物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三

物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三第一頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：長為l的單擺的拉格朗日函數(shù)為其中

平衡位置：微振動：質(zhì)點對平衡位置的偏離不大在平衡位置附近對L作泰勒展開，得到第三頁，共八十八頁，2022年，8月28日

推廣：對一個有平衡位置的一維系統(tǒng)，設(shè)q為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

設(shè)：q0——系統(tǒng)的平衡位置，則

第四頁，共八十八頁，2022年，8月28日對U在q0附近作泰勒展開，只保留到二階小量，有

——二階小量(勢能：平滑不陡峭；若大，則單位時間運動的距離大振動不是微振動)則a(q)只需展開到零階小量，即

第五頁，共八十八頁，2022年，8月28日略去對運動方程無關(guān)的常數(shù)項“-U(q0)”(物理上相當(dāng)于選新的零勢能點，數(shù)學(xué)上：拉格朗日函數(shù)的非唯一性)，且令則由拉格朗日方程第六頁，共八十八頁，2022年，8月28日得到運動方程

注：參見《理論物理基礎(chǔ)教程》P383－388“量子諧振子”二、自由振動方程的解自由振動：無強迫力、無阻尼的振動方程的解為積分常數(shù)：A—振幅；角頻率；—初相位。其中振幅和初相位由初始條件確定，角頻率由系統(tǒng)確定。第七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

由位置與時間的函數(shù)，分別得到速度和加速度由質(zhì)點的位置、速度和加速度的表達式可見，它們均與有關(guān)，因此定義為相位。關(guān)于相位的討論：1.對于同一振動系統(tǒng)，相位不同，則振動狀態(tài)不同。如：對于振動，和時，它們的振動狀態(tài)就不同。第八頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.對于以下兩個同頻率的簡諧振動系統(tǒng)當(dāng)時，振動同時到達最大位置，同時到達平衡位置，同時到達反方向最大位置(步調(diào)一致)；當(dāng)時，振動1到達正方向最大位置時，振動2到達反方向最大位置，反之亦然(步調(diào)相反)

。通過相位，我們可以比較兩個不同振動的振動狀態(tài)：振動超前、振動同步、振動落后。第九頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.相平面與相速度(注意：波動與振動密切相關(guān))等相面：空間中相位相同的點所組成的曲面。若電磁波的等相面為平面，則稱該電磁波為平面電磁波；若電磁波的等相面為球面，則稱該電磁波為球面電磁波。例：平面電磁波，其等相面為相速度定義為則當(dāng)k與vp共線時，有—平面方程第十頁，共八十八頁，2022年，8月28日于是即相速度為4.非相干波的疊加、波的群速度頻率單一的波叫做單色波。真正單色波的波列必須是無窮長的，而有限長的波列是許多單色波的疊加。由這樣一群單色波組成的波列叫做“波包”。為了討論方便，設(shè)有振幅相等、波長和頻率都相近的兩列波組成的波包，它們的角頻率和波數(shù)分別為和，且有第十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日二者疊加后，可得

、，即yx第十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

在前式中，右邊第二個余弦項表示高頻的波動，而第一個余弦項可視為低頻傳播的振幅。疊加所得的某瞬時波形如上圖所示，稱高頻波受到低頻波的調(diào)制(如圖中綠色的線—包絡(luò)線)。式中高頻波的傳播速度(即相速)為，而低頻波向前傳播的速度(群速度)為。當(dāng)兩列波的頻率差無限小時，波數(shù)差也無限小，在此極限情況下有第十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日附：關(guān)于色散的概念牛頓于1666年用三棱鏡把太陽光分成彩色光帶，即將復(fù)色光分解為單色光而形成光譜，這種現(xiàn)象叫做光的色散。如右圖所示。色散的原因：復(fù)色光進入棱鏡后，由于它對各種頻率的光具有不同折射率(即光速隨波長而變)，各種色光的傳播方向有不同程度的偏折，在離開棱鏡時就各自分散，形成光譜。

第十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日

在物理學(xué)中把“色散”的概念推而廣之，凡波速與波長有關(guān)的現(xiàn)象都叫做色散，ω與k的依賴關(guān)系稱為色散關(guān)系。根據(jù)色散關(guān)系，可以對相速度和群速度進行比較。因為所以，對于色散介質(zhì)，有而對于無色散介質(zhì)，則群速度等于相速度。第十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日

