測量誤差及其產(chǎn)生的原因

關(guān)于測量誤差及其產(chǎn)生的原因1第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五2一、觀測誤差當(dāng)對某觀測量進(jìn)行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)：△i=Li–X(i=1,2…n)L—觀測值X—真值

§5-1

測量誤差概述1、儀器的原因

①儀器結(jié)構(gòu)、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。二、測量誤差的來源測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個方面：第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五3

例如：

DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為1′，難以確保分以下估讀值完全準(zhǔn)確無誤。使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準(zhǔn)確性。

②儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。例如：水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測量結(jié)果中含有i角誤差或交叉誤差。水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤差。第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五4

2、人的原因

觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習(xí)慣因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會給觀測者成果帶來不同程度的影響。

人、儀器和外界環(huán)境通常稱為觀測條件；觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測；觀測條件不相同的各次觀測稱為不等精度觀測。3、外界條件

例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。

例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過大使儀器安置不穩(wěn)定等。第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五5三、測量誤差的分類

先作兩個前提假設(shè)：①觀測條件相同.②對某一量進(jìn)行一系列的直接觀測在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值、符號及變化規(guī)律。第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五6

先看兩個實例：例1：用名義長度為30米而實際長度為30.04米的鋼尺量距。丈量結(jié)果見下表5-1：

表5-1

尺段數(shù)

一二三四五···N觀測值306090120150···30n真實長度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真誤差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：

誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。誤差大小與所量直線成正比，具有累積性。誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五7例2：

在厘米分劃的水準(zhǔn)尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時偏左、有時偏右?？梢钥闯觯孩購膫€別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任何規(guī)律性。②多次重復(fù)觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五81.系統(tǒng)誤差

----在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。2.偶然誤差---在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。3.粗差----觀測中的錯誤叫粗差。例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標(biāo)等。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時更正或重測。引進(jìn)如下概念：第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五9(二)測量誤差的處理原則在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：①檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。②求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。③采用合理的觀測方法：如對向觀測。研究偶然誤差是測量學(xué)的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法：①適當(dāng)提高儀器等級。②進(jìn)行多余觀測，求最或是值。第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五10

四、偶然誤差的特性

若△i=Li–

X（i=1,2,3,···,358）表5-2第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五11從表5-2中可以歸納出偶然誤差的特性⑴在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；⑵絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；⑶絕對值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率；

⑷當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。

用公式表示為：實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當(dāng)觀測的個數(shù)愈大時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五12-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△

圖5-1頻率直方圖

為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(見下圖)。第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五13

若誤差的個數(shù)無限增大(n→∞)，同時又無限縮小誤差的區(qū)間d△，則圖5-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。即當(dāng)n→∞時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為:

(5-3)

為標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為方差。方差為偶然誤差平方的理論平均值：第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五14正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為:

(5-3)

第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五15從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即:

1.f(△)是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的f(△)相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。當(dāng)△=0時，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。當(dāng)n→±∞時，f(△)→0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)：△拐=±

如果求f(△)在區(qū)間±的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值，所以當(dāng)愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng)愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)的值表征了誤差擴(kuò)散的特征。第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五16f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ1第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五17觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)；觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)；具有較小的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降；具有較大的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。最大縱坐標(biāo)點(diǎn)：第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五18§5-2衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)一.中誤差誤差△的概率密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差

在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式：

①標(biāo)準(zhǔn)差σ中誤差m的不同在于觀測個數(shù)n上；②標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測在(n→∞)時誤差分布的擴(kuò)散特征，即理論上的觀測指標(biāo)；③而中誤差則是一組同精度觀測在為n有限個數(shù)時求得的觀測精度指標(biāo)；④所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值；⑤隨著n的增大，m將趨近于σ。第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五19必須指出：

同精度觀測值對應(yīng)著同一個誤差分布，即對應(yīng)著同一個標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計值即為中誤差。

同精度觀測值具有相同的中誤差。例3:

設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為

第一組：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二組：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.

