常微分方程第一章

常微分方程第一章_文檔視界第一章

一階微分方程

1.1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解微分方程有關(guān)的基本概念,如微分方程、方程階數(shù)、解、通解、初始條件、初值問題等的定義和提法.掌握處理微分方程的三種主要方法:解析方法,定性方法和數(shù)值方法.

2.掌握變量分離法，用變量替換將某些方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程,掌握一階線性方程的猜測(cè)檢驗(yàn)法,常數(shù)變易法和積分因子法,靈活運(yùn)用這些方法求解相應(yīng)方程,理解和掌握一階線性方程的通解結(jié)構(gòu)和性質(zhì).

3.能夠大致描述給定一階微分方程的斜率場,通過給定的斜率場描述方程解的定性性質(zhì);理解和掌握歐拉方法,能夠利用歐拉方法做簡單的近似計(jì)算.

4.理解和掌握一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理,能夠利用存在唯一性定理判別方程解的存在性與唯一性并解決與之相關(guān)的問題,了解解對(duì)初值的連續(xù)相依性和解對(duì)初值的連續(xù)性定理,理解適定性的概念.

5.理解自治方程平衡點(diǎn),平衡解,相線的概念,能夠畫出給定自治方程的相線,判斷平衡點(diǎn)類型進(jìn)而定性分析滿足不同初始條件解的漸近行為.

6.理解和掌握一階單參數(shù)微分方程族的分歧概念,掌握發(fā)生分歧的條件,理解和掌握各種分歧類型和相應(yīng)的分歧圖解,能夠畫出給定單參數(shù)微分方程族的分歧圖解,利用分歧圖解分析解的漸近行為隨參數(shù)變化的狀況.

7.掌握在給定的假設(shè)條件下,建立與實(shí)際問題相應(yīng)的常微分方程模型,并能夠靈活運(yùn)用本章知識(shí)進(jìn)行模型的各種分析.

1.2基本知識(shí)：(一)基本概念

1.什么是微分方程:

聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式（一般是指等式），稱之為微分方程.2.常微分方程和偏微分方程:

(1)如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則稱這種微分方程為常微分方程,

例如)(22tfcydtdybdtyd=++,0)(2=++ydt

dy

tdtdy.

(2)如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上，則稱這種微分方程為偏

微分方程.例如02

22222=??+??+??z

T

yTxT,tTxT??=??422.本書在不特別指明的情況下,所說的方程或微分方程均指常微分方程.3.微分方程的階數(shù):微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例如，

)(2

2tfcydtdy

bdt

yd=++是二階常微分方程；02

22222=??+??+??z

T

yTxT與tTxT??=??422是二階偏微分方程.4.n階常微分方程的一般形式：

(,,,...,)0nndydy

Ftydtdt

=,

這里(,,,...,)nndydyFtydtdt是,,,...,nndydytydtdt的已知函數(shù)，而且一定含有nndy

dt

的項(xiàng)；y是未知函數(shù)，t是自變量.5.線性與非線性：

（1）如果方程(,,,...,)0nndydyFtydtdt=的左端是y及,...,nndydy

dtdt

的一次有理式，則稱(,,,...,)0nndydy

Ftydtdt

=為n階線性微分方程.（2）一般n階線性微分方程具有形式：

1111()...()()()nnnnnndydydyatatatyftdtdtdt

---++++=這里1()at,…,()nat,()ft是t的已知函數(shù).

（3）不是線性方程的方程稱為非線性方程.（4）舉例：

方程)(22tfcydtdy

bdtyd=++是二階線性微分方程；方程0sin22=+φφlg

dt

d是二階非線性微分方程；

方程0)(

2=++ydt

dytdtdy是一階非線性微分方程.6.解和隱式解：

如果將函數(shù)()yt?=代入方程(,,,...,)0nndydy

Ftydtdt

=后，能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱函數(shù)()yt?=為方程的解.如果關(guān)系式,0ty

Φ=（）決定的隱函數(shù)()yt?=是

方程的解，則稱,0ty

Φ=（）為方程的隱式解.7.通解與特解：

把含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)nccc,...,,21的解12(,,,...,)nytccc?=稱為n階方程

(,,,...,)0nndydy

Ftydtdt=的通解.其中解對(duì)常數(shù)的獨(dú)立性是指，對(duì)?及其1n-階導(dǎo)數(shù)

11,...,nndddtdt

??

