專(zhuān)題04 圓錐曲線與外心問(wèn)題（解析版）

PAGE1專(zhuān)題4、圓錐曲線與外心問(wèn)題：從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征。而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長(zhǎng)、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問(wèn)題。“四心”問(wèn)題進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過(guò)讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問(wèn)題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．三角形的外心：三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)知識(shí)儲(chǔ)備：(1)、O是的外心(或)；(2)、若點(diǎn)O是的外心，則=0.(3)、若O是的外心，則;(4)、多心組合：的外心、重心、垂心共線，即∥經(jīng)典例題例1．已知坐標(biāo)平面中，點(diǎn)，分別為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，若、、三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．5【答案】C【分析】由題意得：直線垂直平分，設(shè)點(diǎn)，，則，可得方程組：，求得，將代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)可得：.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，設(shè)，，由為的中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線知直線垂直平分，則，故有，且，解得，，將，即，代入雙曲線的方程可得，化簡(jiǎn)可得，即，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，同理可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)分析出直線垂直平分，并用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的難點(diǎn)，屬于中檔題.例2．設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先由可確定、、三點(diǎn)共線,則根據(jù)外心的性質(zhì)可得,再由點(diǎn)為焦點(diǎn)的中點(diǎn),根據(jù)中位線性質(zhì)可得,則,進(jìn)而在中利用勾股定理求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以、、三點(diǎn)共線,因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),的外心為,所以,即,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,則點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則在中,,即,所以是直角三角形,所以,因?yàn)?由雙曲線定義可得,所以,則,因?yàn)?整理可得,所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的定義的應(yīng)用.例3．（2020·四川高三月考）已知點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是這個(gè)橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)是的外心，若存在實(shí)數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時(shí)，的最小值為（）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】由于外心在的垂直平分線上,故外心在軸上,而方向朝著軸的負(fù)半軸,故點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn),此時(shí)三角形面積為.所以,故選.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的基本性質(zhì),考查與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的概念,考查三角形外心的幾何性質(zhì),考查向量運(yùn)算的幾何意義.本題的突破口在如何確定點(diǎn)的位置.首先根據(jù)點(diǎn)是的外心,外心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn),再結(jié)合向量運(yùn)算的幾何意義可以判斷出點(diǎn)恰好就是橢圓上頂點(diǎn).例4．已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點(diǎn)為A，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為_(kāi)____.【答案】16.【分析】由已知可得兩曲線焦點(diǎn)相同，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義求出，用利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，△ABC的外心在軸上，將，代入所求式，即可求解.【詳解】已知橢圓和雙曲線焦距相等所以焦點(diǎn)相同，設(shè)，為兩曲線在第二象限的交點(diǎn)，，，，設(shè)，，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，△ABC的外心在軸上，，【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓與雙曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.例5．已知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C的右支上，且點(diǎn)恰好為的外心，若，則C的離心率為_(kāi)_________.【答案】【分析】取的中點(diǎn)為C，連接BC、、，由垂直向量的數(shù)量積關(guān)系推出，再利用雙曲線的定義求出即可推出為等邊三角形，求出BC，在中利用勾股定理列出關(guān)于a、c的齊次式即可求解離心率.【詳解】取的中點(diǎn)為C，連接BC、、，如圖所示：因?yàn)?，所以，又C為的中點(diǎn)，所以為等腰三角形且，因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的外心，所以點(diǎn)在直線BC上，且，由雙曲線的定義知，則，所以為等邊三角形，則，在中，即，化簡(jiǎn)得，同時(shí)除以可得，解得或(舍去).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、雙曲線離心率的求法，涉及垂直向量的數(shù)量積關(guān)系、平行四邊形法則，屬于中檔題例6．（2020.廣東省高三期末）已知橢圓的下頂點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)_____時(shí)，外心的橫坐標(biāo)最大．【答案】【分析】由已知可得、的坐標(biāo)，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設(shè)，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中等題．例7．（2019年成都七中半期16題）,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，滿足，若的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)______.【答案】【解析】∵，∴，即為直角三角形，∴，，則，.所以內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，由題意，得，整理得，∴雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積為零的意義，考查雙曲線離心率的求法，考查方程的思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.例8．（2018全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（湖北預(yù)賽））已知點(diǎn)在離心率為的雙曲線上，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為_(kāi)___.【答案】【解析】由，知.設(shè)，又，則可得，，①.②設(shè)，則，即有.③由①②③可得，所以，解得.故的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為例9.（2020年河南省質(zhì)量檢測(cè)（二）改編）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（Q不與重合）.設(shè)的外心為G，則的值為.【答案】4【解析】由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，代入橢圓方程得.設(shè)，則，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.因?yàn)镚是的外心，所以G是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線方程為，令，得，即，所以，所以，所以值為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.例10（2020年湖北省宜昌市高三調(diào)研12題）設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由題,因?yàn)?所以、、三點(diǎn)共線,因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),的外心為,所以,即,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,則點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則在中,,即,所以是直角三角形,所以,因?yàn)?由雙曲線定義可得,所以,則,因?yàn)?