高等數(shù)學(東北大學出版社)第1-5章和第8-10章習題和復習題習題與講解

第1-5章和第8-10章習題和復習題參考答案第1章函數(shù)、極限與連續(xù)習題1.1⒈以下各組函數(shù)，哪些是同一函數(shù)，哪些不是？yx與y=x33yx與y=x2是同一函數(shù)〔2〕〔1〕是同一函數(shù)x12不是同一函數(shù)〔4〕y2lnx與y=lnx2不是同一函數(shù)〔3〕yx1與y=x1⒉指出以下函數(shù)的定義域.〔1〕f(x)3x4的定義域是[4,)〔2〕f(x)ln1的定義域是(,1)31x〔3〕f(x)ln(x21)的定義域是(,2][2,)〔4〕f(x)arcsin(lxn)的定義域是[1,e]e〔5〕假設f(x)的定義域是[4,4]，那么f(x2)的定義域是[2,2]〔6〕假設f(x)的定義域是[0,3a]，那么f(xa)f(xa)的定義域是[a,2a]3.判別以下函數(shù)的奇偶性.〔1〕fxxsinx是奇函數(shù)〔2〕fxxcosx是奇函數(shù)〔3〕fxx2x是非奇非偶函數(shù)〔4〕1x是奇函數(shù)1xfxlg〔5〕fxcos(sin)x是偶函數(shù)〔6〕sinxfx是偶函數(shù)xcosx是奇函數(shù)〔8〕fxfxln(x21x)〔7〕是偶函數(shù)1x2⒋以下函數(shù)哪些在其定義域內(nèi)是單調(diào)的.〔1〕ysinx在其定義域內(nèi)不是單調(diào)的〔2〕yarcsinx在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的〔3〕yx2x在其定義域內(nèi)不是單調(diào)的〔4〕時，yeax在其定義域內(nèi)是單調(diào)的，其中a0時，yeax在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，a0時，yeax在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的a05.以下函數(shù)在給定區(qū)間中哪個區(qū)間上有界.〔1〕y1在區(qū)間(1,)上有界x〔2〕yln(2x1)在區(qū)間(1,10)上有界〔3〕yx3在區(qū)間(3,4)上有界〔4〕ysinx在區(qū)間(,0),(,),(1,1)上分別有界6.以下函數(shù)哪些是周期函數(shù)，如果是求其最小正周期.2〔1〕ysin3x是周期函數(shù)，最小正周期是3〔2〕ycosx是周期函數(shù)，最小正周期是〔3〕ytan2x是周期函數(shù)，最小正周期是2〔4〕yln(cosx2)是周期函數(shù)，最小正周期是7.以下各對函數(shù)中，哪些可以構成復合函數(shù).f(u)arcsin2(u),ux2〔1〕不可以構成復合函數(shù)〔2〕f(u)ln(1u),usin2x不可以構成復合函數(shù)1〔3〕f(u)u,uln不可以構成復合函數(shù)2x2〔4〕f(u)arccous,u2x可以構成復合函數(shù)1x28.將以下復合函數(shù)進展分解.〔1〕對復合函數(shù)f(x)x23x4的分解結果是：f(x)u,ux23x4f(x)e2x3的分解結果是：f(x)eu,u2x3〔2〕對復合函數(shù)〔3〕對復合函數(shù)f(x)ln(2x3)的分解結果是：f(x)lnu,u2x3〔4〕對復合函數(shù)f(x)arcsin(x1)的分解結果是：f(x)accsinu,ux19.求函數(shù)值或表達式.x22x21x2〔1〕函數(shù)f(x),則f(2)0,f(2)-4,f(0)2,f(x2)x1.sinx,x12,則f(1)0,f(),f()0.42〔2〕函數(shù)f(x)0,x1〔3〕函數(shù)f(x)sinx,則f(arcsin1)-1.22〔4〕函數(shù)f(sinx)cos2x，那么f(x)12x2,x1,1習題1.21.用觀察法判斷以下數(shù)列是否有極限，假設有，求其極限.31517x:1,,,,,,沒有極限〔2〕x1有極限，lim10〔1〕23456nnnnnxsinnx(1)n沒有極限〔4〕nn有極限，lim[(1)n]0n〔3〕2n31n1n3n2.分析以下函數(shù)的變化趨勢，求極限〔1〕lim10〔2〕lim10xx1x2x2x3〔3〕limln(x2)〔4〕lim2x2xx3.圖略，limf(x)不存在x04.以下變量中，哪些是無窮小量，哪些是無窮大量？2是無窮大量xx0100x2時，x0時，〔1〕是無窮小量〔2〕〔3〕x時，x1是無窮小量〔4〕x時，ex是無窮大量x12n2sinxn(1)n時，是無窮大量〔6〕x時，是無窮小量〔5〕n3x1時，是無窮小量〔8〕〔7〕xsinx0時，2x1是無窮小量x5.函數(shù)f(x)x1，那么f(x)在x或x或x的過程中是無窮(x3)2小量，在x3或x3或x3的過程中是無窮大量？1x6.當x1時，無窮小與以下無窮小是否同階？是否等價？〔１〕當x1時，無窮小1x與無窮小1x3同階，但不等價1〔２〕當x1時，無窮小1x與無窮小(1x2)同階，而且等價2習題1.3f(x)xlimf(xt)f(x)11.設函數(shù)，那么t2xt0x21,x2，那么limf(x)5,limf(x)5,limf(x)5.2.設函數(shù)f(x)2x1,x2x2x2x23.求以下各式的極限：x232〔1〕lim(2x2x5)15〔2〕limx4x213x1x225〔4〕lim2x2x2x〔3〕lim(1)x33x0x42〔5〕lim11x21x0lim(12)n12〔6〕x2nnn2n222x22x211〔8〕limx313x1〔7〕limxxx1〔9〕limx(9x213x)1〔10〕lim2xx11x6xx1〔11〕lim(x1)10(2x3)10210(3x5)20320xx2ax65a7，那么.x14.limx15.lim(x2kxx)2，那么k4.x6.