求數(shù)列通項公式

關(guān)于求數(shù)列通項公式第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)目標(biāo)在了解數(shù)列概念的基礎(chǔ)上，掌握幾種常見遞推數(shù)列通項公式的求解方法理解求通項公式的原理體會各種方法之間的異同，感受事物與事物之間的相互聯(lián)系第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例1、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)。

已知數(shù)列的前幾項，通常先將各項分解成幾部分（如符號、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項數(shù)的關(guān)系，寫出通項。一、觀察法第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項與它的序號的關(guān)系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到一般的思想，也是數(shù)學(xué)上重要的思想方法，但欠嚴謹！分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,···聯(lián)系練習(xí)：第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五注意：（1）這種做法適用于所有數(shù)列；（2）用這種方法求通項需檢驗a1是否滿足an.二、公式法（利用an與Sn的關(guān)系或利用等差、等比數(shù)列的通項公式）第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)：1.｛an｝的前項和Sn=2n2－1，求通項an二、公式法（利用an與Sn的關(guān)系或利用等差、等比數(shù)列的通項公式）an=S1

(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當(dāng)n=1時,a1=1不滿足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時,a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1三、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項;(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五求法：累加法練習(xí)：第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五四、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例4.已知{an}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通項公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)1：類型四、累乘法形如的遞推式第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五四、累乘法適用于an+1=anf(n)型的遞推公式

練習(xí)2第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五五、迭代法例5.已知{an}中,an=3n－1+an－1,(n≥2),a1=1,求通項an.解:∵an=3n－1+an－1(n≥2)∴an=3n－1+an－1=3n－1+3n－2+an－2

=3n－1+3n－2+3n－3+an－3=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+

a1=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+1=3n

－12

特點逐項代換(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五六待定系數(shù)法（構(gòu)造法）例6：解：由題意可知：an+1+1=2(an+1)所以數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以an+1=2n,即an=2n-1第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五反思：待定系數(shù)法如何確定x？待定系數(shù)法：令an+1+x=p(an+x)即an+1=pan+px-x根據(jù)已知x=所以數(shù)列{}是等比數(shù)列.第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五類型七、相除法形如的遞推式例8：第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五【變式遷移】已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

解：（1）方法1：（構(gòu)造法）因為a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以當(dāng)n≥2時，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五所以是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列.方法2：（代入法）因為a1＝5,n≥2時，所以，所以是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五

練習(xí).

已知數(shù)列{an}中a1=2，an+1=4an+

求數(shù)列{an}的通項公式。反思第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五例9：八取倒法形如的遞推式第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五形如的遞推式例10：八取倒法第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期五求數(shù)列的通項公式類型方法1、已知前幾項觀察法2、已知前n項和Sn前n項和法3、形如的遞推式累加法4