求數(shù)列通項(xiàng)公式

關(guān)于求數(shù)列通項(xiàng)公式第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)目標(biāo)在了解數(shù)列概念的基礎(chǔ)上，掌握幾種常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法理解求通項(xiàng)公式的原理體會各種方法之間的異同，感受事物與事物之間的相互聯(lián)系第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例1、寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)。

已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，通常先將各項(xiàng)分解成幾部分（如符號、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，寫出通項(xiàng)。一、觀察法第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五1、寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項(xiàng)與它的序號的關(guān)系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到一般的思想，也是數(shù)學(xué)上重要的思想方法，但欠嚴(yán)謹(jǐn)！分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,···聯(lián)系練習(xí)：第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五注意：（1）這種做法適用于所有數(shù)列；（2）用這種方法求通項(xiàng)需檢驗(yàn)a1是否滿足an.二、公式法（利用an與Sn的關(guān)系或利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)：1.｛an｝的前項(xiàng)和Sn=2n2－1，求通項(xiàng)an二、公式法（利用an與Sn的關(guān)系或利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）an=S1

(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當(dāng)n=1時,a1=1不滿足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項(xiàng)an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時,a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1三、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項(xiàng);(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五求法：累加法練習(xí)：第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五四、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例4.已知{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通項(xiàng)公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)1：類型四、累乘法形如的遞推式第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五四、累乘法適用于an+1=anf(n)型的遞推公式

練習(xí)2第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五五、迭代法例5.已知{an}中,an=3n－1+an－1,(n≥2),a1=1,求通項(xiàng)an.解:∵an=3n－1+an－1(n≥2)∴an=3n－1+an－1=3n－1+3n－2+an－2

=3n－1+3n－2+3n－3+an－3=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+

a1=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+1=3n

－12

特點(diǎn)逐項(xiàng)代換(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五六待定系數(shù)法（構(gòu)造法）例6：解：由題意可知：an+1+1=2(an+1)所以數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以an+1=2n,即an=2n-1第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五反思：待定系數(shù)法如何確定x？待定系數(shù)法：令an+1+x=p(an+x)即an+1=pan+px-x根據(jù)已知x=所以數(shù)列{}是等比數(shù)列.第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五類型七、相除法形如的遞推式例8：第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五【變式遷移】已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：（1）方法1：（構(gòu)造法）因?yàn)閍1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以當(dāng)n≥2時，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五所以是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.方法2：（代入法）因?yàn)閍1＝5,n≥2時，所以，所以是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

練習(xí).

已知數(shù)列{an}中a1=2，an+1=4an+

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。反思第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例9：八取倒法形如的遞推式第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五形如的遞推式例10：八取倒法第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五求數(shù)列的通項(xiàng)公式類型方法1、已知前幾項(xiàng)觀察法2、已知前n項(xiàng)和Sn前n項(xiàng)和法3、形如的遞推式累加法4