求以下極限：〔1〕limsin5x5〔2〕limtan2xsinx1sin2x2xx0x0〔3〕limcosxcos3x4〔4〕limtan(2xx3)2x2sin(xx)2x0x0〔5〕limxsin11〔6〕limxsinx0xsinxxxx0〔7〕lim2arcsinx2〔8〕limtanxsinx13x3x32x0x07.求以下極限：〔1〕lim(14)2xe8〔2〕lim(12)x1e2xxxx3x3〔4〕lim(x1)x1e22x12〔3〕lim()xe3x0x5〔5〕lim(1lnx)e5〔6〕lim(1cosx)secxelnxx1x28.用等價無窮小替換計算以下各極限：〔1〕limarcta6nx2〔2〕lim24x3xe12xx0x0〔3〕lim1cos2x2〔4〕limln(12x)2x2e1xx0x0習題1.4x21x1,x1，那么f(x)1.設函數(shù)f(x)x1在處不連續(xù)．3,x12.指出以下函數(shù)的連續(xù)點，并指明是哪一類連續(xù)點？1〔1〕函數(shù)f(x)的連續(xù)點有點x1和點x1，它們都是第二類連續(xù)點中的x21無窮連續(xù)點1x0x的連續(xù)點有點，它是第二類連續(xù)點〔2〕函數(shù)f(x)e〔3〕函數(shù)f(x)x21的連續(xù)點有點x0x1x0和點，其中點是第二類連續(xù)(x1)xx1點中的無窮連續(xù)點，點是第一類連續(xù)點x21x1〔4〕函數(shù)f(x),x1的連續(xù)點有點x1，它是第一類連續(xù)點中的0,x1可去連續(xù)點x22,x0〔5〕函數(shù)f(x)x0的連續(xù)點有點，它是第一類連續(xù)點中的跳2x,x0躍連續(xù)點x24x2,x2〔6〕函數(shù)f(x)x2的連續(xù)點有點，它是第一類連續(xù)點中的可3,x2去連續(xù)點sinx,x0x3.設函數(shù)f(x)k,x0k1f(x)，當時，函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)xsin11,x0x的.4.求以下極限：〔1〕limarccosx2x〔2〕limlgsinx0x224x1〔3〕limesinx10〔4〕e2cosxx0limln(1x)lnxln2xx1x4x211〔6〕limxx1x1〔5〕limx2x22x1〔7〕limlnx1〔8〕limarctanxxe4xex15.〔略〕6.〔略〕復習題1一、單項選擇題1.以下函數(shù)中〔C〕是初等函數(shù).0xQ〔A〕yarcsinx(22)〔B〕f(x)1xQx20x1〔C〕yx21〔D〕f(x)x1x12.以下極限存在的是〔B〕.〔A〕lim4x〔B〕limx313x1〔C〕limlnx〔D〕limsin1x1x13xxx03.當x0時，tan2x與以下〔D〕不是等價無窮小.〔A〕tanx2〔B〕x2〔C〕sin2x〔D〕cos2x4.函數(shù)在某點連續(xù)是該函數(shù)在此點有定義的〔B〕.〔A〕必要條件〔B〕充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕無關條件sinax5.lim2,那么常數(shù)a〔C〕.x0x〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕46.閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)yf(x)在[a,b]上一定是〔C〕.〔A〕單調(diào)函數(shù)〔B〕奇函數(shù)或偶函數(shù)〔C〕有界函數(shù)〔D〕周期函數(shù)二、填空題1xx01.設f(x)，那么f(2)4.2x0x2.函數(shù)ycos53x是由簡單函數(shù)yu3,ucosv,v3x復合而成的.x1,x1x1f(x)3.點是函數(shù)3x,x1的第一類連續(xù)點中的跳躍連續(xù)點.x4.當時，函數(shù)y3x是無窮小.2x5.極限=e2xlim1.x1,46.函數(shù)yln(4x)x1的連續(xù)區(qū)間為.三、計算以下極限x23x32x2不存在1.lim=02.limx2x3x4x21x2114.limx25x6x28x153.limx12x2x12x3x2x116.limx48x15.lim不存在(x2)2x25xxx233x16x127.limx18.lim(3cosx)=0x13xxcosx9.lim1cos110.lim1sinx120x11.limln(1x)1121)lim(12.sin2x2x2x382x0x2lim(12)2x1e132xe314.13.lim(12x)x0xxx1x1e16.lim(x1)xe2x1xlim15.x0x四、綜合題x210x11.函數(shù)f(x)x1x2在點處不連續(xù)，在點處連續(xù)，函數(shù)的圖像x1x1略。exx02.設函數(shù)那么limf(x)=1,f(x)在點x0處連續(xù)。x0f(x)1x0sinxxx0sinkx,x0，當k2,a為任意實數(shù)時，f(x)在x0處連續(xù)。5x3.設函數(shù)f(x)52ax,x04.〔略〕第2章導數(shù)與微分習題2.11.質(zhì)點作直線運動方程為st23，那么該質(zhì)點在時的瞬時速度為10.t5f(x)xf(x)表示以下極限:02.