專題11.2 排列與組合（精講）-2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)與練（解析版）

第=page1111頁，總=sectionpages1212頁專題11.2排列與組合【考綱要求】1.理解排列、組合的概念，掌握排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題.【知識清單】知識點1.排列1.排列的相關(guān)概念及排列數(shù)公式(1)排列的定義：從個不同元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．(2)排列數(shù)的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用表示．(3)排列數(shù)公式：這里并且(4)全排列：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列，(叫做n的階乘).排列數(shù)公式寫成階乘的形式為，這里規(guī)定.知識點2.組合組合的相關(guān)概念及組合數(shù)公式(1)組合的定義：從個不同元素中取出()個元素合成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．(2)組合數(shù)的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用表示．[來源:學(xué).科.網(wǎng)](3)組合數(shù)的計算公式：，由于，所以.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①；②；③.【考點梳理】考點一：排列問題【典例1】（湖南省長沙市周南中學(xué)2018屆三模）元旦晚會期間，高三二班的學(xué)生準(zhǔn)備了6個參賽節(jié)目，其中有2個舞蹈節(jié)目，2個小品節(jié)目，2個歌曲節(jié)目，要求歌曲節(jié)目一定排在首尾，另外2個舞蹈節(jié)目一定要排在一起，則這6個節(jié)目的不同編排種數(shù)為()A．48B．36C．24D．12【答案】C【解析】分3步進行：①歌曲節(jié)目排在首尾，有A22②將2個小品節(jié)目安排在歌曲節(jié)目的中間，有A22③排好后，2個小品節(jié)目與2個歌曲節(jié)目之間有3個空位，將2個舞蹈節(jié)目全排列，安排在中間的3個空位，有A22則這2個節(jié)目出場的不同編排種數(shù)為2×2×6=24種，故選C.【典例2】（2020·江蘇高三期中）人排成一排照相，甲排在乙左邊(可以相鄰，也可以不相鄰)的排法總數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先5人全排列有種不同的排法，甲排在乙左邊的機會與排在右邊的機會相同，所以甲排在乙左邊(可以相鄰，也可以不相鄰)的排法總數(shù)為種.故選：B【典例3】（2020·武威第八中學(xué)高二期末（理））5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有種（用數(shù)字作答）．【答案】72【解析】可分兩個步驟完成，第一步驟先排除甲乙外的其他三人，有種，第二步將甲乙二人插入前人形成的四個空隙中，有種，則甲、乙兩不相鄰的排法有種．【規(guī)律方法】求解有限制條件排列問題的主要方法直接法分類法選定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中除法對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對于分類過多的問題，按正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法【變式探究】1．（2020·浙江高二期中）將編號為、、、、的個小球全部放入、、三個盒子內(nèi)，若每個盒子不空，且放在同一個盒子內(nèi)的小球編號不相連，則不同的方法總數(shù)有（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將編號為、、、、的個小球，根據(jù)小球的個數(shù)可分為、、或、、兩組.①當(dāng)三個盒子中的小球個數(shù)分別為、、時，由于放在同一個盒子里的小球編號互不相連，故個小球的編號只能是、、的在一個盒子里，故只有一種分組方法，再分配到三個盒子，此時共有種分配方法；②當(dāng)三個盒子中的小球個數(shù)分別為、、時，由于放在同一個盒子里的小球編號互不相連，此時放個小球的盒子中小球的編號分別為、或、或、或、或、或、，共種，再分配到三個盒子中，此時，共有種.綜上所述，不同的放法種數(shù)為種.故選：A.2.（2019·四川石室中學(xué)高三月考（理））現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.3.（2019·天津市新華中學(xué)高考模擬（理））由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且為偶數(shù)的四位數(shù)，有______________.個.【答案】156【解析】由題意知，數(shù)字0不能在首位，又在末位時構(gòu)成偶數(shù)，∴當(dāng)末位是零時,只要從其他5個數(shù)字中選3個排列,共有種結(jié)果，當(dāng)末位不是零時，需要從2，4兩個數(shù)字中選一個放在末位，從除0外的4個中放在首位,其他的四個數(shù)字在兩個位置排列,共有，根據(jù)分類加法得到共有.故答案為：156【總結(jié)提升】1.區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)．若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題．也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)．2.解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”．3.要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果．考點二：組合問題【典例4】（2020·海南省高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【解析】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【典例5】（2018·全國高考真題（理））從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【典例6】（2017浙江卷16）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有______中不同的選法．（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】由題意可得：總的選擇方法為種方法，其中不滿足題意的選法有種方法，則滿足題意的選法有：種．【總結(jié)提升】組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．【變式探究】1.