人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第八章第4節(jié)　雙曲線

第4節(jié)雙曲線

靈活方醫(yī)方致偎影

課時作業(yè)

0選題明細表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練

雙曲線的定義及應(yīng)用4,511

雙曲線的標準方程9,10

雙曲線的幾何性質(zhì)1,2,3,6,714,1517

綜合問題812,13,1618

A級基礎(chǔ)鞏固練

_22

1.經(jīng)過點M（2V3,2而）且與雙曲線氤-5=1有相同漸近線的雙曲線方

程是（D）

%2y2%?y2

A.二-匕=1B.3-匕=1

18121218

22

C.——V——%=1D=1

1812-7I-^

22

解析:設(shè)所求雙曲線的方程為十與=人，

將點M（2V3,2遮）代入得等二等二X,

解得人=-6,

22

所以雙曲線方程為9-3=1-

1218

故選D.

2222

2.若實數(shù)k滿足0<k<9,則曲線？-上=1與曲線4-？=1的（D）

259一化Z5_/C9

A.離心率相等B.虛半軸長相等

C.實半軸長相等D.焦距相等

解析：由0<k〈9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x軸上，由

V25+9-W25-/C+9,得兩雙曲線的焦距相等.故選D.

22

3.已知雙曲線Wf1（a>。，b>0）的右焦點為F（2,0）,漸近線方程為

a2b2

V5x±y=0,則該雙曲線實軸長為（A）

A.2B.1C.V3D.2V3

解析：由題意知，漸近線方程為y=土8x,則也遮，

a

又焦點為F（2,0）,即c=2,

所以c2=a2+b2=4a2=4,則a2=l,

即a=l或T（舍去），

則實軸長為2a=2.故選A.

22

4.已知雙曲線（a>0,b>0）的左、右焦點分別為F2,點P在雙

a2b2

曲線的右支上，若|PFj-|PFz|=4b,且雙曲線的焦距為2遍,則該雙曲

線的方程為（A）

A.^-y2=lB.或匕1

432

C.x2-竺=1D.次士=1

423

f

\PF1\~\PF2\=2a=4b,

解析：由題意可得卜2=。2+匕2,

、2c=2V5,

解得｛1二:則該雙曲線的方程為?-y2=l.

故選A.

5.已知雙曲線y-y2=l的左、右焦點分別為F?F2,點P在雙曲線上，

且滿足|PFI|+|PF2]=2而，則△PFFz的面積為（A）

1

-

A.1B.V3C.V5D.2

2

解析:在雙曲線$y2=l中,a=V3,b=l,c=2.不妨設(shè)P點在雙曲線的

右支上，

則有IPF』一|PF21=2a=2g,

又|PR|+|PR|=2的,

所以IPF』=V5+A/3,|PF2|=V5-V3.

又|F1F21=2c=4,

而|PF1|2+|PF2|2=|FE|2,

所以PF」PF2,

所以S"F1F2=XIPFJX|PF21gx（V5+V3）X（遙-遮）=1.故選A.

22

6.已知雙曲線C:=-3=1（a>。，b>0）的右頂點為A,以A為圓心,b為半

徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若NMAN=60°,

則雙曲線C的離心率為（A）

3

2V32

--

3B.2V2V3D.

解析：由題意，可得A到漸近線bx+ay=O的距離為bcos30°=爭,

可得益/臬，

va2+Z?22

g哈奈

可得離心率為e=等.

故選A.

7.已知雙曲線C:g-^l（a>0,b>0）的右焦點為F,過點F且垂直于x

軸的直線與雙曲線的漸近線交于點A（A在第一象限內(nèi)），以0A為直徑

的圓與雙曲線的另一條漸近線交于點B,若BF〃OA,則雙曲線C的離心

率為（A）

A.手B.V2C,V3D.2

解析：因為AF,OF,

所以點F在圓上.

又BF〃OA,

所以NA0F=N0FB,

而NA0F=NB0F,

所以AOBF是等腰三角形，

所以N0AB=NBAF=NB0F=NA0F.

又因為N0AB+NBAF+NA0F=90°,

所以NA0F=30°,

所以"tan30°=—,

a3

所以e《J號+（?=竽故選A.

