人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第六章第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

靈活方醫(yī)方致偎影

@選題明細(xì)表

基礎(chǔ)鞏應(yīng)用創(chuàng)

知識點、方法綜合運用練

固練新練

平面向量數(shù)量積的基本運算1,7

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用2,3,5

平面向量的綜合運用4,8,9,11

綜合問題6,1012,13,14,15,1617,18

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.(2021?湖北武漢高三調(diào)研)在等腰直角三角形ABC中，ZACB=p

—?—>—>—>

AC=BC=2,點P是斜邊AB上一點,且BP=2PA,那么CP?CA+CP?CB等

于(D)

A.-4B.-2C.2D.4

—>—>—>—>—>.—>—>

解析：法一由已知得|。1|=匕創(chuàng)=2,乙4?CB=0,/P、(CB-C/),所

T—T—TT—>

以CP-CA+CP?CB=(G4+4P)-CA+(CA+AP)-CB=\CA\2+AP?

CA+CA?CB+AP-CB=\CA\2+^CB-CA)?(CB+CA)=\CA\2+^\CB\2^

|CA|2=22+|X2-|X2M.故選D.

法二由已知,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0),A⑵0),

B(0,2),設(shè)P(x,y),因為BP=2PA,所以麗=2易，所以(x,y-2)=

(4

2(2—x,—y),所以《\所以CP-G4+CP*CB=(±。?(2,0)+

y=33

V3

(p|)?(0,2)=4.故選D.

2.已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若入a-b與b垂直,則實數(shù)人等

于(D)

A.-lB.1C.-2D.2

解析：由已知得入a~b二(入一4,一3入+2),因為入a~b與b垂直，所以

(入a_b)?b=0,即(入~4,_3入+2)?(4,-2)=0,所以4人-16+6入-4=0,

解得人=2.故選D.

3.已知向量a與b的夾角為也且|a|=l,|2a-b|=^,則|b|等于

(C)

A.V3B.V2

C.1D.—

2

解析:12a-b解(2a-b)J41a12-41a||b|,cos<a,b>+b)~=4~21b|+

|b|2=3,解得|b|=l.故選C.

4.(多選題)在日常生活中，我們經(jīng)常會看到兩個人共提一個行李包的

情況.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為

F2,且|F/=|F21,%與F2的夾角為。.給出以下結(jié)論,其中正確的是

(AD)

A.9越大越費力，9越小越省力

B.9的取值范圍為[0,汨

C.當(dāng)時,

D.當(dāng)0=詈時,|F』=|G|

解析：對于A,因為|G|=|F|+F2]為定值，所以|G|2=|FJ2+H|2+

2IF.I|F|COSO=2|FJ2.(1+COS0),解得|F/=由題意知

2°，

2(l+cos6)

。￡[0,n)時,y=cos。單調(diào)遞減，所以|F』2單調(diào)遞增，即。越大越費

力,。越小越省力,A正確;對于B,由題意知，。的取值范圍是[0,打)，

2

故B錯誤;對于c,當(dāng)e音時，IFF告，所以|F』=?|G|,故c錯誤;對

于D,當(dāng)0號時，|F||2=|G|2,所以|FJ=|G|,故D正確.故選AD.

5.若ei,e?是夾角為三的兩個單位向量,而a=2ei+ez,b=-3ei+2e2,則向量

a和b的夾角為(C)

A.-B.-

63

C.—D.—

33

解析：因為|ej=l,電|=1,<eb62>三,所以ei?e2=1,因為a=2e>+e2,

b——3CI+2C2,所以

|a|=^5+4x|=V7,|b|=J13+2X(-3)X2X|=V7,

22

a?b=-61ei1+21e21+ei,e2,所以|a||b|cos〈a,b>=-61e1|之+21e2|?+

ei,e2,所以bX夕cos<a,b>=-6+2+|=-|,所以cos<a,b>=-1,因為

<a,b>￡[0,n],所以向量a與b的夾角為g.故選C.

6.已知AD是直角三角形ABC斜邊BC上的高，點P在DA的延長線上,

—>—>—>—>—>

且滿足(PB+PC)*AD=442,若AD=V2,貝iJPB?PC的值為(A)

A.2B.3C.4D.6

解析:設(shè)NDPC=a,NDPB=6,

由{PB+PC}??n)=4V2,AD=V2,

得|加?V2cosB+\PC\?Vicosa=4短

所以|而|?罌+應(yīng)I.鬻4,

所以|PD|=2,

因為AD是直角三角形ABC斜邊BC上的高,

所以|CD|?|BD|=|AD|2

—>—>—>—>—>—>

所以PB?PC=|PB|TPC|cos(a+B)=|PBI?\PC\(cosacosB

-sinasinB)=|PB?\PC(―^—,=4-1AD12=

IPC\PB\\PCPB\

4-2=2.