用函數(shù)在的導數(shù)0〔1〕limf(x2x)f(x)2f(x)limf(xx)f(x)f(x)〔2〕000002x2x0x0x0〔3〕limf(xt)f(xt)2f(x)limf(x)f(x)f(x)〔4〕00000xx0t000t00xx0xx3.利用根本公式1，求以下函數(shù)的導數(shù):〔1〕yxe,則yexe1〔2〕yx3,則y1x4331〔3〕y那么y1xx6〔4〕yx，那么yx1578683x4.求以下曲線在指定點處的切線方程和法線方程：〔1〕yx31,1在點處的切線方程3xy20，法線方程為x3y40〔2〕ylnxe,1在點處的切線方程xey0，法線方程為exy1e203〔3〕ycosx在點(,)處的切線方程6x12y630，法線方程為6212x6y332011yx2上點〔6，36〕處的切線平行于直線y12x1，(,)5.在曲線處的法線636垂直于直線3xy10x2,0x16.函數(shù)f(x)x1在點處不可導，因為不存在f(1)3x1,x1習題2.21.求以下函數(shù)的導數(shù):〔1〕yxaaxlnxcosxe2的導數(shù)yaxa1axlna1sinxx〔2〕y2x1xx的導數(shù)yxx312x2x122111122232〔3〕y(x1)(1)的導數(shù)yxxx〔4〕y2tanxsecx2的導數(shù)y2sec2xsecxtanx的導數(shù)yexxex3xlna〔5〕yxex3logx3〔6〕yxsinxlnx的導數(shù)ysinxlnxxcosxlnxsinx〔7〕y5sinx的導數(shù)y1cosx51cosx2*10xln10〔8〕y10x1的導數(shù)y(10x1)210x12.求以下函數(shù)在指定點的導數(shù)：〔1〕f(x)lnx3cosx2x，那么f()25，f()12.2〔2〕f(x)x2sinx，求f(0)，f().f(x)x2sinx，那么f(0)0，2f().263xx2x2在橫坐標x3處的切線方程為x9y90，法線方程為3.曲線y27x3y790。習題2.31.求以下函數(shù)的導數(shù)：〔1〕y2cos(45x)的導數(shù)y10sin(45x)y(2x3)4y8(2x3)3的導數(shù)〔2〕〔3〕exy1ex的導數(shù)y21ex2〔4〕ylntanx的導數(shù)ysin2x〔5〕ysec22x的導數(shù)y4sec22xtan2x〔6〕yarccos11x的導數(shù)yxx21x4〔7〕y的導數(shù)y4x2(4x2)4x2〔8〕ye2xsin3x的導數(shù)ye2x(2sin2x3cos3x)2.求以下函數(shù)在指定點的導數(shù)：x1〔1〕y343x，在點處的導數(shù)是-1〔2〕f(x)ln2x2，在x1處的導數(shù)是-1x231〔3〕y1ln2x，在xe處的導數(shù)是2e3.設函數(shù)f(x)可導，求以下函數(shù)的導數(shù):〔1〕yf(2x1)的導數(shù)y2f(2x1)〔2〕yxf(x2)的導數(shù)yf(x2)2x2f(x2)習題2.4dy1.求由以下方程所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù).dxdy2xy〔1〕x2y2xy1所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)dxx2ydyy(exyy)〔2〕xy2exy20所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)dxx(2yexy)dyyyxlny所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)〔3〕dxy1yy(x)的導數(shù)dyey〔4〕y1xey所確定的隱函數(shù)dx1xey2.用對數(shù)求導法求以下函數(shù)的導數(shù):y(xlnyy)yxyx〔1〕所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)dydxx(ylnxx)dydx〔2〕y(cosx)sinx的導數(shù)(cosx)sinx(cosxlncosx)sinxtanx)dy1x的導數(shù)x1x2(1lnx)〔3〕yxdx〔4〕yx2(3x)4(x1)5dy(3x)3(x232x73)的導數(shù)dxx2(x1)63.〔略〕x2y21在點(x,y)處的切線方程為xxyy100ab224.曲線a2b200習題2.51.求以下函數(shù)的二階導數(shù):〔1〕yx42x34x1的二階導數(shù)y12x212x〔2〕ysin(32x)的二階導數(shù)y4sin(32x)2(1lnx)〔3〕yxln2x的二階導數(shù)y的二階導數(shù)y4sin(32x)xx〔4〕y4x212x的二階導數(shù)y4x2(4x2)22.求以下函數(shù)在指定點處的導數(shù)：〔1〕yxcosx，那么y(0)0〔2〕yarctanx，那么y(0)0n3.求以下函數(shù)的階導數(shù):〔1〕yxex的n階導數(shù)y(n)(xn)ex，xN*〔2〕ylnx的n階導數(shù)y(n)(1)n1(n1)!xN*，xn4.函數(shù)的(n2)階導數(shù)y(n2)x，那么y的n階導數(shù)y(n)2lnxlnxxln3x5.〔略〕習題2.61.求以下函數(shù)的微分：〔1〕yx2sin2x3x4的微分dy(2xsin2x3)dxdy(lnx2xln21)dx〔2〕yxlnx2x的微分〔3〕yln1x的微分dy2dx1x1x2的微分dy2xcosxsin2xdxsin2x〔4〕yxx2x的微分dysdxinx〔5〕ylntan2exyarctanex的微分dydx1e2x〔6〕x〔7〕yxarccosx的微分dy(arccosx)dx1x2〔8〕y(exex)3的微分dy3(e3xe3xexex)dx1eyxyxeyyy(x)的微分dydx〔9〕所確定的隱函數(shù)1xey〔10〕xy1所確定的隱函數(shù)yy(x)的微分dy1dxx22.