現(xiàn)代控制理論

摘要倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、高度非線性的、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代控制理論最適宜的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺的控制是控制理論應(yīng)用的一個(gè)典型X例，一個(gè)穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對于證實(shí)狀態(tài)空間理論的實(shí)用性是非常有用的。本文主要研究的是二級倒立擺的極點(diǎn)配置方法，首先用Lagrange方程建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，然后對二級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)展了分析和研究，并給出了系統(tǒng)能控能觀性的判別?；诂F(xiàn)代控制理論中的極點(diǎn)配置理論，根據(jù)超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間來配置極點(diǎn)，求出反應(yīng)矩陣并利用Simulink對其進(jìn)展仿真，得到二級倒立擺的變化曲線，實(shí)現(xiàn)了對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。關(guān)鍵詞：二級倒立擺；極點(diǎn)配置；Simulink目錄1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"數(shù)學(xué)模型的建立和分析 2\o"CurrentDocument"數(shù)學(xué)建模的方法 2\o"CurrentDocument"二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 2\o"CurrentDocument"拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程 3 4\o"CurrentDocument"二級倒立擺系統(tǒng)性能分析 12穩(wěn)定性分析 12能控性能觀性分析 13\o"CurrentDocument"狀態(tài)反應(yīng)極點(diǎn)配置 14\o"CurrentDocument"二級倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1 14\o"CurrentDocument"二級倒立擺最優(yōu)極點(diǎn)配置2 16\o"CurrentDocument"二級倒立擺matlab仿真 18\o"CurrentDocument"Simulink搭建開環(huán)系統(tǒng) 18\o"CurrentDocument"5.2開環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果 19\o"CurrentDocument"Simulink搭建極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng) 20 21第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果 21第二組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果 23 25 26\o"CurrentDocument"附錄一 261.緒論倒立擺最初誕生于麻省理工學(xué)院，僅有一級擺桿，另一端鉸接于可以在直線導(dǎo)軌上自由滑動(dòng)的小車上。后來在此根底上，人們又進(jìn)展拓展，設(shè)計(jì)出了直線二級倒立擺、環(huán)型倒立擺、平面倒立擺、柔性連接倒立擺、多級倒立擺等實(shí)驗(yàn)設(shè)備。在控制理論的開展過程中，為驗(yàn)證某一理論在實(shí)際應(yīng)用中的可行性需要按其理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對象來驗(yàn)證。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，本錢低廉；作為一個(gè)控制對象，他又相當(dāng)復(fù)雜，同時(shí)就其本身而言，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法才能使之穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認(rèn)為是自動(dòng)控制理論中的典型實(shí)驗(yàn)設(shè)備。綜合文獻(xiàn)資料，倒立擺控制的方法主要有：PID控制，狀態(tài)反應(yīng)，利用云模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，遺傳算法，自適應(yīng)控制，模糊控制，變論域自適應(yīng)模糊控制理論，智能控制等多種算法來實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制。本文主要構(gòu)建二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析，對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)展控制方法的研究。本文就以下幾個(gè)問題進(jìn)展了論述。二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析。在建模局部，首先采用拉格朗日方程推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，并對系統(tǒng)的可控性可觀性進(jìn)展分析，并分析倒立擺系統(tǒng)控制的難易程度。二級倒立擺的控制原理與方法的研究。本文主要采用狀態(tài)反應(yīng)極點(diǎn)配置的方法對二級倒立擺進(jìn)展研究。采用Matlab語言進(jìn)展數(shù)字仿真，分析仿真結(jié)果。2數(shù)學(xué)模型的建立和分析2.1數(shù)學(xué)建模的方法所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的準(zhǔn)確的定量的表示。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的根底，所以要對一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)展研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。建立倒立擺系統(tǒng)的模型時(shí)，一般采用牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，建模問題將更加復(fù)雜，為此本文采用分析力學(xué)方法中的Lagrange方程推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。Lagrange方程有如下特點(diǎn)：它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動(dòng)方程，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，只需要從兩個(gè)方面去分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量－系統(tǒng)的動(dòng)能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量－廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。2.2二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理如圖2.1，系統(tǒng)包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體〔小車，上擺，下擺，皮帶輪等〕和光電碼盤幾大局部，組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反應(yīng)給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，下面一節(jié)擺桿〔和小車相連〕的角度、角速度信號由光電碼盤2反應(yīng)回控制卡和伺服驅(qū)動(dòng)器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號如此由光電碼盤3反應(yīng)。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策〔小車向哪個(gè)方向移動(dòng)、移動(dòng)速度、加速度等〕，并由運(yùn)動(dòng)控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車運(yùn)標(biāo)準(zhǔn)文檔動(dòng)，保持兩節(jié)擺桿的平衡。圖2.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作原理圖2.3拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程拉格朗日提出了用能量的方法推導(dǎo)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先我們引入廣義坐標(biāo)，拉格朗日方程。廣義坐標(biāo)：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必需的一組獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)