故選A.

7.(多選題)(2021?湖南長沙高三模擬)設(shè)a,b,c是任意的非零平面

向量,且相互不共線，則下列選項中正確的是(BCD)

A.(a,b)c-(c,a)b=0

B.|a|-|b|<Ia-b|

C.(b?c)a-(a?c)b與c垂直

D.(3a+2b)?(3a-2b)=91a|2-41bl2

解析：由于b,c是不共線的向量，因此(a?b)c與(c-a)b相減的結(jié)果

應(yīng)為向量,故A錯誤；由于a,b不共線,故a,b,a-b構(gòu)成三角形，因此B

正確；由于[(b,c)a-(a?c)b],c=(b?c)(a?c)-(c,a)(b,c)=0,

故C正確;根據(jù)向量數(shù)量積的運算可以得出D是正確的.故選BCD.

8.已知向量a=⑵-6),b=⑶m),若|a+b|=|a-b|,則m=.

解析:法一因為a=解-6),b=(3,m),所以a+b=解m-6),a-b=

(-1,-m-6),由|a+b|=|a-b|得52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)解得m=l.

法二由|a+b|=|a-b|,兩邊平方得a?b=0,因為a=⑵-6),b=(3,m),

所以2X3+(-6)Xm=0,解得m=l.

答案：1

9.已知法與命的夾角為90°,|^|=2,\AC\=1,AM=XAB+^ACU,

u￡R),且/M?BC=。,則人的值為

解析：根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(0,2),

C(1,0),所以耘=(0,2)，品'=(1,0),品=(1,-2).設(shè)M(x,y),則薪=

(x,y),所以?BC=(x,y)?(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y.又ZM=入

AB+V.AC,即(x,y)=人(0,2)+u(1,0)=(u,2人)，所以x=u,y=2人,

所以△衛(wèi)子總

gx2y4

答案3

4

10.已知單位向量a與b,滿足(a+b)2=1,則a與b的夾角為;

若向量c滿足3a+(2-3)b=c(3￡[0,2]),則|c|的取值范圍是

解析:依題意知|a|=|b|=l,

由(a+b)2=l得

a2+2a?b+b2=l,

解得a?b=-|,

貝!Icos<a,b>=a'b

\a\?|b|2

又<a,b>￡[0,，所以<a,b>號;

將3a+(2-3)b=c兩邊平方，

得c2=3'a?+2a(2-3)a?b+(2-3)"b2=332-63+4,

因為aG[0,2],

所以|C|二V332—63+4￡[1,2].

答案號[1,2]

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).

⑴求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

⑵設(shè)實數(shù)t滿足G4B-tOC)-OC=0,求t的值.

解：(1)由題設(shè)知n=(3,5),品1),

貝正+前=(2,6),AB-AC=(4,4),

所以|通+啟=2國,\AB-AC\=442,

故所求的兩條對角線的長分別為4V2,2V10.

⑵法一由題設(shè)知益=(-2,-1),AB-WC=(3+2t,5+t).

由(AB-WC)?OC=Q,得

(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0,

從而5t=-ll,

所以t=-y.

法二AB?OC=tOC2,AB=^,5),

B級綜合運用練

TTT—>—?_

12.已知0是4ABC內(nèi)部一點，且滿足。4+。8+。。=0,又43?力。=28,

NBAC=60°,則△(?(；的面積為(C)

A.—B.3

2

C.1D.2

—>—>—>T—>T

解析：由?AC=2?ZBAC=60°,可得力B?AC=\AB\\AC\

.—>—>—>—>

cosZBAC=||SB||力C|=2百，所以|4B||力C|=4B，所以S^ABC=

^\AB\\AC\sinNBAC=3,又O4+OB+OC=0,所以0為4ABC的重心，所

以SA0BC=]SZ\4BC=L故選C.

13.在四邊形ABCD中，已知M是AB邊上的點，且MA=MB=MC=MD=1,

—>—>

ZCMD=120°,若點N在線段CD(端點C,D除外)上運動,則N4?NB的

取值范圍是(B)

A.[-1,0)B.[-*0)

C.[-1,1)D.1)

—

解析:連接MN(圖略).由題意得M4?NBEMA-MN)?(MB-MN)=

MN2-MA2=IMN12-l,itAMCNMC=1,NMCN=30。，所以卜施=/+

NC-2-NC?1X^=NC-V3NC+1,所以MN2-1=NC2-V3NC=(NC--)由

224

MC=MD=1,ZCMD=120°,可得CD=W,又點N在線段CD(端點C,D除外)

上運動，所以0<NC〈次，

所以即M4-病的取值范圍是［T0).故選B.

44

14.在四邊形ABCD中，點E,F分別是AD,BC的中點，設(shè)G-BC=x,

—>—>

AC?BD=y,若AB=V2,EF=1,CD=V3,貝ljxy的最小值為.