以下各括號中填入一個函數(shù)，使各等式成立.1〔1〕3x2dxd(x3)〔2〕dxd(arctaxn)dxd(lnx1)1x21〔3〕2cos2xdxd(sin2x)〔4〕x13lnx〔5〕lnx1dxd()〔6〕abxdxd(2(abx)2)2x23b1〔7〕x21e2x2dxd()x〔8〕2xe2x2dxd()23.求以下近似值：〔1〕ln0.90.1〔2〕cos610.47〔3〕arcta1n.021.58〔4〕e1.012.754.一正方體的棱長x10米，如果棱長增長0.1米，那么此正方體體積增加的準確值為30.3立方米，近似值為30立方米.復習題2一、單項選擇題1.函數(shù)yf(x)xx0在點處可導是它在處可微的〔C〕.0〔A〕充分條件〔B〕必要條件〔C〕充分必要條件〔D〕無關條件2.設f/(0)2，那么limf(x)f(x)的值為〔D〕.xx0〔A〕1〔B〕2〔C〕0〔D〕4k3.以下各式中〔為常數(shù)〕正確的選項是〔D〕.d(xx)xxx1xx〔B〕d(k)kkk〔A〕〔C〕dxdxd(kx)xkx1〔D〕d(xk)kxk1dxdxlnx4.設函數(shù)fxx1fx，那么在點x=1處〔B〕.x1x1〔A〕連續(xù)但不可導〔B〕連續(xù)且f11〔C〕連續(xù)且f10〔D〕不連續(xù)5.過曲線yxlnxM上點的切線平行直線0y2xM，那么切點的坐標是〔D〕.0〔A〕〔1，0〕〔B〕(e,0)〔C〕(e,1)〔D〕(e,e)y(0)6.假設y=x(x–1)(x–2)(x–3)，那么=〔D〕.〔A〕0〔B〕-1〔C〕3〔D〕-67.ycosx，那么y8=〔B〕.sinxcosxsinx〔D〕cosx〔A〕〔B〕〔C〕8.設函數(shù)yf(x)可微，那么當x0時，ydy與x相比是〔C〕.〔A〕等價無窮小〔B〕同階無窮小〔C〕高階無窮小〔D〕低階無窮小二、填空題y1.假設函數(shù)yln3，那么=0.2.設函數(shù)yx1，那么不存在.y(1)3.變速直線運動的運動方程為s(t)t22t，那么其加速度為a(t)2.4.曲線yx在點〔4,2〕處的切線方程是x4y40.5.d(cosx)=sinxdx.6.設fxxlnxfx2fxe=.0，且，那么0三、計算題1.求以下函數(shù)的導數(shù)：1〔1〕y2xx2x的導數(shù)y8x312x22x232x〔2〕yxlnxsinxcosx的導數(shù)ylnxsinxcosx1y3x2的導數(shù)y34x3x2(x1)22〔3〕x12〔4〕ye2x1的導數(shù)y2e2x1〔5〕ylncosx的導數(shù)ytanx12x(1x)〔6〕yarctanx的導數(shù)y〔7〕yx2sin1y2xsin1cos1xxx的導數(shù)1x的導數(shù)yx2(1lnx)1〔8〕yxxdy2.求由以下方程所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)：dxdyyxya0所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)〔1〕dxx所確定的隱函數(shù)yy(x)的導數(shù)dy1ysin(xy)dxxsin(xy)〔2〕cosxyxyy(x)的導數(shù)dyylny〔3〕yxlny所確定的隱函數(shù)dxyx〔4〕eyexxy0，那么f(0)03.求以下函數(shù)的二階導數(shù)：〔1〕ysinaxcosbx的二階導數(shù)ya2sinaxb2cosbxyxexy(x2)ex的二階導數(shù)〔2〕〔3〕ysinx2的二階導數(shù)y2cosx24x2sinx22的二階導數(shù)y2(x22)〔4〕ylnx2(x2)224.求以下函數(shù)的微分：x〔1〕yx21的微分dydxx21〔2〕ysinx1x2的微分dy(1x2)cosx2xsinxdx(1x)22ysinlnxdycos(lnx)〔3〕的微分dxx〔4〕yexcosx的微分dy(sinxcosx)exdx四、應用題1.有一批半徑為1cm的球，為減少外表粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為0.01cm，那么每只球大約需要用銅0.28克x22.某公司生產(chǎn)一種新型游戲程序，假設能全部售出，收入函數(shù)為R36x,其中x20為公司一天的產(chǎn)量，如果公司每天的產(chǎn)量從250增加到260，那么估計公司每天收入的增加量大約是110.第3章微分中值定理與導數(shù)的應用習題3.11.函數(shù)f(x)cosx在[0,2]上滿足羅爾中值定理，滿足羅爾定理結論中的2.函數(shù)f(x)ln(x1)在[0，1]上，驗證滿足拉格朗日中值定理的條件〔略〕，滿足拉11ln2格朗日中值定理結論中的3．f(x)2x1,g(x)x2在區(qū)間[-1，2]上滿足柯西中值定理結論中的12y2xx24.A(1,1)與B(3,3)是曲線上的兩點，那么該曲線上點〔2，0〕處的切線平行于弦AB.5.〔略〕6.〔略〕習題3.21.求以下極限：(1)limx32x11limexex不存在4x412(2)x23x1x0lnxx2(3)lim0(4)lim0xe3xxxlnxlnsinx1(5)limsinxsinaxa(6)limx0cosaxax11(7)lim()(8)lim()x1lnx2xe12111xx1x0limxx1(9)limxcotx1(10)x0x02．