--關(guān)于n個(gè)常數(shù)nccc,...,,21的雅可比行列式不為0,即1212(1)(1)(1)1

2

0nnnnnn

ccccccccc?

????????---??????'''??????≠??????LLMMLML

.

為了確定微分方程一個(gè)特定的解，通常給出這個(gè)解所必須滿足的條件，稱為定解條件.

常見的定解條件是初始條件,n階微分方程(,,,...,)0nndydy

Ftydtdt=的初始條件是指如下的n個(gè)條件：1(1)(1)00001,,...,nnndydyttyyyydtdt

---====，，這里(1)(1)

0000,,,...,ntyyy-是給定的n+1個(gè)常數(shù).求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂

定解問題.當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.把滿足初始條件的解稱為微分方程的特解.初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同.

(二)解析方法

1．變量分離方程形如

()()dy

ftydt

?=的方程為變量分離方程，其中(),()fty?分別為,ty的連續(xù)函數(shù).方程解法如下：若()0y?≠，則

()()

()()dy

ftdtydy

ftdtc

y??==+??

上式確定方程的隱式通解.如果存在0y，使得()00y?=，則0yy=也是方程的解.2.可化為變量分離方程的方程

(1)齊次方程

形如()dyy

gdtt

=的方程為齊次方程，()gu為u的連續(xù)函數(shù).解法如下：做變量替換yut=，即yut=，有dydu

tudtdt

=+，從而原方程變?yōu)?/p>

()dutugudt+=，整理有()duguu

dtt

-=

，此為變量分離方程，可求解.(2)形如

111

222

at

by

cdydtatbyc++=++的方程,其中121212,,,,aabbcc,為常數(shù).●

111

222

abckabc===的情形.此時(shí)方程化為

,dy

kdt

=可解得yktc=+.●

11220,abab=即1122

ab

kab==的情形:令22,uatby=+則有122222

kucdudy

ababdtdtuc+=+=++此為變量分離方程.●

1

1

22

0abab≠的情形對(duì)120cc==的情況,直接做變量替換yut

=.當(dāng)12,cc不全為零,求1112220

0atbycatbyc++=??

++=?的解為

tyα

β

=??

=?.令TtYyα

β=-??=-?

,則方程組化為

1122

00aTbYaTbY+=??+=?.原方程化為

12()aTbYdYY

gdTaTbYT

+==+的齊次方程可求解.3．一階線性微分方程

(1)一般形式：()()()0dy

at

bty

ctdt

++=，若()0at≠，則可寫成

()()dy

PtyQtdt

=+的形式.(2)一階齊次線性微分方程：()dy

Ptydt=，通解為(),Ptdtcec?為任意常數(shù).

(3)一階非齊次線性微分方程：()()dy

PtyQtdt

=+，()0Qt≠.

(4)齊次線性微分方程的性質(zhì)

性質(zhì)1必有零解0y=;

性質(zhì)2通解等于任意常數(shù)c與一個(gè)特解的乘積;性質(zhì)3任意兩個(gè)解的線性組合也是該微分方程的解.(5)非齊次線性微分方程的性質(zhì)

性質(zhì)1沒有零解;

性質(zhì)2非齊次方程的解加上對(duì)應(yīng)齊次方程的解仍為非齊次方程的解;性質(zhì)3任意兩個(gè)非齊次方程的解的差是相應(yīng)齊次方程的解.(6)一階非齊次線性微分方程的解法：