凡是一個物理系統(tǒng)對輸入物理量的不同頻率成分有不同的響應(yīng)，往往就稱為“色散”,這是借用光學(xué)術(shù)語。第十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日自由振動系統(tǒng)：保守系能量守恒即方程解的復(fù)數(shù)形式(指數(shù)形式)：令，則：思考：為什么用復(fù)數(shù)形式？什么條件下用復(fù)數(shù)形式？數(shù)學(xué)上：1.對指數(shù)因子進行運算比對三角函數(shù)因子進行運算第十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日更簡單，因為對指數(shù)微分并不改變它們的形式；2.進行線性運算(相加、乘以常系數(shù)、微分、積分等)

時，可先用復(fù)數(shù)形式運算，運算完后再取實部；3.反例：非線性運算。例：電磁場中坡印廷矢量

，不是另外的例子：見P58第十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日三、受迫振動設(shè)：振子受到一個隨時間變化的外場力Ue(x,t)的作用則在平衡位置附近展開Ue(x,t)，有

上式中，Ue(x,t)只是t的函數(shù)，對方程無貢獻，略去。(確定平衡位置時，不考慮外場)第十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日令，則由拉格朗日方程，得到運動方程因令第二十頁，共八十八頁，2022年，8月28日——關(guān)于X的一階微分方程上式的解法：由F(t)=0得到與上式對應(yīng)的齊次方程再通過變易系數(shù)法解得非齊次方程的解

第二十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日討論：若外力場為周期性外場則選t0，使，則積分下限為零。令

第二十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日——按本征頻率的振動和按強迫力頻率的振動的疊加四、拍1.當(dāng)強迫力的頻率=本征頻率——共振現(xiàn)象，(I)

式不能用(待討論)。2.當(dāng)和接近相等時，設(shè)

——共振區(qū)。(I)式的指數(shù)形式為第二十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日在一個本征振動周期內(nèi)，改變很少(對求微分)

(II)式中：

——振幅(隨t變化)；——頻率設(shè)，則振幅A在與之間變化；變化的頻率是強迫力的頻率與本征振動頻率之差——拍現(xiàn)象。

第二十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日xtx2tx1t第二十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日§1.4.2

阻尼振動共振一、無阻尼的共振出發(fā)點改寫為注意：此處的不同于第一式的。

第二十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)時：則——共振時，振動的振幅將隨時間的增長而無限增大討論：1.振幅增到一定程度，微振動的假設(shè)已不再成立；2.實際運動存在阻尼，振幅不會隨時間無限增大。

第二十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日二、阻尼振動說明：所謂“阻尼”是指消耗系統(tǒng)能量的因素，它主要分兩類：一類是摩擦阻尼，例如單擺運動時的空氣阻力等；另一類是輻射阻尼，當(dāng)系統(tǒng)引起周圍質(zhì)點的振動時，系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，變?yōu)椴ǖ哪芰?。例如音叉發(fā)聲時，一部分機械能隨聲波輻射到周圍空間，導(dǎo)致音叉振幅減小，最后音叉的振動會停止下來。第二十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日實際的振動：存在阻尼。阻尼的作用：使機械運動的能量耗散，轉(zhuǎn)化為熱能，使機械運動停止(無外力時)。此時：1.對振動系統(tǒng)，不再是保守系，不能引入勢能函數(shù)；2.不能肯定運動物體的狀態(tài)只是該瞬時它的坐標(biāo)和速度的函數(shù)(因為此時要考慮介質(zhì)本身的運動、介質(zhì)和物體內(nèi)部的熱狀態(tài))。

第三十頁，共八十八頁，2022年，8月28日力學(xué)中的運動方程不存在(因為前面已假定，只要同時給定坐標(biāo)和速度就能完全確定力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài))。但：在某些情況——振動頻率比介質(zhì)中的內(nèi)耗過程的特征頻率小，即振動周期比內(nèi)耗過程的周期長認(rèn)為：在物體上作用著只依賴于它的速度的“阻力”。辦法：在運動方程中加進阻力項。若速度又很小，則按速度的方次來展開阻力，有