（2019·河南高考模擬（理））安排，，，，，，共6名義工照顧甲，乙，丙三位老人，每兩位義工照顧一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工不安排照顧老人甲，義工不安排照顧老人乙，則安排方法共有（）A.30種 B.40種 C.42種 D.48種【答案】C【解析】名義工照顧三位老人，每兩位義工照顧一位老人共有：種安排方法其中照顧老人甲的情況有：種照顧老人乙的情況有：種照顧老人甲，同時照顧老人乙的情況有：種符合題意的安排方法有：種本題正確選項：2.（湖南高考真題）在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A.10 B.11 C.12 D.15【答案】B【解析】由題意知與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C42=6個；第二類：與信息0110有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C41=4個；第三類：與信息0110有沒有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有3．（2020·浙江溫州·高三月考）一個盒子里裝有7個大小?形狀完成相同的小球，其中紅球4個，編號分別為1，2，3，4，黃球3個，編號分別為1，2，3，從盒子中任取4個小球，其中含有編號為3的不同取法有________種.【答案】30【解析】從反面考慮，總數(shù)為,不含有編號為3的總數(shù)為,即得解.【詳解】從反面考慮，總數(shù)為,不含有編號為3的總數(shù)為,所以含有編號為3的總數(shù)為.故答案為：30.【總結(jié)提升】對于有條件的組合問題，可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產(chǎn)生順序造成計算錯誤．考點三：排列與組合的綜合問題【典例7】（多選題）2020年3月，為促進疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，濱州市某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）A．若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．所有不同分派方案共種【答案】ABC【解析】對于選項A：若企業(yè)沒有派醫(yī)生去，每名醫(yī)生有種選擇，則共用種，若企業(yè)派1名醫(yī)生則有種，所以共有種.對于選項B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有種，對于選項C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，若甲企業(yè)分人，則有種；若甲企業(yè)分人，則有種，所以共有種.對于選項D：所有不同分派方案共有種.故選：【典例8】（2020·全國高考真題（理））4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.【答案】【解析】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【典例9】15．（2020·安徽高三月考（理））經(jīng)過班級同學(xué)初選后，將從5名男生和3名女生中選出4人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、勞動委員，文藝委員.其中男生甲不適合擔(dān)任學(xué)習(xí)委員，女生乙不適合擔(dān)任勞動委員現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選.則安排方法種數(shù)為________.【答案】930【解析】若甲乙都入選，則從其余6人中選出2人，有種，男生甲不適合擔(dān)任學(xué)習(xí)委員，女生乙不適合擔(dān)任勞動委員，則有種，故共有種；若甲不入選，乙入選，則從其余6人中選出3人，有種，女生乙不適合擔(dān)任勞動委員，則有種，故共有種；若甲乙都不入選，則從其余6人中選出4人，有種，再全排，有種，故共有種；綜上所述，共有.故答案為：930.【典例10】（2020·浙江嘉興?高二期末）從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取4個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)共有______個；其中奇數(shù)有______個.【答案】12072【解析】(1)從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取4個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共有種；(2)第一步，先從1，3，5三個數(shù)中選一個放在個位有種方法；第二步，再從剩余的4個數(shù)中選3個放在千位、百位、十位有種方法；根據(jù)分步計數(shù)原理，可得個.故答案為:120；72【總結(jié)提升】1.求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．具體地說，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2.解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．3.有條件的排列問題大致分四種類型．(1)某元素不在某個位置上問題，①可從位置考慮用其它元素占上該位置，②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題)；③可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù)．(2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列．(3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空(即插空法)．(4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法．4．分組、分配問題的求解策略(1)對不同元素的分配問題①對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．②對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．(2)對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”．5.分組、分配問題的常見類型(1)類型一：整體均勻分組在解決整體均分型題目時，要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．(2)類型二：部分均勻分組解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組中有幾個這樣的均勻分組就要除以這樣的全排列數(shù)．(3)類型三：不均勻分組解答本類題，只需先分組，后排列，注意分組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．【變式探究】1.（2019·全國高三月考）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)的個數(shù)是（）A.72 B.144 C.150 D.180【答案】B【解析】根據(jù)題意，符合奇數(shù)的個位數(shù)字只能從1，3，5中選取，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)分三步；第一