(i)猜測(cè)-檢驗(yàn)法對(duì)于常系數(shù)的情形，即()Pt為常數(shù),此時(shí)方程為

()dy

ayQtdt

=+,a為常數(shù).對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為at

ce,只需再求一個(gè)特解,這時(shí)根據(jù)()Qt為特定的函數(shù),

可猜測(cè)不同的形式特解.事實(shí)上,當(dāng)()Bt

QtAe=,,AB為給定常數(shù),且Ba≠時(shí)可設(shè)待定特解為Bt

Ce,而當(dāng)Ba=時(shí),可設(shè)特解形式為Bt

Cte,后代入方程可確定待定常數(shù)C.當(dāng)()Qt為cos,sinAtAt或它們的線性組合時(shí),其中A為給定常數(shù).這時(shí)可設(shè)待定特解為cossinBAtCAt+代入方程后確定,BC的值.當(dāng)

()Qt具有多項(xiàng)式形式1011nnnnatatata--++++L,其中01,,naaaL為給定常數(shù)

且00a≠,這時(shí)可設(shè)待定特解為1

011nnnnbtbtbtb--++++L代入方程可求得

,0,1,,ibin=L的值.對(duì)于()Qt有上述幾種線性組合的形式,則可設(shè)待定特解是

上述形式特解的線性組合.(ii)常數(shù)變易法:令()()Ptdt

ycte?

=，代入方程，求出()ct后可求得通解為

()()(())Ptdt

Ptdt

yeQtedtc-?

?=+?.

(iii)積分因子法:方程改寫為

()()dy

PtyQtdt

-=,將()Ptdteμ-?

=,乘方程兩端得()()()()()PtdtPtdt

PtdtdyeePtyQtedt

---?

??

-=即()()()()Ptdt

PtdtdyeQtedt

--?

?

=,從而通解為()()()PtdtPtdtyeQtedtc--??=+?，即()()(())PtdtPtdtyeQtedtc-??=+?.

注意,非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)是:非齊次線性微分方程的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解加上非齊次線性微分方程的一個(gè)特解.

4.伯努利(Bernoulli)方程.形如

()()ndy

PtyQtydt

=+的方程,其中n是常數(shù)且0,1,(),()nPtQt≠是連續(xù)函數(shù),稱為伯努利方程.伯努利方程可通過變量替換1n

zy

-=化為

(1)()(1)()dy

nPtznQtdt

=-+-,這是關(guān)于未知函數(shù)z的線性方程,可求其通解.

(三)定性方法與數(shù)值方法：

1.斜率場：

一階微分方程

(,)dy

ftydt=的解()yt?=代表ty平面上的一條曲線，

稱之為微分方程的積分曲線.微分方程(,)dy

ftydt

=的通解()yt?=，c對(duì)應(yīng)于ty平面上的一族曲線，稱之為

微分方程的積分曲線族.滿足初始條件00()yty=的特解就是通過點(diǎn)00(,)ty的一條積分曲

線.方程

(,)dyftydt=的積分曲線上的每一點(diǎn)(,)ty處的切線斜率dy

dt

剛好等于函數(shù)(,)fty在這點(diǎn)的值.也就是，積分曲線的每一點(diǎn)(,)ty以及這點(diǎn)上的切線斜率dy

dt

恒滿足方程；反之，

如果在一條曲線每點(diǎn)上其切線斜率剛好等于函數(shù)(,)fty在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程的積分曲線.這樣，可以用(,)fty在ty平面的某個(gè)區(qū)域D內(nèi)定義過各點(diǎn)的小線段，其斜率為(,)fty，一般稱這樣的小線段為斜率標(biāo)記.而對(duì)ty平面上D內(nèi)任一點(diǎn)(,)ty,有這樣一個(gè)小線段與之對(duì)應(yīng),這樣在D內(nèi)形成一個(gè)方向場,稱為斜率場.斜率場是幾何直觀上描

述解的常用方法

2.歐拉方法：

求微分方程初值問題

00(,)

()dy

ftydt

yty

?=???=?的解，可以從初始條件00()yty=出發(fā)，按照一定的步長t?依照某種方法逐步計(jì)算微分方程的近似解()nnyyt=,這里0nttnt=+?這樣求出的解稱為數(shù)值解.利用歐拉公式

10(,),nnnnnyyftytttnt+=+?=+?,

可求初值問題的近似解，這種方法稱為歐拉方法.