以下極限可否用洛必塔法那么去求，為什么？并用常規(guī)方法求出它們的極限.〔1〕limexex不可用洛必塔法那么去求，否那么會總是出現(xiàn)的情形，用常規(guī)方xexexexex法求得lim1eexxxxsinx〔2〕limx不可用洛必塔法那么去求，否那么會出現(xiàn)等式右端無極限的情形，xxsinx但并不能得出極限不存在的結論，用常規(guī)方法求得limx1x3.當a3,b9sin3xalimb0時,極限2x3x2x0xcx4.當cln2時,極限xlim4xc習題3.31.求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕yln(1x2)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增〔2〕yx4x在區(qū)間(,2)與區(qū)間(2,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,2)內(nèi)單調(diào)遞減x〔3〕y在區(qū)間(0,100)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(100,)內(nèi)單調(diào)遞減x100(4)yx在區(qū)間(,2)與區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,1)與區(qū)間1x2(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減〔5〕yxln(1x)在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增(6)yx2lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增ee〔7〕yarctanxx在區(qū)間(,)內(nèi)單調(diào)遞減(8)y2x2lnx在區(qū)間(0,12)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增2〔9〕4y3x4x3在區(qū)間(,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增y2xx3在區(qū)間(2,6)與區(qū)間(2,)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間〔10〕3(6,0)內(nèi)單調(diào)遞增32.〔略〕3.〔略〕4.求以下函數(shù)的極值：23320，極大值有y(0)0〔1〕y(x1)3x2的極小值有y()525y2xx2的極大值有y(1)1，無極小值〔2〕22〔3〕y2x3x的極小值有y()，無極大值433〔4〕非零常數(shù)c0時，yc(x21)2的極大值有y(0)c，無極小值非零常數(shù)c0時，yc(x21)2的極小值有y(0)c，無極大值〔5〕yx1x的極大值有y(3)5，無極小值44〔6〕yxe的極小值有y(0)0，極大值有y(2)42xe213y2xx2的極大值有y()〔7〕22，無極小值〔8〕y32x113無極小值，也無極大值(x2)(3x)x2的極大值有y(12)1，無極小值524〔9〕y2〔10〕y32xx的極小值有y(0)0與y(2)0，極大值有y(1)125．要造一個長方體無蓋蓄水池，其容積為500立方米.底面為正方形，設底面與四壁的單位造價一樣，那么底取10米高取5米時，才能使所用材料最省.a6．將邊長為的正三角形鐵皮剪去三個全等的四邊形〔如圖3.9所示〕，然后將其沿虛線折起，做成一個無蓋正三棱柱盒子.那么當圖中的xx2aa3取時，該盒子容積最大，求出的最大容積為.354圖3.97.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定本錢為100元，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品本錢增加6元，又知該產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q1000100p.那么產(chǎn)量為200件時可使利潤最大，最大利潤是300元8．某個體戶以每條10元的價格購進一批牛仔褲，設此牛仔褲的需求函數(shù)為Q40p那么該個體戶將銷售價定為每條30元時，才能獲得最大利潤習題3.4yxxax5bx121.根據(jù)函數(shù)f(x)的圖像〔1〕fx()在點xx、點xx12與點xx1處改變符號〔2〕fx()在點xx處有極大值，在點xx處有極小值42〔3〕〔略〕圖3.142.討論以下曲線的凹凸性，并求出曲線的拐點：〔1〕曲線yxlnx在區(qū)間(0,)內(nèi)是凹的，無拐點〔2〕曲線y2x3x在區(qū)間(,0)3(0,0)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凹的，點是曲線y2x3x的拐點3〔3〕曲線yx35x23x5在區(qū)間(,53)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(5,)內(nèi)是凹的，35250點(,)是曲線yx35x23x5的拐點3275〔4〕曲線yxx3在區(qū)間(,0)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凹的，點(0,0)是曲53的拐點線yxx22216〔5〕曲線y2x2x3在區(qū)間(,)內(nèi)是凹的，在區(qū)間(,)內(nèi)是凸的，點(,)32733是曲線y2x2x3的拐點〔6〕曲線yln(1x2