22

8.（多選題）（2021?廣東深圳一模）設(shè)F」2分別是雙曲線C:--，=

m+nm-n

1的左、右焦點，且|FE|=4,則下列結(jié)論正確的有（AC）

A.m=2

B.當(dāng)n=0時,雙曲線C的離心率是2

C.F,到漸近線的距離隨著n的增大而減小

D.當(dāng)n=l時,雙曲線C的實軸長是虛軸長的兩倍

解析:對于選項A,由雙曲線的方程可得a^m+n,b?=m-n,

所以c^a'+b'm+n+m-n=2m,

因為2c=4,

所以c=2,

所以c2=2m=4,可得m=2,故選項A正確；

對于選項B,當(dāng)n=0時，雙曲線C：y-^=1,此時a2=b2=2,c2=4,

所以離心率e=J^=V^,故選項B不正確；

22

對于選項C,在雙曲線C:--^=1中，由選項A

m+nm-n

知，m=2,a2=2+n,b2=2-n,且雙曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

不妨取焦點F,（-2,0）,則3到漸近線的距離d=*=b=HL

所以日到漸近線的距離隨著n的增大而減小,故選項C正確；

對于選項D,當(dāng)n=l時,a=V2+1=V3,b=，2T=l,

所以實軸長為2V3,虛軸長為2,不滿足雙曲線C的實軸長是虛軸長的

兩倍,故選項D不正確.

故選AC.

9.（2021?廣東汕頭高三一模）寫一個焦點在y軸上且離心率為V3

的雙曲線的標準方程.

解析：取c=V3,貝1Je=￡=K,可得a=l,

a

所以b=Vc2-a2=V2,

因此,符合條件的雙曲線的標準方程為y2-y=l.

cv-2

答案:y?=1（答案不唯一,符合要求就可以）

10.（2021?遼寧鐵嶺高三一模）已知雙曲線與橢圓捻+。=1有相同的

166

焦點,且雙曲線的漸近線方程為y=±jx,則此雙曲線的方程為

解析：由題意得橢圓焦點為（±460）,

所以C=V1O,

22

設(shè)雙曲線的方程為?卷=1(a>0,b>0),

a2b2

則安，

CL3

由片“解得R=+

ka2+b2=c2=10,5=L

丫2°

所以雙曲線的方程為+y2=l.

v2八

答案y2=l

B級綜合運用練

22

11.已知雙曲線9-9=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為口(-2,0),

a2bz

F2⑵0),P為雙曲線上位于第二象限內(nèi)的一點，點Q在y軸上運動,

若iPQl+lQFzl-|PFj的最小值為苧，則雙曲線的離心率為(B)

A.V3B.2V3C.3V3D.48

解析：如圖所示，連接PF2,

因為IPQI+IQF2I-IPFJ2IPF2I-|PF"=2a,

當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,F2三點共線時,等號成立，

所以|PQ|+|QF2卜|PFj的最小值為2a,

所以2a=竽,解得a=^.

由題意知c=2,所以e=-=2V3.故選B.

a

22

12.(多選題)已知雙曲線C曝噌=1(a>0,b>0)的左焦點F(T,0),過F

且與x軸垂直的直線與雙曲線交于A,B兩點,0為坐標原點，AAOB的

面積為|,則下列結(jié)論正確的有(ABD)

A.雙曲線C的方程為4x2-差=1

B.雙曲線C的兩條漸近線所成的銳角為60°

C.F到雙曲線C的漸近線的距離為V3

D.雙曲線C的離心率為2

解析：因為雙曲線的左焦點為F(T,0),所以c=l,

又因為過F與x軸垂直的直線與雙曲線交于A,

aa

所以aAOB的面積為S—X1?^-=-,即f,

2a2a2

又a2+b2=c2=l,

所以a=|,°J*

所以雙曲線C的方程為4x2-警=1,故A正確；

則雙曲線C的漸近線方程為y=±V3x,

所以兩漸近線的夾角為60°,故B正確；

F到雙曲線C的漸近線的距離為d=苧,故C錯誤；

雙曲線C的離心率為e/=J=2,故D正確.故選ABD.

a-

2

22

13.(多選題)已知雙曲線C:=1的左、右兩個焦點分別為B,F2,

直線y=kx(kWO)與C交于A,B兩點,AE_Lx軸，垂足為E,直線BE與C

的另一個交點為P,則下列結(jié)論正確的是(AC)