歐拉方法具有一階誤差精度.如果我們先用歐拉公式求出近似解,再利用梯形公式進(jìn)行校正,得到的近似解將具有2階誤差精度,具體為預(yù)測(cè):1(,)nnnnyyftyt+=+?,

校正:11,11[(,)()]2

nnnnnnyyftyftyt+++=++?,這種方法稱為改進(jìn)的歐拉方法.

(四)解的存在性、唯一性及解對(duì)初值的連續(xù)相依性

1.利普希茨（lipschitz）條件:函數(shù)(,)fty稱為在區(qū)域2

D?R內(nèi)關(guān)于y滿足利普希茨條件，是指如果存在常數(shù)0L>，使得不等式

1212(,)(,)ftyftyLyy-≤-

對(duì)于所有的12(,),(,)tytyD∈都成立,其中L稱為利普希茨常數(shù).2.基本定理

(1)解的存在性定理:設(shè)(,)fty在矩形區(qū)域2

{(,):,}Dtyatbcyd=∈和函數(shù)()yt,定義于區(qū)間00(,)ttεε-+內(nèi)，是初值問

題00(,)()dy

ftydtyty

?=???=?的解.(2)解的唯一性定理:設(shè)(,)fty在矩形區(qū)域2

{(,):,}Dtyatbcyd=∈ε，必能找到正數(shù)(,)0hδδε=>，使得當(dāng)

22

20000ttyyδ-+-則0y是源;(2)若0()0fy'時(shí),0y=是一個(gè)匯,它是穩(wěn)定的;當(dāng)0μ,此時(shí)TT時(shí),()yt將增加;當(dāng)0dydt

,即40y-時(shí),()yt將增加.(3)當(dāng)3

2

200yyy--,()0ft,只有(4)滿足要求.圖1-8的斜率場知方程右端項(xiàng)為(,)fty是,ty的函數(shù),且當(dāng)0y=?≤?,3

1

132212

(),(),0,tctcytctcctc?-??

≤≤?,

其中12,cc是滿足10c≤,20c≥的任意常數(shù),這些解的定義區(qū)間為(,)-∞+∞,但本質(zhì)上在充分小的鄰域(,)εε-內(nèi)方程所確定的過(0,0)的解只有四個(gè),

即函數(shù)3

0,yyt==,3,00,ttytεε

?-,知這個(gè)解遞增,并且隨著1()yt的遞增,

1

dydt

也遞增并且越來越大,知在t增加時(shí),1()yt在有限時(shí)間內(nèi)爆破,趨向于+∞.當(dāng)t減少時(shí),1()yt遞減,并且隨著1()yt的遞減趨于5,

1

dydt

也遞減趨向于0,遞減越來越來越緩慢,知t→-∞,1()5yt→.

(2)初始條件為(0)5y=,而平衡解()5yt=滿足這一初始條件,由唯一性,滿

足這個(gè)初始條件的解就是平衡解()5yt=.

(3)初始條件為(0)1y=,初值位于()0,()2ytyt==這兩個(gè)平衡解的中間,由

唯一性,滿足這個(gè)初始條件的解3()yt一定滿足30()2yt,知這個(gè)解遞增,并且隨著3()yt的遞增,3dy

dt

也遞增但隨著3y趨向于2,1

dydt

趨向于0,增長越來越緩慢,知t→+∞,3()2yt→.同

樣,t→-∞,3()0yt→.

(4)初始條件為(0)1y=-,初值位于()0yt=的下方,由唯一性,滿足這個(gè)初始

條件的解4()yt一定小于0,且

4

444(2)(5)0dyyyydt

=--,所以1y=是源.

