E返時，y有最大值是空；即△而面積的最大值是空.

444

25.【解答】解：(1)方法選擇：宓=.

，ACB=/ABC=60°,

如圖①，在劭上截取則44連接他

VZADB=ZACB=6Q°,

???△力//是等邊三角形，

'：NABM=4ACD,

?：/AMB=4ADC='200,

：./\ABM^f\ACD(MS),

：.BM=CD、

，BD=B/^DM=C>AD；

(2)類比探究：如圖②，

.?.8C是。。的直徑，

ZBAC=90°,

??Y8=4a

?,.NABC=/ACB=45°,

過力作4fL47交BD于M,

VZADB=ZACB=45°,

???△兒湖是等腰直角三角形,

，AAf=A。,N4仞=45°,

.\DM=\pZAD,

，N4M8=N4)C=135°,

YNABM=NACD,

{AAS}.

:.BM=CD,

BD=B聃DM=C>JiAD；

【探究2】如圖③，:若8c是。。的直徑，N力及=30°,

：?NBAC=9G,/ACB=60°,

過力作4a4?交劭于M

ZADB=ZACB=60°,

：.^AMD=3Q°,

，MD=2AD,

?：4ABD=4ACD、ZAMB=ZADC=]50°,

:?△ABM^XACD、

.??迪3=正，

CDAC

：.BD=B%DM=MCDRAD；

故答案為：BD=MCM2AD：

(3)拓展猜想：BgB%DM=±c2AD；

bb

理由：如圖④，?.?若8c是。。的直徑，

ZBAC=90a,

過/作他14?交BD于M,

；.N物〃=90°,

/BAM=/DAC、

：./\ABM^/\ACD,

.BM_AB_c

"CD^ACV

：.BM=^CD,

b

?:』ADB=NACB,4BAC=NNAgqG,

:?l\AD頻XACB、

■AD_AC_b

"DMBC7

：.DM=^-AD,

b

BD=B雌DM=2C>3AD.

bb

故答案為：BD=^C出立AD

bb

------

圖④

圖③

圖①

初中數(shù)學重要公式

1、幾何計數(shù)：

⑴當一條直線上有n個點時，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內有"個點，過兩點確定一條直線，在這個平面內最多存在條直線.

⑶如果平面內有n條直線，最多存在個交點.

⑷如果平面內有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個角.

2、AB//CD,分別探討下面四個圖形中/仍?與/為6、的關系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

b.兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

c.兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

e.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡記為）.

4、坐標系中的位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，位似

比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于.

5、”邊形的內角和等于；多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個內角中，最多能有—3一個鈍角，最多能有—3一個銳角.如果一個多邊

形的邊數(shù)增加1,那么這個多邊形的內角和增加180—度.

4.n邊形有條對角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進行拼接，彼此之間不留空隙，

不重疊的鋪成一片，就是平面圖形的.

［注意］要實現(xiàn)平面圖形的鑲嵌，必須保證每個拼接點處的角恰好能拼成°.

［總結］平面圖形的鑲嵌的常見形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個正三角形或個正四邊

形或個正六邊形.

⑵用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個正三角形和個正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個正三角形和個正六邊形或者用

個正三角形和個正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個正四邊形和個正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進行鑲嵌，設用m塊正三角形、n塊正方形、k塊正六邊

形，則有60m+90"+120k=360,整理得,因為n?、n、k為整數(shù)，所

以m=,n-,k=,即用塊正方形，塊正三角

形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法:

7、如圖：中，ZACB=90°,CD±ABTD,

則有:

(1)、ZACD=ZBZDCB=ZA

(2)由RtA4BCsRtA4CD得到AC1=ADAB

由MAABCsRtACBD得到BC2=BDAB

由RtZ\AC。sRtACBD得到CN=ADBI^

⑶,由等積法得到ABXCD=ACXBC

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形，S1+S2=S3都成立。

9、在解直角三角形時常用詞語:

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做,視線在水平線下方的叫做

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度I之比叫,用字母i表示，即i=,把

坡面與水平面的夾角叫做,記作a,于是i==tana,顯然，坡度越大,

a角越大，坡面就越陡.