(：較小)考慮到阻力和運動方向相反，有第三十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

運動方程解的形式：特征方程：其中第三十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

：彈力>阻力；：彈力<阻力通解為三、有阻尼情況下的共振有阻尼情況下強迫振動的運動方程為——頻率為ω而振幅按指數(shù)衰減的振動備忘：當(dāng)時，解為第三十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日該方程的復(fù)數(shù)形式為通解為其中：初始條件決定由通解，可以看到，長時間后，系統(tǒng)以本征頻率的振動衰減，只剩下第二項。第三十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日即：1.有阻尼的受迫振子，經(jīng)過足夠長時間后，完全按強迫力的頻率振動，振動的相位落后于強迫力的相位(因為)；2.當(dāng)時，振幅c取極大值，發(fā)生共振(并不隨t的增長而無限增長)。四、通過共振時的相位變化和能量吸收率接近共振時，令第三十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日(很小 小量)共振時：遠離共振時：

第三十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

由低到高(由負(fù)到正)通過共振頻率時，振動的相位改變共振點相位：振動達到穩(wěn)定(振幅不再隨時間變化)時，有振子的能量不再變化——克服阻尼所消耗的能量通過吸收外力源能量來補充。單位時間從外力源吸收的能量I=克服阻力在單位時間內(nèi)做的功，即第三十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日一個周期(

)內(nèi)能量的平均值為

——吸收對頻率的依賴關(guān)系(色散)

第三十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日

：平均能量吸收率當(dāng)共振時，有達到極大值：——共振吸收當(dāng)時，降到最大值的一半若用S表示與類似的某一物理量，它依賴與外來頻率。設(shè)S在時達到共振，則

——布雷特－維格納分布(共振曲線的普遍分布)第四十頁，共八十八頁，2022年，8月28日一維阻尼振動方程另外的推導(dǎo)方法定義耗散函數(shù)：

——瑞利耗散函數(shù)由此得到而這樣，廣義力可以寫為第四十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

對于主動力中既有保守力，又有非保守力的系統(tǒng)，廣義力為由基本形式的拉格朗日方程第四十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日得到耗散系統(tǒng)的拉氏方程上式中的L包含了系統(tǒng)的總動能及保守力的勢能。例子：對于一維阻尼振子系統(tǒng)，所受主動力有彈簧的彈力(保守力)和阻力(非保守力)。若阻力為時，則瑞利耗散函數(shù)為。而系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為，則由耗散系統(tǒng)的拉氏方程，得到一維阻尼振子系統(tǒng)的運動方程第四十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日§1.4.3

多自由度的耦合振動一、弱耦合的二振子系統(tǒng)(兩個自由度)設(shè)：兩個振子m，k；m，k。兩個振子之間用一軟彈簧

χ

連接——實現(xiàn)兩個振子的耦合χ<<k：弱耦合

(將軟彈簧換為硬彈簧或剛性桿會如何?)又設(shè)：滑塊

1、滑塊

2的平衡位置為坐標(biāo)原點，作兩軸o1x1、

o2x2，則勢能為第四十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(思考：將兩個方程相加或相減，會出現(xiàn)什么結(jié)果？)設(shè)：解的形式為

——兩個滑塊以同一頻率振動由拉格朗日方程得到運動方程第四十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日

——關(guān)于

C1、C2的齊次方程組非零解條件為

C1、C2的兩組解：

(具體值由初始條件定)

(久期方程)第四十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日C1、C2

矩陣形式的解為顯然，它們是相互正交的，即歸一化：令，有第四十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日滿足正交歸一條件：耦合振子系統(tǒng)有兩個振動頻率：ω1、ω2

。與ω1、

ω2

對應(yīng)，有如下兩種確定的集體振動模式一般情況下，振動是以上兩種振動模式的疊加，即第四十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日選新的廣義坐標(biāo)：Q1、Q2，令則

Q1、Q2分別表示兩種獨立的集體振動模式。這樣從而得到新舊坐標(biāo)之間的變換關(guān)系第四十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日新坐標(biāo)系下的拉格朗日函數(shù)

——耦合項消失(退耦)，此時相互耦合的二振子系統(tǒng)變成兩個獨立的振子系統(tǒng)。定義：Q1、Q2

為耦合振子系統(tǒng)的簡正坐標(biāo)。

第五十頁，共八十八頁，2022年，8月28日二、對稱矩陣的本征值與本征矢(參見p320)