(2)由()cos0fvvv==得平衡點(diǎn)為0v=和2,2

vkkπ

π=±

∈Z.當(dāng)1k≥時(shí),

(2)(2)022fkkππππ'+=-+,知22vkπ

π=-為源.相反,當(dāng)0k,知22vkπ

π=+為源;而(2)2022fkkππππ'-=-時(shí),方程沒有平衡點(diǎn),

當(dāng)0μ時(shí),方程有兩個(gè)平衡點(diǎn)24

2yμμ---=和

24

2

yμμ-+-=

,當(dāng)22μ-時(shí),方程有一個(gè)平衡點(diǎn),當(dāng)22μ-,方程3

30yyμ--=的實(shí)根為

12y>;2μ時(shí),方程有三個(gè)平衡

點(diǎn)0y=和yλ=±,知

0λ=是分歧值,此為音叉分歧,如圖1-17.

例24考慮一個(gè)特定區(qū)域內(nèi)某一動(dòng)物物種的增長模型:

()(1)(1)dSSS

fSkSdtNM

==--設(shè)參數(shù)0,0Mk>>長時(shí)間內(nèi)保持固定,但隨之人類涉足這一區(qū)域,使得該物種在這一區(qū)域的最大承載量N逐漸減少.

(1)設(shè)MN≤,對(duì)固定的,KM和不同的N,畫出函數(shù)()fS的草圖;(2)當(dāng)N為何值時(shí),發(fā)生分歧;

(3)當(dāng)N逐漸連續(xù)遞減趨于分歧值時(shí),該物種的數(shù)量將發(fā)生怎樣的變化.

解:(1)當(dāng)1,1,1,2,3,4kMN===時(shí),()fS在[0,0.1]N+的圖像分別為圖1-18~21.

圖1-18圖1-19

圖1-20圖1-21(2)當(dāng)MN為比例系數(shù),方程的解為()kt

Ntce

-=,由0t=時(shí),(0)50N=,得(0)50Nc==,于是

()50ktNte-=,又因?yàn)?t=時(shí),(2)50(110%)45N=?-=,得24550ke-=,

110

ln0.05329

k=≈,因此0.053()50tNte-=.

(2)當(dāng)4t=時(shí),0.0534

(4)5040.5Ne

-?==

(3)質(zhì)量減半時(shí)()25Nt=,得1

0.053ln2

t-=,13t≈.例28

一50升的容器中有水10升,當(dāng)0t=時(shí),每升含鹽1克的鹽水溶液以每分

鐘4升的速度注入,同時(shí),均勻的液體以每分鐘2升的速度流出,試求剛發(fā)生溶液溢出時(shí),容器中的含鹽量?

解:設(shè)Q為任何時(shí)刻容器中的含鹽量.Q的變化率

dQ

dt

等于鹽的注入率減去流出率.鹽的注入率是4克/分.要決定流出率,首先計(jì)算在時(shí)刻t,容器中的溶液的體積,它

等于最初的體積010V=加上注入的體積4t后減去流出的體積2t.因此,在任一時(shí)刻t,鹽水的體積是02Vt+.在任何時(shí)刻的濃度是

102Q

t

+,由此得流出率為

2102Qt+/分.于是得到微分方程24102dQQdtt=-+,即1

45dQQdtt

+=+,這是一個(gè)

一階線性方程.積分因子為55dt

t

et+?=+,乘方程兩端得

[(5)]

4(5)dtQtdt

+=+,

得2(5)5c

Qtt=++

+,當(dāng)0t=,(0)0Q=,知50c=-,因此502(5)5Qtt=+-+.而注滿容器所需時(shí)間為5010

2042t-==-,從而發(fā)生溢出時(shí)50

2(520)48520

Q=+-=+,即,剛發(fā)生溶液溢出時(shí),容器中的含鹽量為48克.

例29一個(gè)RL回路中電源為3sin2t伏特,電阻為10歐姆,電感為0.5亨利和初始電

流為6安培,求在任何時(shí)刻t,電路中的電流,并分析電流的長時(shí)間行為?