數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)用n維廣義坐標(biāo)q,q,…q來表示，我1 2 n們可以把這n維廣義坐標(biāo)看成是n維空間的n位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。對于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點(diǎn)來表征。系統(tǒng)在n維空間中運(yùn)動(dòng)形成的假如干系統(tǒng)點(diǎn)連成—條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。拉格朗日方程：（VI冷：卩小:】.泊（2.1）式中，L——拉格朗日算子，q——系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，統(tǒng)的動(dòng)能,V——系統(tǒng)的勢能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)qi和L表示為:Id3L仇酣(2.2)式中，i=1,2,3n，f.——系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是x,q,q。在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)：1?上擺、下擺與小車均是剛體；皮帶輪與傳動(dòng)帶之間無相對滑動(dòng)；傳動(dòng)皮帶無伸長現(xiàn)象；小車運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力正比于小車的速度；4?小車的驅(qū)動(dòng)力與直流放大器的輸入成正比，且無滯后，忽略電機(jī)電樞繞組中的電感；下擺轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受到的摩擦力矩正比于下擺的轉(zhuǎn)動(dòng)速度；上擺運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的摩擦力矩正比于上擺對下擺的相對角速度；圖2.2二級倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車系統(tǒng)的等效質(zhì)量M擺桿1質(zhì)量糾=0.04Kg擺桿1轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離［擺桿2質(zhì)量m=0.132Kg擺桿2轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離I22質(zhì)量塊質(zhì)量m3F擺桿1與垂直向上方向的夾角01擺桿2與垂直向上方向的夾角02首先，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：T=T+T+T+T(2.3)M ml m2 m3T小車動(dòng)能：M1(2.4)T】擺桿1動(dòng)能：mlT=T'+J.?ml ml m

式中，J一-擺桿1質(zhì)心平東動(dòng)能-擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能T'—1mm1 2 1士dt廠d(1cos0))—

丿1——dtT'—1mm1 2 1士dt廠d(1cos0))—

丿1——dt——mx2-m1X0cos20+1m1202(2.1 21116)如此T2擺桿2動(dòng)能:m2T''—m1m1 m11j+T''m11(im12lei1311cos011._m1202(2.7)6111+2m1202(2.8)3 111T=T+T(2.9)m2 m2 m2式中，“一擺桿1質(zhì)心平東動(dòng)能門--擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能式中，“一擺桿1質(zhì)心平東動(dòng)能門--擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能T—1T—1mm2 2 2d(x一2lsin0一lsin0、 1一一1dt(d⑵cos0+1cos0)、 1 1——2 2-\ dt—丄—丄m\x—210cos0-10cos02111222>+2m%sin0+10sin0>SO)T''T''J32二mm2 2 2 2二1m1202(2.11)6222x2-2x(210cos0+10cos0))11222(2.12)‘41202+41202+41100cosfe-0)(2.12)911 322 1212 2 1丿T3質(zhì)量塊動(dòng)能:m3T=1T=1mm3 237d(x-21sin0))2 d(21cos0))2、—1 1—dt丿i 1—dt丿丿1■■=mX2-2m1x0cos0+2m1202(2.13)TOC\o"1-5"\h\z2 3 31 1 1 311因此，可以得到系統(tǒng)總動(dòng)能：T=T+T+T+TM m1 m2 m3\o"CurrentDocument"1 . 2 .=Mx2+mx2-m1x0cos0+m120221 11 1 1 3111+1mC2-2XC10cos0+10cos0))2211122211202+41202+41100cos@-0)J11 322 1212 2 1丿+丄mx2-2m1x0cos0+2m120'2 (2-14)2 3 31 1 1 311系統(tǒng)的勢能為：V=V+V+Vm1 m2 m3二mglcos0+2mglcos0+mg(2lcos0+1cos0)(2.15)11131121122至此得到拉格朗日算子L：11.2?=_Mx2+mx2一mlxGcos0+_ml2022 21 111 13111+丄mC2-2XC10cos0+10cos0))22111222+J_m4l202+￥1202+4l100cos?-0)22(11 322 1212 2 11.—mx2一2m1x0cos02 3 31 1 1