)在區(qū)間(,1)與區(qū)間(1,)內(nèi)是凸的，在區(qū)間內(nèi)是凹的，點(1,ln2)與點(1,ln2)都是曲線yln(1x2)的拐點(1,1)yxex在區(qū)間(,2)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(2,)內(nèi)是凹的，點(2,2)是曲〔7〕曲線e2yxex線的拐點〔8〕曲線y13x在區(qū)間(,0)(0,1)內(nèi)是凹的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凸的，點是曲線y13x的拐點1在區(qū)間(,3)與區(qū)間(3,)內(nèi)都是凹的，在區(qū)間〔9〕曲線y1x233(3,3)內(nèi)是凸的，點(3,3)與點(,)都是曲線y的拐點1x2331333434yxex1在區(qū)間(,2)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(2,)內(nèi)是凹的，點(2,2)〔10〕曲線eyxex1是曲線的拐點3(1,3)ab3923.曲線3yaxbx2的一個拐點，那么的值為，的值為4.求以下曲線的漸近線：lnx〔1〕曲線yx沒有水平漸近線，也沒有鉛直漸近線x1〔2〕曲線ye〔3〕曲線yy1有水平漸近線，有鉛直漸近線x0x1y0有水平漸近線，有鉛直漸近線x1與x5x24x51〔4〕曲線yex4有水平漸近線y3，有鉛直漸近線x01(x3)2〔5〕曲線yy0有水平漸近線，有鉛直漸近線x3lnxy0有水平漸近線，有鉛直漸近線x0x(6)曲線y〔7〕曲線yexy0有水平漸近線，有鉛直漸近線x11xx(8)曲線y2xarctan沒有水平漸近線，也沒有鉛直漸近線25.〔略〕習題3.5x1.設某產(chǎn)品生產(chǎn)個單位的總收入為R(x)200x0.01x2，那么生產(chǎn)第100個單位產(chǎn)品時的總收入的變化率為1982.某產(chǎn)品的函數(shù)Cq7002q5q(單位：千元)，那么：〔1〕當產(chǎn)量為400臺增加到484臺時，總本錢的平均變化率約為2.12千元/臺；〔2〕當產(chǎn)量為400臺的邊際本錢約為2.13千元/臺。1P1.那么需求彈性為.假PQ3.某產(chǎn)品的銷售量與價格之間的關系式為QPp11設銷售價格為，那么的值為.2P2QP4.設某商品的需求量對價格的彈性為P2Pln2.那么銷售收入RPQ對P價格的彈性為12Pln2.5.求以下曲線的弧微分〔1〕曲線yx2x的弧微分ds24x4x2dx〔2〕曲線ycosx的弧微分ds1sin2xdx〔3〕曲線yln(secx)的弧微分dssecxdxxat2dst4a29b2t2dt〔4〕曲線的弧微分ybt36.求以下各曲線在給定點處的曲率K和曲率半徑：310510yx3在點〔1,1〕處的曲率K，曲率半徑R3〔1〕50〔2〕ysinx在點(,1)處的曲率，曲率半徑K1R12y4xx2在點〔－2，－4〕處的曲率K2，曲率半徑R12〔3〕〔4〕4x2y24在〔0，2〕處的曲率K2，曲率半徑R12復習題3一、單項選擇題1.f(x)0，f(x)0是函數(shù)yf(x)x0在點處取得極值的〔B〕.00〔A〕必要條件〔B〕充分條件〔C〕充要條件〔D〕無關條件22.設函數(shù)f(x)(x1)x1f(x)3，那么點是的〔D〕.〔A〕連續(xù)點〔B〕可導點〔C〕駐點〔D〕極值點3.函數(shù)yxln(1x2)在定義域內(nèi)〔A〕.〔A〕無極值〔B〕極大值為1ln2f(x)〔C〕極小值為1ln2〔D〕為單調(diào)減函數(shù)4.函數(shù)yax2b在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)增加，那么應滿足〔B〕.a,b〔A〕a0且b0〔B〕a0,b可為任意常數(shù)a，b〔C〕a0且b0〔D〕無法說清的規(guī)律5.以下曲線在其定義域內(nèi)為上凹的是〔D〕.〔A〕yln(1x2)〔B〕ysin(x22)〔C〕yarctanx〔D〕yex6.設函數(shù)f(x)在[0,1]上f(x)0,那么f(1),f(0),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小順序是〔B〕.〔A〕f(1)f(0)f(1)f(0)〔B〕f(1)f(1)f(0)f(0)〔C〕f(1)f(0)f(1)f(0)〔D〕f(1)f(0)f(1)f(0)二、填空題31.函數(shù)f(x)x32x在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的＝.3x22.極限xlimxex＝0.3.函數(shù)y2xcosx的單調(diào)增加區(qū)間是(,).4.設yf(x)xyf(x)有極值f(x)，那么曲線yf(x)在0在點處可導，且0xf(x)〕處的切線方程為yf(x).〔，000limax2bx23ba,b5.為常數(shù)，，那么6.2x1x6.曲線y(x1)3的拐點是〔1，0〕.三、計算以下極限limsin2xex1sinx=02.21.limx0tan3x3x3.limtanxx=2.4.limsinxxcosx1x0x0xsinxsin3x3lnx6.limln(13x2)5.lim01xln(3x)2xx7.limexsinx08.lim(11)1xln(1x)2xx0x1219.limx(ex1)110.lim()x1x2xx四、綜合題1.f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，那么方程f(x)0有3個實根，它們依次在區(qū)間(2,1)、區(qū)間(1,3)及區(qū)間(3,4)內(nèi).323在區(qū)間2.