解析:如圖所示,設(shè)ABnDC=O,

因為而=￡1+成+而=外+空千，

TTTTT-AD+BC

DC=DE+EF+FC=EF+,

2

T—?

兩式相加得后三絲歲.①

因為AB=V2,EF=1,CD=V3,把①兩邊平方可得

,AB2+DC2+2AB?DC2+3+2AB?DC

1=----------------------=----------------,

44

TT1

所以?DC=-|.

—>—>T—>—>—>—>TTT—>

又4D?BC=(。。一。4)?(OC-OB)=OD-OC-OD?OB-OA-

—>—>—>

。。+。力,OB=x,

—>—?—>—>—>—>—?—>

所以。。?。。+。力?OB=x+OD?OB+OA-0C.②

TT—>T—>—>

又4c?BD=(OC-OA)?(OD-OB)=

—T—>TT——>

OD?OC-OB?。。一。4?OD+OA-0B=

—?—>—?—>—>—?—>—>

(OD?。。+。力?OB)-OB?OC-OA-OD=y,

T-?—>—>—?—>—>—>

所以O(shè)D?OC+OA?OB=OB?OC+OA?OD+y.③

根據(jù)②③可得

—>—>—>TT—>—>T

x+OD?OB+OA?OC=OB?OC+OA?OD+y,

即x-y=-OD?OB-OA-OC+OB?OC+OA?OD,

即x-y=OB?DC+OA?CD=DC?(OB-OA)=DC?

即y=|+x,

所以xy=x(1+x)=x2+|x=(x+令W，

所以x=一；,y=：時，(xy)min=-2.

4416

答案V

15.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b),(2a+b)=61.

(1)求a與b的夾角9;

⑵求|a+b|;

(3)若幾=a,BC=b,求AABC的面積.

解：⑴因為(2a-3b)?(2a+b)=61,

所以41al2-4a?b-3|b|2=61.

又|a|=4,|b|=3,

所以64-4a,b-27=61,所以a?b=~6,

a?b-61

所以COS。二

ab4x32

又oweWJI,所以。哼

(2)|a+b12=(a+b)2

=|a)2+2a,b+jbp

=42+2X(-6)+32=13,所以Ia+bI=YH.

(3)因為晶與晶的夾角0號，

2nIT

所以NABC=JI--=-1

33

—>

又IAB|—IaI=4,|BC|=|b|—3,

所以S/XABcgx4X3X^=3V3.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=(y,-y),n=(sinx,

cosx),x￡(0,]).

(1)若m_Ln，求tanx的值；

(2)若m與n的夾角為今求x的值.

解：(1)因為m=(產(chǎn),-?)，n=(sinx,cosx),

m±n,

所以m?n=0,即日sinx-^cosx=0,

所以sinx=cosx,所以tanx=l.

(2)因為|m[=|n|=l,所以m?n=cos

BP—sinx--cosx=-,

222

所以sin(x-^)=|,

因為0〈x<9,所以-

2444

所以即x=M

4612

c級應(yīng)用創(chuàng)新練

—>—>

17.在AABC中,AB=5,AC=10,AB?4C=25,點P是4ABC內(nèi)(包括邊界)

的一動點，且GqGq入品1(入￡R),則|心|的最大值是(B)

A.—B.V37

2

C.V39D.V41

解析:法一在AABC中，AB=5,AC=10,又?品=25,所以5X10?

cosA=25,cos人=也又A￡(0,北)，

所以A=pBC=J52+102-2x5x10x|=5A/3,因為AB2+BC2=AC2,所以

B=p以A為坐標(biāo)原點,AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

則A(0,0),B(5,0),C(5,5V3),設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),OWxW5,0W

yW5g,

因為力P二三力B—：人力C,

所以(x,y)⑸0)-1入(5,5V3)=(3-2X,-273人)，

所以|y-_2息所以y=g(x—3),直線BC的方程為x=5,

聯(lián)立*二f，解得此時I筋I(lǐng)最大,為J52+(28產(chǎn)=

V37.故選B.

法二同解法一求得AqBg,在邊AB上取點M,使AM=|AB=3,過M作

MN〃AC交BC于點N(圖略)，由平行四邊形法則，得點P在線段MN上,

故當(dāng)點P與N重合時，|前|最大，此時BN=28，故|3|二

卜+(2A/3)2=V37.故選B.

18.已知平面單位向量&,e2滿足|2e「e21W應(yīng).a=el+e2,b=3ei+e2,向

量a,b的夾角為9,則cos26的最小值是.

解析:法一因為平面單位向量ebe?滿足|2e「ez|WVI所以

|2e~e1'=5-4ei,e^2,即ei,e^-.

2224

因為a=ei+e2,b=3ei