+2m1202一mglcos011 1 1 1一2mglcoS0一m31 1 2cos0+1cos01122(2.16)由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)0,0上均無外力作用，有以下等式成立：12d[_Sd[_SL

dt.Q01箸=0(217)1==0(2.18),,,,,,dt(Q0丿6022展開(2.17)、(2.18)式，分別得到(2.19)、(2.20)式6m102sin0-0)+4(m+3(m+m))0-3(-2m10cos0-0)TOC\o"1-5"\h\z222 1 2 1 2 311 222 2 1+(m+2(m+m))(gsin0+xco?))=0(2.19)-3gsin0-602sin0-0)+40+610cos0-0)-3Xcos9=0(220)2 11 1 2 22 11 2 1 2????將(2.19)、(2.20)式對0，02求解代數(shù)方程，得到以下兩式0=(3(-2gmsin0-4gmsin0-4mgsin0+3mgcos(0-0)sin01 1 1 2 1 3 1 2 2 1 2+6m1cos0(-0)sin(0-0)02+4m1sin(0-0)02-2mxcos021121212212211-4mxcos0-4mxcos0+3mxcos(0-0)cos0))/2 1 3 1 2 1 2 2⑵(-4m-12m-12m+9mcos^(0-0)))(221)1 1 2 3 2 1 20=-(-m(m+3(m+m))121(-3gsin0-6102sin(0-0)-3Xcos0)2 9 2 1 2 3 12 2 11 1 2 2

2—ml21cos(0-0)(6ml02sin(0-0)-3(m+2(m+m))(gsin0+xcos0)))/32121222212123111(-m(m+3(m+m))1212+4m21212cos2(0-0))(2.22)31221212表示成以下形式：0=f(x,0,0,x,0,0,x)(2.23)TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 1 20=f(x,0,0,x,0,0,x)(2.24)2 2 1 2 1 2取平衡位置時(shí)各變量的初值為零，A=(x,0,0,x,0,0,x)=(0,0,0,0,0,0,0)=0(2.25)1 2 1 2將(2.23)式在平衡位置進(jìn)展泰勒級數(shù)展開，并線性化，令K二11,二05xA=0(2.26)K二11,二05xA=0(2.26)K=123(-2gm-4gm-4gm)= 12 3-50!A=0 2(-4m-3m-12m)11 1 2 31(2.27)K=139mg2'A=022(-4m-3m-12m)11 2 31(2.28)=0(2.29)A-0K/1550K/1550a=01=0(2.30)K=16=0(2.31)A=0K二魚K二魚I175xIa=0 2(-4m-3m-12m)11 2 313(-2m-m-4m)i2 3 (2.32)得到線性化之后的公式