函數(shù)yxx(,0)與區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞2減.3.函數(shù)y2x39x212x3在區(qū)間(,1)與區(qū)間(2,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，該函數(shù)有極大值y(1)2，有極小值y(2)1.4.函數(shù)yex(x1)在區(qū)間[1,3]上的最大值y(1)2e，最小值y(3)4e.35.求函數(shù)yln(x21)的凹向區(qū)間和拐點.曲線yln(x21)在區(qū)間(,0)內(nèi)是凸(0,0)的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凸的，點該曲線的拐點.6.點(1,3)為曲線yx3ax2bx14ab的拐點,那么的值為-3，的值為-9.第4章不定積分習題4.11.〔略〕2.F(x)3x24x,且曲線yF(x)過點(1,1),那么函數(shù)F(x)的表達式為F(x)x32x22.3.函數(shù)f(x)sinx(0,1)通過點的積分曲線方程為y2cosx.4.設曲線過點〔－1，2〕，并且曲線上任意一點處切線的斜率等于這點橫坐標的兩倍，那么此曲線的方程為yx21.習題4.21.求以下不定積分：xxdx4x4C⑵1dx4x4Cx4371⑴⑶71021(2x4x3)dxxx3Cx10xdxCln10⑷5542332xx(23x32x)dxC⑹(sec2xcsc2x)dxtanxcotxC⑸ln3ln22.寫出以下各式的結果：d(e2xsinx2)e2xsinx2C1xdx1x2⑵⑴⑶2eex[ex(sinxcosx)]dxex(sinxcosx)C⑷dx1cosx1cosxdxdx3.用直接積分法求以下不定積分：121aexxx(1x)2dxxxx4C(2)aedxC232341lnaxx(1)x12dxx22x2C(4)()dxx12lnxC1x231(3)(5)x3xxx7x1212(6)1dx1arctanxCx2(1x2)xdxx24xC2x34926xxxdxC(2x3x)2cot2xdxxcotxCcos2xsinxcosx(7)(8)ln4ln9ln6cos2x〔9〕dxtanxcotxC(10)dxcosxsinxCcos2xsin2x習題4.31.用第一類換元法求以下積分：(3x2)20dx1(3x2)21C(2)103xdxC103x(1)633ln10(3)1dx3(12x)C(4)sin4xdx1cos4xC2312x443ex23ex2dxln(ex2)C(6)2sinxcosxdx(2sinx)C(5)23sinxdxarctan(coxs)C(8)xdxx21(7)x21C1cos2xsinexC(10)tandx2lncosxCx(9)ecosexdxx22111cosdxsin1Cxx2sinxdx2cosxC(12)(11)(13)xxlnxlnx3arctanxdx1(arctaxn)2C1x222dxC(14)x32.用第二類換元法求以下不定積分：〔1〕dx13x2ln(13x)23xC(2)dxx3x2x33x66x6ln(16x)Cx1(3)dx2x12arctanx1Cxxx1dx2(x1)2(x1)2C253(4)531(5)x12dxCxx2x21(6)x24x2dx2arcsinx1x4x2C22習題4.41.用分部積分法求以下積分：xsinxdxsinxxcosxC(1)xexdx(x1)exC(2)(3)xsin2xdx1sin2x1xcos2xC42x2cosxdxx2sinx2xcosx2sinxC(4)(5)ln(x1)dx(x1)ln(x1)xC(lnx)2dxx(lnxlnx2)C(6)(7)2arcsinxdxxarcsinx1x2CsinxcosxCex2ecosxdx(8)x2.選用適當?shù)姆椒ㄇ笠韵虏欢ǚe分：(1)(2)cosxdx2xsinxcosxCexdx2(x1)exC1xexdx2exC(3)(4)1dx2arctanxCx(1x)復習題4一、單項選擇題1.假設函數(shù)f(x)在a,b上滿足條件〔C〕，那么其原函數(shù)一定存在.〔A〕單調(diào)〔B〕有界〔C〕連續(xù)〔D〕有有限個連續(xù)點2.假設F'()xf(x)，那么以下各式中正確的選項是〔B〕.F'()xdxf(x)C〔B〕f(x)dxF(x)C〔A〕〔C〕F(x)dxF(x)C〔D〕f'()xdxF(x)C3.函數(shù)sin4x的一個原函數(shù)是〔B〕.(A)cos4x(B)1cos4x(C)cos4x(D)1sin4x14444.以下各式正確的選項是〔D〕.1arctanxdxC〔B〕sin(x)dxcos(x)C2〔A〕(C)1xlnxdx1C(D)cos(x1)dxsin(x1)Cxf(x)lnx5.假設的一個原函數(shù)為，那么f(x)〔D〕.1〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1x2xlnxcosxx6.f(x)2x且f(1)2，那么f(x)〔A〕.1x222〔A〕x21(B)x22(C)(D)x1117.積分f()dx〔D〕.xx2〔A〕f(1)C〔B〕f(1)C〔C〕f(1)C〔D〕f(1)Cxxxx8.假設f(x)dxF(x)C，那么f(2x)dx〔C〕.1〔A〕F(x)C(B)2F(2x)C(C)F(2x)C〔D〕F(2x)C2二、填空題f(x)f(x)1.函數(shù)的所有_原函數(shù)_，稱為的不定積分.f(x)dx2sinxcf(x)cosx，那么=.2.假設223.dlnx2dxlnx2dxf(x)dxx2c，那么f(cosx)dcosx=cos2xc.4.