10.正多邊形的有關計算

邊長：a=2R?,sin----周長：P?=n?a?

nn

180°面積：5,=1a-r'n

邊心距:；=R“"cosnn

n

n-2X180°360°360°

內角:外角:中心角:

nnn

11、特殊銳角三角函數(shù)值

30"45°60°

J_V3

Sina

2~22

V3]_

Cosa

~T2

.73

tana1V312、某些數(shù)列前n項之和

3

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+

n=n(n+l)/2

V3

Cota顯11+3+5+7+9+11+13+15+…

+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2

n)=n(n+l)

13、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比

例。

如圖：a〃b〃c,直線/i與匕分別與直線a、b、c相交與點八、8、C和E、F,

m±ABDEABDEBCEF

BCEFACDFACDF

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對

應線段成比例。如圖：△A8C中，DE〃BC,DE與八8、AC相交與點E,則有:

AD_AEAD_AE_DEDBEC

~DB~~EC'~AB~~AC~~BC'~AB~~AC

14、極差、方差與標準差計算公式:

①極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差

稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

②方差：

數(shù)據(jù)再、x2...,X“的方差為

③標準差：

數(shù)據(jù)匹、x2……,X”的標準差S,

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大。

15、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

①公式法：y-ax2+bx+c-(ix+-頂點是

V2a)4a

/bAac-b2、,h

(----,---------),對稱軸友e.直線vX=----o

2a4a2a

②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-+Z的形式,

得到頂點為(心口，對稱軸是直線x=〃。

③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與

拋物線的交點是頂點。

若已知拋物線上兩點(苞》)、。2，>)(及y值相同)，則對稱軸方程可以表

示為：%=

2

16、直線與拋物線的交點

①y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為(0,c)o

②拋物線與X軸的交點。

二次函數(shù)y=a/+8x+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標X|、x2,是對應一

元二次方程

ax1+〃x+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次

方程的根的判別式判定：

a有兩個交點o(A>0)o拋物線與x軸相交；

b有一個交點(頂點在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；

c沒有交點。(△<0)。拋物線與》軸相離。

③平行于％軸的直線與拋物線的交點

同②一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點

的縱坐標相等，設縱坐標為左，則橫坐標是"2+bx+C=左的兩個實數(shù)根。

④一次函數(shù)y=kx+n(kH0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/0)的圖

y=kx+n

像G的交點，由方程組)的解的數(shù)目來確定：

y=ax+法+c

a方程組有兩組不同的解時<=>/與G有兩個交點；

b方程組只有一組解時=/與G只有一個交點；

c方程組無解時=/與G沒有交點。

⑤拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax2+〃x+c與x軸兩交點

為,0),B(X2,0),則AB=|jq一百

圖形的定義、性質、判定

一、角平分線

性質：角的平分線上的點到角兩邊的相等.

判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在上.

二、線段垂直平分線

1.性質：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離.

2.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的巳

［點撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個端點距離相等的所有點的集合.

三、等腰三角形

定義、性質：

1.定義：有兩相等的三角形是等腰三角形.

2.性質：

⑴等腰三角形兩個腰.

⑵等腰三角形的兩個底角(簡寫成等邊對等角).

⑶等腰三角形的頂角，底邊上的,底邊上的_______互相重合.

⑷等腰三角形是軸對稱圖形，有條對稱軸.

［注意］(1)等腰三角形兩腰上的高相等.

⑵等腰三角形兩腰上的中線相等.

⑶等腰三角形兩底角的平分線相等.

⑷等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

⑸等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行.

⑹等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

⑺等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

判定：

1.定義法.

2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫為“等角對等邊”).

［注意］(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.

⑵一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

⑶一邊上的中線與三角形中這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

四、等邊三角形

1.等邊三角形的性質

⑴等邊三角形的三條邊都相等.

(2)等邊三角形的三個內角都相等并且每一個角都等于60°.

⑶等邊三角形是軸對稱圖形，并且有條對稱軸.

［注意］等邊三角形具有等腰三角形的所有性質.

2.等邊三角形的判定

⑴三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.

⑵三個角相等的三角形是等邊三角形.

⑶有一個角等于60°的三角形是等邊三角形

五、直角三角形

1.定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形.

2.直角三角形的性質

⑴直角三角形的兩個銳角.

⑵直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的.

⑶在直角三角形中，30。的角所對的邊等于斜邊的.

(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30

度。

(5)、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么/+按=

3.直角三角形的判定

(1)、判定：如果一個三角形中有兩個角互余，那么這個三角形是三角形.

(2)、如果三角形的三邊長分別為a、b、c,滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是三

角形.

(3)、如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

⑷、直徑所對的圓周角是90度。

(5)、如果一個三角形的外心在三角形的一條邊上，那么這個三角形是直角三角形。

(6)、圓的切線垂直于過切點的半徑。

六、相似三角形

1.相似三角形的對應角,對應邊的比.相似多邊形對應角相等，對應邊

的比.

相似多邊形周長的比等于.相似多邊形面積的比等于的平方.

2.相似三角形的周長比等于.

3.相似三角形的面積比等于相似比的.

［注意］相似三角形的對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比.

判定定理：

1.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.

2.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

3.如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相

似.

［注意］直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形都相似.

七、位似圖形

1.定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣

的兩個圖形叫做位似圖形，這個