解:對(duì)于一個(gè)包含有電阻R,電感L和電源V的RL回路電路中的電流應(yīng)滿足的基本

方程為dIRV

IdtLL

+=.此時(shí)10,0.5,()3sin2RLVtt===,代入得

206sin2dI

Itdt

+=,這是非齊次常系數(shù)線性方程,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為20tce-,猜測(cè)非齊次方程的一個(gè)特解為12()sin2cos2Itctct=+代入有12122cos22sin220(sin2cos2)6sin2ctctctctt-++=即1221(2026)sin2(202)cos20cctcct--+-=,得12303,101101

cc==-.從而303

()sin2cos2101101

Ittt=

-,因此原方程的通解為2020303

()()sin2cos2101101

ttItceItcett--=+=+-,又初始電流為6安培,即

當(dāng)0t=,(0)6I=,得3609

6101101

c=+

=

,故在任何時(shí)刻t,電路中的電流20609303()sin2cos2101101101

tItett-=+-.當(dāng)t→+∞時(shí),所有的解()It與()It之

差的絕對(duì)值|()()|0ItIt-→,在這個(gè)意義下所有的解都將趨向于穩(wěn)態(tài)電流

303

()sin2cos2101101

Ittt=

-這一周期特解.例30一個(gè)RC電路回路中有電源400cos2t伏特,電阻為100歐姆,電容0.01

法拉,電容上沒有初始電量,求任何時(shí)刻t,電容器兩端的電壓和電路中的電流,并分析其長時(shí)間行為?

解:設(shè)C的電壓()vt,由電路學(xué)知識(shí)，RC電路的模型如下：

()dvRC

vVtdt+=,即()dvVtv

dtRC

-=

.由100,0.01,()400cos2RCVtt===,得400cos2dv

vtdt

+=,對(duì)應(yīng)齊次方程的通

解為t

ce-,猜測(cè)非齊次方程的一個(gè)特解為12()sin2cos2vtctct=+代入解得

12160,80cc==,知()()160sin280cos2ttvtcevtcett--=+=++,由初始時(shí)刻

電容無電量知(0)0v=,得80c=-,于是()80160sin280cos2t

vtett-=-++.而電流

4816

0.01(80160sin2320cos2)sin2cos2555

ttdvIC

ettettdt--==-+=-+.與例29一樣,當(dāng)t→+∞時(shí),電容器兩端的電壓和電路中的電流將分別趨向于穩(wěn)態(tài)

電壓12()sin2cos2vtctct=+和穩(wěn)態(tài)電流816

()sin2cos255

Ittt=-+.

1.4習(xí)題答案

1.(1)12150,(2)

2.52.

2(1)0,200PP==,(2)0200P.

3.(1)0,50,200PPP===,(2)50200P.

4.見例1.

5.7071.

6.見例2

7.7.(1)

ln20.000125730≈,(2)ln2

0.866438

≈,(3)一樣.8.(1)1065,(2)17669,(3)32600,(4)168

9.見例2.

10.(1)趨向于2000,(2)魚的數(shù)量遞減趨于0.11.2()23ytt=+.

12.()ln,0gtttt=->.13.(1)22

,tycec=為任意常數(shù).

(2)21

,2

t

ycec=-

為任意常數(shù).(3)ln(),ytcc=+為任意常數(shù).(4)2

2arctan,ytcc=+為任意常數(shù).

(5),1t

t

ceycce

=-為任意常數(shù),此外1y=-也是解.(6)3

123

1,ttyce

c-=-為任意常數(shù).

(7)2

ln||,2tyyecc+=+為任意常數(shù),此外0y=也是解.(8)2

2

2

1,1ctyct

=-+為任意常數(shù).(9)sin(ln),yttcc=-+為任意常數(shù),此外22

yt=也是解.

(10)ln1,y

cyct+=為任意常數(shù).14.(1)21(111)2

t

ye=-.

(2)0y=.

(3)2

2

16ln|1|yt=--.

(4)2tan()24

tyπ

=+.

15.見例12.16.見例13.17.(0)yt

ye

'=.

18.(1)21,3

t

t

yceec-=-為任意常數(shù).

(2)23,t

tyce

ec--=+為任意常數(shù).

(3)21

(cos2sin2),4

t

ycettc=-

+為任意常數(shù).

(4)2612

cos2sin2555tyett=

-+.(5)31523

cos2sin2131313

tyett-=-+