為將二耦合振子系統(tǒng)推廣到任意S個耦合振子系統(tǒng)，將前面關(guān)于C1、C2

的方程改寫成矩陣形式，有令則第五十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

一列二行矩陣

U可看成一個二維空間中的矢量。一般：2×2對稱矩陣

S

作用在一個任意二維空間矢量上，會改變它的大小和方向，即

SU和U一般不平行。但：SU=λU表明此式中的矢量U受到S

的作用后，不改變方向，而只是乘上一個常數(shù)λ。定義：U——矩陣S

的本征矢，λ——與本征矢U對應(yīng)的本征值，SU=λU——對稱矩陣S

的本征方程。第五十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

這樣，求耦合二振子系統(tǒng)的集體振動模式歸結(jié)為求解矩陣S的本征值方程。將以上方法推廣到三維空間，對此空間中的矢量寫成矩陣形式，得到于是，3×3的矩陣

S

的本征值方程為第五十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日或?qū)憺槿绻瑒t稱矩陣S

為對稱矩陣。對于對稱矩陣有如下定理：定理一3×3的對稱矩陣

S

有3個獨立的本征矢。與本征矢對應(yīng)的本征值為實數(shù)。第五十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日證：SU=λU

可寫為其中I為單位矩陣將

SU–λU=(S

–λI)U=0

寫成矩陣形式第五十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日上式是關(guān)于3個未知數(shù)u1,u2,u3

的齊次方程組。非零解條件為由以上條件，可得λ的3個根λ=

λa(a=1,2,3)。與每個根相對應(yīng)，可得到一個解，這就是和本征值λa對應(yīng)的本征矢。假定：S

為實對稱矩陣，即第五十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日本征值方程又可寫成取其復(fù)共軛將，并利用，得到將上式左右兩邊同時乘以

uj，并對j求和，得到第五十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日將本征值方程的左右兩邊同時乘以，并對i求和，有因此，即λ為實數(shù)。討論：當(dāng)λ為實數(shù)時，由本征值方程得到的解u1,u2,u3

也是實數(shù)，可以組成有物理意義的矢量。對于3×3的對稱矩陣有3個實本征值，相應(yīng)的有3個獨立本征矢。第五十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日注意：本征值方程是齊次方程，它的解可以乘上任意常數(shù)。因此，和本征值對應(yīng)的只是本征矢的方向，而相應(yīng)的本征矢的長度不確定。此時可以將本征矢“歸一化”成單位長度，即通過乘上一個常數(shù)使得ui

(i=1,2,3)滿足上式的矩陣形式其中是U

的轉(zhuǎn)置矩陣。第五十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日定理二對稱矩陣對應(yīng)于不同本征值的本征矢相互正交。證：和、對應(yīng)的本征值方程分別為將上兩式分別乘上和并對i求和，得到第六十頁，共八十八頁，2022年，8月28日對上兩式中的第一式的左邊交換求和指標(biāo)，有又，所以即因，所以，即。第六十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

從定理一和定理二可知，3×3的對稱矩陣有三個獨立本征矢，對應(yīng)于三個本征值。如果這三個本征值互不相等，則對應(yīng)的三個本征矢相互垂直。幾何上，可畫出三個本征矢，其長度分別為對應(yīng)的本征值，用它們?yōu)橹鬏S作一個橢球。這一橢球就是對稱矩陣的幾何表示，稱之為對稱矩陣的本征橢球。用本征橢球的三個主軸(對稱矩陣的三個本征矢)作為坐標(biāo)架基矢作一個笛卡爾坐標(biāo)系，則在此坐標(biāo)系中，對稱矩陣有對角形式第六十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

在以本征橢球的三個主軸為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系下，本征矢量的矩陣表達式分別為(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)第六十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日備忘：矢量A可用復(fù)數(shù)來表示，如圖。在Oxy和Ox'y'

坐標(biāo)系下，有z=x+iy、z'=x'+iy'

；，因此

：代表轉(zhuǎn)動。第六十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時，矢量U

變成U'，它的三個分量

ui'(i'

=1,2,3)是U的三個分量ui(i=1,2,3)的線性組合上式的矩陣形式U'=AU其中矩陣A

應(yīng)滿足一定的條件，以保證歸一化的矢量在轉(zhuǎn)動以后仍然歸一化，即有由A的任意性(坐標(biāo)系可任意選取)，有或第六十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日滿足以上條件的矩陣稱為正交矩陣。注意，代表物理量的矩陣S