設x1xdx時，為了化去被積函數(shù)中的根式，可作代換x1t35.在求積分.31xf(x2)dxf(x2)C.6.積分27.積分x1xdxxln1xC.exf(x)dx(x1)exC.8.x是的一個原函數(shù)，那么f(x)三、計算以下不定積分11(x)dxx32x1C1.2x3xex22e2Cdxx2.92xdx1(92x)11C3.4.5.6.1022sin2xcosxdx1sin3xC32lnxdx2lnx1ln2xC2x11sindxcos1Cxxx217.dxtanxcotxCsin2xcos2xe12xdxexexC8.exx1dxx2arctanxC2x219.x1dx1ln(x21)arctanxC10.x21211.xx1dx2x12(x1)3C312x1dx2x1C12.x1dx13.2x21arccos1Cxxxexdx(x1)exC14.15.xlnxdx1x3lnx1x3C239sinxcosxesinxdxexC16.x2四、應用題1.假設曲線通過點(e2,3)，且在任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的倒數(shù),那么該曲線的方程為ylnx1132.設作直線運動的某一物體的速度為v()tt2t2(m/s)，那么求該物體的位移3215s與時間t的函數(shù)關系式為stt22ts(m)，其中ss(0)2152第五章定積分及其應用00習題5.11.用定積分表示的由曲線yx22x3與直線x1,x4及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A4(x22x3)dx.12.〔略〕3.不計算定積分,比擬以下各組積分值的大小.(2)1edxedx1xx21xdx1xdx(1)20000cosxdxsinxdx4lnxdx4ln2xdx(4)(3)4433004.利用定積分估值性質(zhì),估計以下積分值所在的X圍.0(1)01edxe(2)22x(x2)dx0x0習題5.21.求以下函數(shù)的導數(shù)：(1〕F(x)xt21dt的導數(shù)F(x)x210sintsinx2x(2)F(x)x2dt的導數(shù)F(x)2t1x(3)F(x)1t2etdx的導數(shù)F(x)x2ex(4)F(x)x2cos2tdt的導數(shù)F(x)2xcos2x2cos2xx2.求以下函數(shù)的極限：xt(t1)dtxcos2tdt1(2)1(1)limx0lim01(x1)22xx10x(1t1t)dtxarctantdt1(4)limx022(3)limx00x22x24303.函數(shù)F(x)xt(t2)dt在區(qū)間[1,3]上的最大值為0，最小值為.4及軸所圍成的曲邊梯形的面積為.4.由曲線yx22x與直線x0,x2x35.物體作變速直線運動的速度為v(t)2t2t(m/s),那么該物體在前5秒內(nèi)經(jīng)過的路575程為(m).66.求以下定積分的值：(x2x1)dx176(2)111(2xx2)dx2(1)(3)(5)3ln210xln5212dx01x22dx222(4)x1e2edx2e3cosxdx2(6)1xx00習題5.31.用換元積分法計算以下定積分：e5e3e2x3dx=2121exdxee1(1)(2)1x201lnxdx313214edx22ln(3)(5)(7)2(4)11xxx1x2dx1(6)24x2dx1300dx301x132x1x2lndx62arctan3(8)1012.利用函數(shù)的奇偶性求得以下定積分：4cos313sinxdx3111(x23xsinxcos2x)dx(1)(2)331x213.用分部積分法計算出以下積分xexdx1(2)xcosxdx11(1)(3)2200e1ln(x1)dx1(4)x2sinxdx4001e21001xarctanxdx2excosxdx(5)42(6)2習題5.41.求以下曲線圍成平面圖形的面積.1圍成平面圖形的面積為(1)曲線yx2,yx3(2)曲線y1,yx,y2圍成平面圖形的面積為ln23x2(3)曲線ysinx,ycosx,x0,x2圍成平面圖形的面積為22216(4)曲線y4x2,y0圍成平面圖形的面積為3(5)曲線y24x,x2y4圍成平面圖形的面積為36434及它在點處的法線所圍成圖形的面積.〔6〕曲線yx2,y(x2)2,y0圍成平面圖形的面積為2.由直線y0與曲線xy(1,1)3xy3.求以下平面圖形分別繞軸,軸旋轉所產(chǎn)生的立體的體積.(1)曲線y2x1,x0及y0所圍平面圖形繞軸旋轉所產(chǎn)生的立體的體積為x，繞軸旋轉所產(chǎn)生的立體的體積為3y12(2)曲線y2x,x1,x2及y0所圍平面圖形繞x軸旋轉所產(chǎn)生的立體的體積為，繞軸旋轉所產(chǎn)生的立體的體積為32625y64.曲線r2acos所圍成圖形的面積為a2.5.某產(chǎn)品的的固定本錢為1萬元，邊際收益和邊際本錢分別為〔單位：萬元/百臺〕MR(Q)8Q,MC(Q)4Q4.(1)那么產(chǎn)量由1百臺增加到5百臺時，總收益增加了20萬元(2)那么產(chǎn)量由2百臺增加到5百臺時，總本錢增加了14.625萬元？(3)那么產(chǎn)量為3.2臺時，總利潤最大；(4)那么總利潤最大時的總收益為20.48元、總本錢15.08元為和總利潤為5.4萬元.習題5.51.求以下廣義積分：1dx發(fā)散x10exdx1(2)(1)(3)(5)x0lnxxdx發(fā)散(4)dx發(fā)散1x2e11xexdx.1sindx1(6)x2x202.由曲線y1(x0),直線x1及x軸所圍成圖形的面積為1.x2復習題5一、單項選擇題bf(t)dt]〔A〕