試求這兩組觀測值的中誤差。由

解得：m1=±2.7″m2=±3.6″

可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五20二、容許誤差（極限誤差）

根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d△中的概率：

p(△)=f(△)·d△設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：

分別以k=1,2,3代入上式，可得：

P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可見：偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5℅，而大于3倍的誤差僅占誤差總數(shù)的0.3℅。由于一般情況下測量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到，故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，或稱為“限差”即△容=2m第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五21三、相對誤差

在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。例如:用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關(guān)。為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。

相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即。上例為K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000

可見:前者的精度比后者高。

與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五22§5-3算術(shù)平均值及其中誤差

設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次出該未知量的最或然值。，觀測值為L1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確定

設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故一、觀測值的算術(shù)平均值第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五23

設(shè)以x表示上式右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值，即以?X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，?x趨近于零，即:也就是說，n趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五24

現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。因為式中，1／n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為故

該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。

二、算術(shù)平均值的中誤差公式第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五25

三、同精度觀測值的中誤差

同精度觀測值中誤差的計算公式為而這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求觀測值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測值的差數(shù)也可以求得，即第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五26因n為有限值，故在實用上可以用x的中誤差近似地代替x的真誤差，即為用改正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。用改正數(shù)計算最或然值中誤差的公式為第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五27

§5-4誤差傳播定律

在實際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值，需要由觀測值間接計算出來。例如某未知點(diǎn)B的高程HB，是由起始點(diǎn)A的高程HA加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差h1……h(huán)n求和得出的。這時未知點(diǎn)B的高程H。是各獨(dú)立觀測值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？

闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五28

一、倍數(shù)的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

Z為觀測值的函數(shù)，K為常數(shù)，X為觀測值，已知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。設(shè)x和z的真誤差分別為△x和△z則：若對x共觀測了n次，則：將上式平方，得：求和，并除以n，得第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五29

即，觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘常數(shù)。因為：所以：第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五30

例：在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點(diǎn)間的距離SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實地距離SAB及其中誤差msAB。解：由題意：

SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7mmSAB＝500×mSab＝500×（士0.2）

=土100mm＝土0.1m

最后答案為：SAB=11.7m士0.1m第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五31

二、和或差的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

Z為x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測值，已知其中誤差為mx、my，求Z的中誤差mZ。設(shè)x、y和z的真誤差分別為△x、△y和△z則

若對x、y均觀測了n次，則將上式平方，得第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五32

由于Δx、Δy均為偶然誤差，其符號為正或負(fù)的機(jī)會相同，因為Δx、Δy為獨(dú)立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號互不相關(guān)，所以其乘積ΔxΔy也具有正負(fù)機(jī)會相同的性質(zhì)，在求［ΔxΔy］時其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng)n愈大時，上式中最后一項［ΔxΔy］/n將趨近于零，即求和，并除以n，得

第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五33

將滿足上式的誤差Δx、Δy稱為互相獨(dú)立的誤差，簡稱獨(dú)立誤差，相應(yīng)的觀測值稱為獨(dú)立觀測值。對于獨(dú)立觀測值來說，即使n是有限量，由于式殘存的值不大，一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得

即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和。第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五34

當(dāng)z是一組觀測值X1、X2…Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)時，即可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為：

式中mxi是觀測值xi的中誤差。即，n個觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個觀測值中誤差平方之和。第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五35

當(dāng)諸觀測值xi為同精度觀測值時，設(shè)其中誤差為m，即mx1=mx2=mxn=m則為這就是說，在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和（差）的中誤差，與觀測值個數(shù)n的平方根成正比。例設(shè)用長為L的卷尺量距，共丈量了n個尺段，已知每尺段量距的中誤差都為m，求全長S的中誤差ms。解：因為全長S=L＋L＋……＋L（式中共有n個L）。而L的中誤差為m。

量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五36

例如以30m長的鋼尺丈量90m的距離，當(dāng)每尺段量距的中誤差為±5mm時，全長的中誤差為第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五37

當(dāng)使用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，則每公里長度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對長度為S公里的距離丈量時，全長的真誤差將是S個一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為式中，S的單位是公里。即：在距離丈量中，距離S的量距中誤差與長度S的平方根成正比。第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五38

例:為了求得A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，今自A點(diǎn)開始進(jìn)行水準(zhǔn)測量，經(jīng)n站后測完。已知每站高差的中誤差均為m站，求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。解：因為A、B兩點(diǎn)間高差hAB等于各站的觀測高差hi（i=l，2…n）之和，即:hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

則即水準(zhǔn)測量高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五39

在不同的水準(zhǔn)路線上，即使兩點(diǎn)間的路線長度相同，設(shè)站數(shù)不同時，則兩點(diǎn)間高差的中誤差也不同。但是，當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時，每公里的水準(zhǔn)測量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點(diǎn)間的水準(zhǔn)路線為S公里時，A、B點(diǎn)間高差的中誤差為即，水準(zhǔn)測量高差的中誤差與距離S的平方根成正比?；虻?9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五40