是對稱矩陣，即；而坐標(biāo)轉(zhuǎn)動矩陣A

則是正交矩陣，即。由于坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動，使得表示物理量的矩陣S也發(fā)生變化。變化后的矩陣S與S'

的關(guān)系的推導(dǎo)：原坐標(biāo)系中，將S作用到

U，得另一矢量

V，有SU=V；坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動后，這一關(guān)系仍然應(yīng)成立，即S'U'

=V'

由U的任意性，有S'

A=AS。第六十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日而，所以?？梢宰C明：在坐標(biāo)轉(zhuǎn)動下，代表物理量的矩陣S的本征值和本征矢不變。注：當(dāng)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系時，對稱矩陣的各個分量都要發(fā)生變化，矩陣不再是對角的了，但是物理量的本征值和本征矢不因坐標(biāo)系的變換而變化，因而相應(yīng)的本征橢球在空間中的位置和形狀不變。第六十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日定理三如果對稱矩陣S的兩個本征值相等λa=

λb=

λ，則和它們對應(yīng)的本征矢ua和ub

的線性組合也是S的對應(yīng)于同一個本征值λ

的本征矢。證：本征值方程為將兩式分別乘上和并相加，得第六十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日上式表明：也是S的對應(yīng)于同一個本征值λ

的本征矢。兩個獨立矢量ua和ub的線性組合形成一個平面。因此定理三表明，和兩個相等本征值對應(yīng)的不是兩個特定的本征矢量，而是一個平面，在這一平面中的任意矢量都是和這一本征值對應(yīng)的本征矢。此時，對應(yīng)的橢球有兩個主軸長度相同，是一個旋轉(zhuǎn)橢球。沿這兩個主軸作的橢球的截面是一個圓。這一截面上的任意矢量都可以看成橢球的主軸?？梢詮闹羞x兩個相互第六十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日垂直的矢量作為橢球的主軸。所以，對于任意一個3×3

對稱矩陣S，總可以找到三個相互垂直的方向，當(dāng)矢量u沿這三個方向時，S

作用到矢量u上不改變它的方向。xyzxz第七十頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)實對稱矩陣S的三個本征值相等時，其特征多項式為其中對ΔS

(λ)

分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得第七十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日將上式代入ΔS

(λ)的一階導(dǎo)數(shù)表達式，有化簡得由于S

是矩陣，所以第七十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日而因此這樣由S的本征值方程SU=λ0U

得SU=λ0IU=λ0U

即當(dāng)實對稱矩陣S

的三個本征值相等時，其本征矢方向是任意的，對于電磁介質(zhì)而言，這說明介質(zhì)是各向同性的。第七十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日推廣：S維矢量的定義定義一一組S個實數(shù)ui(i=1,2,…S)稱為S維空間中的矢量，每個ui稱為這一矢量的分量。定義二兩個矢量的對應(yīng)分量相乘并求和，此和稱為它們的標(biāo)積。說明：對于實矢量，標(biāo)積的另一種形式其中第七十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日定義三如果兩個矢量的對應(yīng)分量成正比ui=cvi

，就稱它們相互平行。定義四如果兩個矢量(非零矢量)的標(biāo)積等于零，就稱它們相互正交。S×S

的矩陣S的本征值方程成為或者第七十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日定理四S×S的對稱矩陣S有S個獨立的本征矢。對應(yīng)的本征值為實數(shù)。當(dāng)這

S個本征值各不相等時，對應(yīng)的S個本征矢相互正交?？梢詫⑺鼈儦w一化成為一組S個正交歸一的S維矢量。當(dāng)在S個本征值中有m個本征值相等時，對應(yīng)的

m個獨立本征矢的線性組合形成一個m維線性子空間(m維“平面”)，其中的任意矢量都是對稱矩陣S對應(yīng)于這一本征值的本征矢?？梢詮闹羞x出m個相互正交的矢量并加以歸一化，成為這個m

維線性子空間中的正交歸一完備基。對于所有有第七十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日相等本征值的本征矢都這樣處理以后，得到一組S個矢量，滿足正交歸一條件第七十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日以上定理的例子：各向異性介質(zhì)中電場與電