藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)56 離散型隨機(jī)變量的均值與方差（理）

考點(diǎn)五十六離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)知識梳理1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．二項(xiàng)分布的均值、方差若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．3．兩點(diǎn)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝p(p為成功概率)，DX＝p(1－p)．4．離散型隨機(jī)變量均值與方差的性質(zhì)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．典例剖析題型一離散型隨機(jī)變量的均值與方差例1已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．答案eq\f(3,2)解析E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(15,10)＝eq\f(3,2).變式訓(xùn)練隨機(jī)變量ξ的分布列如下，其中a、b、c為等差數(shù)列，若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ的值為________．ξ－101Pabc答案eq\f(5,9)解析由分布列得a＋b＋c＝1，①由期望E(ξ)＝eq\f(1,3)得－a＋c＝eq\f(1,3)，②由a、b、c為等差數(shù)列得2b＝a＋c，③由①②③得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴Dξ＝eq\f(1,6)×eq\f(16,9)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).解題要點(diǎn)如果已知兩邊一角或是兩角一邊解三角形時(shí)，通常用正弦定理．題型二二項(xiàng)分布的均值與方差例2(2015廣東理)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________.答案eq\f(1,3)解析依題意可得E(X)＝np＝30，且D(X)＝np(1－p)＝20，解得p＝eq\f(1,3).變式訓(xùn)練某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的均值為________．答案200解析記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000，0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.例3(2013·福建節(jié)選)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎(jiǎng)活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,3)，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,5)，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的均值較大？解析設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(3X2)．由已知可得，X1～B(2，eq\f(2,3))，X2～B(2，eq\f(2,5))，所以EX1＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，EX2＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，從而E(2X1)＝2EX1＝eq\f(8,3)，E3X2＝3EX2＝eq\f(12,5)，因?yàn)镋(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大．方法二設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(4,9)X2036Peq\f(9,25)eq\f(12,25)eq\f(4,25)所以EX1＝0×eq\f(1,9)＋2×eq\f(4,9)＋4×eq\f(4,9)＝eq\f(8,3)，EX2＝0×eq\f(9,25)＋3×eq\f(12,25)＋6×eq\f(4,25)＝eq\f(12,5).因?yàn)镋X1>EX2，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大．解題要點(diǎn)求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．題型三離散型隨機(jī)變量的均值與方差有關(guān)的應(yīng)用題例4(2015安徽理)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A．P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值為200，300，400.P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(6,10).故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(6,10)E(X)＝200×eq\f(1,10)＋300×eq\f(3,10)＋400×eq\f(6,10)＝350.變式訓(xùn)練(2015四川理)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人．女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率．(2)某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名，參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100)，因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，所以X的分布列為X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)因此,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.解題要點(diǎn)求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的方法：(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每個(gè)值的概率；(3)寫出ξ的分布列；(4)由均值的定義求E(ξ)；(5)由方差的定義求D(ξ)．當(dāng)堂練習(xí)1．(2015安徽理)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為________．答案16解析已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(22×64)＝2×8＝16．2．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值Eξ＝8.9，則y的值為________．答案0.4解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9))可得y＝0.4.3.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2，4，6，8，10)則Dξ等于________．答案8解析Eξ＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，Dξ＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的均值為________．答案2.376解析X的所有可能取值為3，2，1，0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064∴EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.5．(2014·高考浙江卷)隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________．答案eq\f(2,5)解析設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).課后作業(yè)填空題1．設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且概率都是0.4，一人的上班途中有3個(gè)交通崗，則此人遇紅燈的次數(shù)的期望為________．答案1.2解析∵途中遇紅燈的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(3，0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.2．若ξ是離散型隨機(jī)變量，η＝3ξ＋2，則________．①E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)②E(η)＝3E(ξ)，D(η)＝9D(ξ)③E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)＋2④E(η)＝3E(ξ)，D(η)＝9D(ξ)＋4答案①3．簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為________．答案5.25解析由題意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.4．若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為________．ξ012345P2x3x7x2x3xx答案eq\f(20,9)解析根據(jù)概率和為1求出x＝eq\f(1,18)，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝eq\f(20,9).5．由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩運(yùn)動員在比賽中得分情況為：ξ1(甲得分)012P(ξ1＝xi)0.20.50.3ξ2(乙得分)012P(ξ2＝xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽，派哪位運(yùn)動員參加較好？________．答案甲解析E(ξ1)＝E(ξ2)＝1.1，D(ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(ξ1)<D(ξ2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好．6．袋中裝有大小完全相同，標(biāo)號分別為1，2，3，…，9的九個(gè)球．現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球．設(shè)ξ為這3個(gè)球的標(biāo)號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標(biāo)號為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號3，4和4，5，此時(shí)ξ的值是2)，則隨機(jī)變量ξ的均值Eξ為________．答案eq\f(2,3)解析依題意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,7)·A\o\al(2,2),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，因此Eξ＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).7．袋中裝有大小完全相同，標(biāo)號分別為1，2，3，…，9的九個(gè)球．現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球．設(shè)ξ為這3個(gè)球的標(biāo)號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標(biāo)號為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號3，4和4，5，此時(shí)ξ的值是2)．則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為________．答案eq\f(2,3)解析依題意得，ξ的所有可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,7)·A\o\al(2,2),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，因此E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).8．一射擊測試每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分．沒有擊中記0分，某人每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，此人得分的數(shù)學(xué)期望與方差分別為________．答案20eq\f(200,3)解析記此人三次射擊擊中目標(biāo)η次得分為ξ分，則η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，ξ＝10η，∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×eq\f(2,3)＝20，D(ξ)＝100D(η)＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).9．籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________．答案0.7解析EX＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.10．一射擊測試每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分，沒有擊中記0分，某人每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，此人得分的數(shù)學(xué)期望與方差分別為________．答案20eq\f(200,3)解析記此人三次射擊擊中目標(biāo)η次得分為ξ分，則η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，ξ＝10η，∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×eq\f(2,3)＝20，D(ξ)＝100D(η)＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).11．已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則ξ的方差為________．ξ－202Peq\f(1,4)eq\f(1,2)m答案2解析根據(jù)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列知m＝eq\f(1,4).∴E(ξ)＝－2×eq\f(1,4)＋0×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＝0，D(ξ)＝(－2－0)2×eq\f(1,4)＋(0－0)2×eq\f(1,2)＋(2－0)2×eq\f(1,4)＝2.二、解答題12．(2015重慶理)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)．(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(C\