在水準(zhǔn)測量作業(yè)時，對于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū)，可用式計算高差的中誤差；對于起伏較大的地區(qū)，則用式計算高差的中誤差。

例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)行水準(zhǔn)測量時，每公里高差的中誤差為±20mm，則按這種水準(zhǔn)測量進(jìn)行了25km后，測得高差的中誤差為第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五41三、線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù)：則有

例設(shè)有線性函救觀測量的中誤差分別為，求Z的中誤差第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五42四、一般函數(shù)

式中xi(i=1，2…n)為獨(dú)立觀測值，已知其中誤差為mi(i=12…n)，求z的中誤差。當(dāng)xi具有真誤差Δ時，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差Δz。這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達(dá)。第42頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五43式中（i=l，2…n）是函數(shù)對各個變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五44

例設(shè)有某函數(shù)z=S·sinα

式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m；α=119°45′00″，其中誤差mα=20.6″；求z的中誤差mz。解：因為z=S·sinα，所以z是S及a的一般函數(shù)。第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五45求觀測值函數(shù)的精度時，可歸納為如下三步：

1）按問題的要求寫出函數(shù)式：

2）對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測值代入求得的值。

3）寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式：

第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五46例如，設(shè)有函數(shù)z=x＋y，而y=3x，此時，。因為x與y不是獨(dú)立觀測值，因為不論n值多少，恒有因此，應(yīng)把Z化成獨(dú)立觀測值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中X與3X兩項是由同一個觀測值X組成的，必須先并項為z=4x而后求其中誤差，即mz=4mx第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五47

§5-5廣義算術(shù)平均值及權(quán)

如果對某個未知量進(jìn)行n次同精度觀測，則其最或然值即為n次觀測量的算術(shù)平均值：一、廣義算術(shù)平均值第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五48在相同條件下對某段長度進(jìn)行兩組丈量：第一組：第二組：

算術(shù)平均值分別為第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五49其中誤差分別為：第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五50全部同精度觀測值的最或然值為：第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五51在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，稱為的權(quán)。令第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五52若有不同精度觀測值其權(quán)分別為該量的最或然值可擴(kuò)充為：稱之為廣義算術(shù)平均值（加權(quán)平均值）。第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五53當(dāng)各觀測值精度相同時第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五54二、權(quán)定權(quán)的基本公式：稱為中誤差，為單位權(quán)觀測值，當(dāng)觀測值稱為單位權(quán)，單位權(quán)中誤差。第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五55權(quán)的特性1反映了觀測值的相互精度關(guān)系。

3

不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系。值的大小，對X值毫無影響。2第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五564若同類量的觀測值，此時，權(quán)無單位。若是不同類量的觀測值，權(quán)是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五57例：已知的中誤差分別為：設(shè)若設(shè)第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五581水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)例：常用定權(quán)公式第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五59

當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)路線分別觀測了3,4,6,5測站。第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五60令c=3,令c=4,第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五61

水準(zhǔn)路線的長分別為設(shè)每公里水準(zhǔn)測量觀測的中誤差為第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五62

當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測的權(quán)與路線長度成反比。第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五63當(dāng)S=c=10公里的水準(zhǔn)路線的觀測高差為單位權(quán)觀測。每測站觀測高差精度相同時：每公里觀測高差精度相同時：第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五64例對某角作三組同精度觀測：第一組測4測回，算術(shù)平均值為

第二組測6測回，算術(shù)平均值為

第三組測8測回，算術(shù)平均值為

三、不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五65由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測值個數(shù)成正比。第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五66令第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五67§5-6單位權(quán)中誤差的計算公式

在同精度觀測中，觀測值的精度是相同的，因此可用來計算觀測值的中誤差。在不同精度觀測中，每個觀測值的精度不同，就必須先求出單位權(quán)中誤差μ，然后根據(jù)

求出各觀測值的中誤差。以推導(dǎo)計算單位權(quán)中誤差的公式為第67頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五68

§5-7由真誤差計算中誤差對于一組同精度或不同精度觀測值來說，如果已經(jīng)知道它們的真誤差，則可按式計算觀測值的中誤差；用式計算單位權(quán)中誤差。第68頁，共77頁，2023年，2月20日，星期五69一、由三角形閉合差求測角中誤差上式就是由三角形閉合差計算的測角中誤差的公式，