A.四邊形ARBF2為平行四邊形

B.NFFF2<90°

C.直線BE的斜率為:

D.ZPAB>90°

解析:如圖,雙曲線C關(guān)于原點對稱,

又直線y=kx過原點，

所以A,B關(guān)于原點對稱，

由|OA|=|OB|,|0FI|=|0F2|得四邊形AF1BF2為平行四邊形,A正確;

當(dāng)k-0,P點趨近于右頂點,此時NFFFz趨近于平角，因此不可能有

ZF,PF2<90°,B錯誤;

設(shè)A（xo,y0）,則B（-xo,-y0）,

由AE_Lx軸知E（x。,0）,k=生，

X。

而kBE=&*=FWk,C正確；

XQ-（TXQ）2%O2

△APB中，ZAPB>ZAEB>ZAE0=90°,

因此NPAB〈90°,D錯誤.故選AC.

14.（2021?浙江寧波高三開學(xué)考試）拋物線y2=4x的焦點到雙曲線

g-y2=l的一條漸近線的距離是y,則雙曲線的實軸長是,離

心率是?

解析：由題意，得拋物線y2=4x的焦點為(1,0),雙曲線於-丫2=1的一條

漸近線為x+ay=0,

因為拋物線yMx的焦點到雙曲線學(xué)y2=l的一條漸近線的距離是第，

2

所以半裊告解得a=l.

Vl+a22

所以雙曲線方程為x2-y2=l,

所以c=Va2+b2=V2,

所以雙曲線的實軸長為2,離心率e=^=V2.

a

答案：2V2

15.(2021?廣東廣州高三一模)已知圓(x-l)2+yM與雙曲線

C：馬一1=1的兩條漸近線相交于四個點，按順時針排列依次記為

a2b2

M,N,P,Q,且|MN|二21PQ|,則C的離心率為.

解析:設(shè)k2,漸近線方程是y=±kx,由對稱性可設(shè)

a

M(xbkxi),N(xi,-kxi),P(X2,kx2),Q(x2,-kx2),

貝iJ|MN|=2kxi,|PQ|=_2kx2,

所以2kxi=2,(-2kx2),xi=-2x2.①

(y=kx,

((%-l)2+y2=4,

得(l+k?)X2-2X-3=0,

X"2號，②

3

X|X2"訴,

4

①代入②得X2=品,X尸

1+H'

代入③得-83

(1+/C2)21+H'

解得l+k2=1.

所以e/Jl+(￡)="+k2=^.

答案:亞g

16.(2021?浙江杭州高三模擬)在四邊形ABCD中，已知A(-1,0),

B(2,0),ZABC=2NBAC,|DB|=21DA|,若C,D兩點關(guān)于y軸對稱,則

ICD|=.

解析：設(shè)C(x,y)(x>0),

由NABC=2NBAC,得tanNABC=tan2ZBAC,

2tanz.BXC

即tanZABC='

l-tan2zBAC,

當(dāng)點C在X軸上方時，tanZBAC=kAC,

tanZABC=-kuc,

故有；

當(dāng)點C在x軸下方時，tanZBAC=~kAC,

tanZABC=ki!C,

故有kisc=2^2C,

1-%

兩者都有knc+；yc=0,

所以kuc(1-嫉C)+2kAc=0,

則卷?[1-』]+2?七=0,

x-2(x+1)x+1

化簡得

-.2

所以點C的軌跡方程為X2-^=1(X>1),

由C,D關(guān)于y軸對稱知D(-x,y),

由|DB|=2|DA|,

J(-x-2)2+y2=2^(-%+1)2+y2,

得(x-2)2+y2=4(yW0),

與x2-?=l(x>l)聯(lián)立消y,

得(x-2)03x2-3=4,

解得x=|或x=3(舍去)，

所以|CD|=3.

答案：3

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

17.已知雙曲線C:馬名=1(a〉0,b>0)的兩條漸近線均與圓M:x2+y2-6x+

5=0相切,且雙曲線的右焦點為該圓的圓心,則雙曲線C的離心率為

(C)

A.—B.—C.—D,—

3252

丫2.2u

解析:雙曲A線(a>