6*=K6+K6+KX(233)112113217(2.33)將62二f2(x,01,°2,x,61,62,x)在平衡位置進(jìn)展泰勒級數(shù)展開，并線性化，令K旦=0(2.34)2i dxA=023229fdf90A=o90A=o2g(m+23229fdf90A=o90A=o2g(m+2(m+m))1 2 3—4ml一22￡(m+3(m+m))l(2.35)4g(m+3(m+m))3(4ml一 (m+3(m+m))l)2 3 222~2(2.36)=0(2.37)24279XA=025269f290A279XA=025269f290A=0=0(2.38)=0(2.39)A=042(m+2(m+m))-3(m+3(m+m)4mli6(2.40)22(m+3(m+m))l得到0=K0+K0+KX(241)TOC\o"1-5"\h\z2 22i232 27即:0=K0+K0+Kx(242)i2i i32 i70=K0+K0+Kx(243)22i 232 27現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程:取狀態(tài)變量如下：u取狀態(tài)變量如下：u=x(2.44)x=x1x=021x=032(2.45)x=x4x=051x=062如此狀態(tài)空間方程如下：如此狀態(tài)空間方程如下：將以下參數(shù)代入0000K13K100100將以下參數(shù)代入0000K13K100100000000001000「x1「0■x02x03+x14xK517x1—<一K— cr—627(2.46)M=1.32m=0.041m=0.1322m=0.2083g=9.8l=0.091l=0.27232求出各個(gè)K值:K二77.0642K=-38.53211222K=-21.1927K=37.818613 23K=5.7012K=-0.072817 27得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣：

00010000001000A=00077.0642—21.19270000—38.532137.81860005.7012—0.0728「100000C=0100000010003二級倒立擺系統(tǒng)性能分析3.1穩(wěn)定性分析(3.1)二級倒立擺的特征方程為:(3.1)det(九I—A)=0Matlab中，用函數(shù)eig（A）來計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過計(jì)算，系統(tǒng)的特征值為：九=（9.59724.7725—9.5972—4.772500〕 （3.2）開環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于S平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時(shí)，根據(jù)前面的狀態(tài)空間表達(dá)式，在matlab中，用step（A,B,C,D）函數(shù)對系統(tǒng)的階躍響應(yīng)進(jìn)展分析：StepResponse圖1開環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)從上圖可以看出，在階躍響應(yīng)的作用下，系統(tǒng)是發(fā)散的3.2能控性能觀性分析對于線形狀態(tài)方程其能控性矩陣為：求丁o的秩X=AX+BUY=CX(3.3)T=[B,AB,A2B,A3B,A4B,A5B](34)orank(To)=6(3.5)所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為：::c- ：：I.;/；加：卅加：:半(3.6)求q的秩rankq)=6(3.7)所以系統(tǒng)是完全能觀的?！泊a見附錄〕由上述計(jì)算結(jié)果可知，二級倒立擺系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但它的狀態(tài)是完全能控且完全能觀測的。因此，可以對其實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。4狀態(tài)反應(yīng)極點(diǎn)配置4.1二級倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1在式3.3中，A為6*6陣；B為6*1陣；C為3*6陣。是一個(gè)單輸入系統(tǒng)，且完全能控、能觀測。因此，可按照最優(yōu)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法進(jìn)展設(shè)計(jì)。對于一般控制系統(tǒng)，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的選取應(yīng)使-一 二譏但二級倒立擺是一個(gè)特殊的高階系統(tǒng)，穩(wěn)定性是主要矛盾，因此可適當(dāng)增加；，即適當(dāng)降低響應(yīng)速度，來彌補(bǔ)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。相應(yīng)在選擇性能指標(biāo)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)減小系統(tǒng)的超調(diào)量。對于二階倒立擺系統(tǒng)，主要針對如下兩個(gè)主要的性能指標(biāo)進(jìn)展設(shè)計(jì)：超調(diào)量：J一〔：〔：；=■調(diào)節(jié)時(shí)間：’「r(4.1)cr-e-J'■1(4.2)M-I-lx-1- <J(4.2)這里，誤差X圍取為2%,將上述性能指標(biāo)得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個(gè)性能指標(biāo)滿足「；，取;.-二汀1,…-將得到的阻尼比與自然角頻率代入下式：(4.3)得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)為：si=■1.87+1一1叮，旣二-1.87-1一11j(4.4)對于其他四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上，即滿足下式：II』二llsill二Hs&H二HsJI10*2.17二21.7(4.5)所以，另外四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)取為：空-七-沢-沙-応到此，二級倒立擺的6個(gè)極點(diǎn)都已確定。P二［T.87+1.11j-1.87-1.11j-22-22-22-22］〔4.6〕在matlab中輸入K二acker(A,B,P)可求得:K=1.0e+03*至此，完成了二級倒立擺控制器的設(shè)計(jì)。接下來在matlab中仿真得到:

?：一eunEAStepResponse?：一xTTime(seconds)?：一eunEAStepResponse?：一xTTime(seconds)圖2極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)14.2二級倒立擺最優(yōu)極點(diǎn)配置2在上述根底上，繼續(xù)調(diào)整超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間，使二級倒立擺達(dá)到穩(wěn)定。第二次?。撼{(diào)量：j-二；〉調(diào)節(jié)時(shí)間：就：&玄二遲，汕-‘u，??；.—】譏，I.-將得到的阻尼比與自然角頻率式4.3得到第二組主導(dǎo)極點(diǎn)：川 '」1_,吧1.門’漢_(4.4)對于其他四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上，即滿足下式：II制二lb』l二lls5ll二llsjl12*2.5二和(4.5)所以，另外四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)取為:涇-七-辺.-沙-沈因此，第二組極點(diǎn)P2=[-1.73+1.81j-1.73-1.81j-30-30-30-30]在matlab中輸入K2二acker(A,B,P2)可求得:K2=1.0e+03*接下來繪制極點(diǎn)配置后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖:StepResponse:- L1L L L L L L L -rrrrrrrr0-51?oeuoEA0T0 0 0.5 11.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5Time(seconds)圖3極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)25.二級倒立擺matlab仿真5.1Simulink搭建開環(huán)系統(tǒng)圖4開環(huán)系統(tǒng)仿真圖OUC15.2開環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果250.50-52040TimeDtr^etD.iTimeoffset:0.1回sa 1 q■■1■■J -1r 250.50-52040TimeDtr^etD.iTimeoffset:0.1回sa 1 q■■1■■J -1r j...ff. I1''' :\F 1I1-5 05 10■0.5回EScopeZ<=>回旦?醫(yī)Hd因矗嗨日■嗥Timeoffset:11Timeoffeel:0.1圖5開土環(huán)系統(tǒng)matlab仿真結(jié)果圖由上圖可知，在Simulink中搭建的開環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的，與理論計(jì)算的結(jié)果吻合。5.3Simulink搭建極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)圖6極點(diǎn)配置優(yōu)化后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5.4.1第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果圖7極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖圖8小車位移曲線圖9—級倒立擺角度曲線QScoped :I=i回亙Zd日a嗥 $Timeoffset:0.1圖10二級倒立擺角度曲線從以上的圖片可以看出，系統(tǒng)在給定輸入的情況下，1秒左右恢復(fù)到平衡點(diǎn)的位置附近，系統(tǒng)較好的快速性、穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性都非常理想，且無超調(diào)量，符合要求。5.4.2第二組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果圖11極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖圖12小車位移曲線圖13—級倒立擺角度曲線圖14二級倒立擺角度曲線與第一組極點(diǎn)相比，超調(diào)量略有增加，但調(diào)整時(shí)間有所下降，且都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)符合要求。倒立擺系統(tǒng)就其本身而言，是一個(gè)多變量、快速、嚴(yán)重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，必需采用有效的控制法使之穩(wěn)定，對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均有著深遠(yuǎn)的意義。本文借助拉格朗日方程，建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并通過線性化，得到了二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，分析了倒立擺的穩(wěn)定性、能控性、能觀性。隨后采用二次型最優(yōu)控制理論研究了倒立擺控制問題，并且運(yùn)用狀態(tài)反應(yīng)極點(diǎn)配置的方法得到較好的控制效果。最后進(jìn)展了Matlab仿真，通過優(yōu)化前后優(yōu)化后的響應(yīng)曲線可以看出經(jīng)過極點(diǎn)配置算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)的速度加快，超調(diào)量明顯減少，穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間有所減少，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能要比沒有優(yōu)化的控制效果好了很多。X豹唐萬生現(xiàn)代控制理論〔第三版〕機(jī)械工業(yè)夏德鈐翁貽方自動(dòng)控制理論〔第4版〕機(jī)械工業(yè)李國勇程永強(qiáng)計(jì)算機(jī)仿真技