整理可得,所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的定義的應(yīng)用.例11.（2019年衡水中學(xué)聯(lián)考12題）已知坐標(biāo)平面中，點(diǎn)，分別為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，若、、三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．5【答案】C【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，設(shè)，，由為的中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線知直線垂直平分，則，故有，且，解得，，將，即，代入雙曲線的方程可得，化簡(jiǎn)可得，即，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，同理可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)分析出直線垂直平分，并用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的難點(diǎn)，屬于中檔題.例12.（2019云南省曲靖市二模16題）已知斜率為1的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若的外心為為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則當(dāng)最大時(shí)，=____.【答案】.【解析】由題意知,為外接圓的半徑，在中,由正弦定理可知,(R為外接圓的半徑),當(dāng),即時(shí),取得最大值2.設(shè),,易知,,則,得,即.設(shè)直線的方程為,即,代入得,,則,,所以,解得.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，直線與拋物線的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．（2020·四川棠湖中學(xué)高三（理））已知點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是這個(gè)橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)是的外心，若存在實(shí)數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時(shí)，的最小值為_(kāi)_________．【答案】4【分析】根據(jù)向量的共線定理，即可求得則P，G，O三點(diǎn)共線，則P位于上頂點(diǎn)，則bc=8，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得a的最小值．【詳解】由G是△PF1F2的外心，則G在y軸的正半軸上，，則，則P，G，O三點(diǎn)共線，即P位于上頂點(diǎn)，則△PF1F2的面積S=×b×2c=bc=8，由a2=b2+c2≥2bc=16，則a≥4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，∴a的最小值為4，故答案為4．【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查平面向量的共線定理和基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出，得到P，G，O三點(diǎn)共線，即P位于上頂點(diǎn).2．已知點(diǎn)，B、C在軸上，且，則外心的軌跡的方程；【答案】【解析】設(shè)外心為,且，B，C由G點(diǎn)在BC的垂直平分線上知由|GA|2=|GB|2，得故即點(diǎn)G的軌跡S為：3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的方程為，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)為的外心，則實(shí)數(shù)的值.【答案】.【分析】由，.所以，解得,即可求出m值.【詳解】設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，消去，得.因?yàn)橹本€交橢圓于兩點(diǎn)，所以，解得.設(shè)，，則有，.設(shè)中點(diǎn)為，則有，.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，?解得.當(dāng)時(shí)，可得，符合.因此.由，解得.②因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的兩個(gè)根.所以，.又因?yàn)?，，所以，解?所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.4．設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知、，且.則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E；【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，由重心坐標(biāo)和外心坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)以及列方程，化簡(jiǎn)后求得軌跡的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則△ABC的重心，∵△ABC是不等邊三角形，∴再設(shè)△ABC的外心.∵已知，∴MN∥AB，∴.∵點(diǎn)N是△ABC的外心，∴，即化簡(jiǎn)整理得軌跡的方程是∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是指焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個(gè)橢圓（去掉其頂點(diǎn)）.【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和曲線的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.5．（2019·廣西高三期末（理））在直角坐標(biāo)系xOy中直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)．若D為直線外一點(diǎn)，且的外心M在C上，則M的坐標(biāo)為．【答案】或.【分析】三角形的外心為中垂線的交點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，得到線段的中垂線方程，將中垂線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得到外心M.【詳解】（1）聯(lián)立得，設(shè)A(則，.設(shè)線段的中點(diǎn)為，，.則線段的中垂線方程為，即.聯(lián)立得，解得或4.從而的外心的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，其中韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查向量知識(shí)和三角形外心的應(yīng)用.6．如圖，橢圓，拋物線，設(shè)相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△ABO的外心在橢圓上，則實(shí)數(shù)p的值；【答案】；【詳解】由拋物線、橢圓和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，△AB的外心為橢圓的上頂點(diǎn)M(0，1).則有MA=MB=MO=1.設(shè)，則有，解得.7．（2020·福建高三月考（理））設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，若是的外心，則的值為.【答案】4【分析】求得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用弦長(zhǎng)公式求出，根據(jù)題意可得的垂直平分線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，進(jìn)而可求解.【詳解】由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)，則，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以因?yàn)槭堑耐庑模允蔷€段的垂直平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線為；令，得，即，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓中的定值問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，，點(diǎn)在圓：上，直線與圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，則線段長(zhǎng)度的最大值為，當(dāng)線段長(zhǎng)度最大時(shí)，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】的最大值為；【分析】由得到、的坐標(biāo)，表示出線段的中垂線，令，得到的外心的坐標(biāo)，由在拋物線上得，從而得到，再由基本不等式，得到其最大值，確定出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出外接圓的半徑，得到所求圓的方程.【詳解】把代入圓的方程得，所以，，作出線段的中垂線，則的外心為直線與軸的交點(diǎn).直線的方程為：.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以所以.由得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到最大值.此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以外接圓的半徑，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求三角形外接圓的方程，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.9．為雙曲線上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，，若外接圓半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為，則的離心率為（）A． B．2 C．或 D．2或3【答案】D【解析】不妨設(shè)為右支上的點(diǎn)，則，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，，又外接圓半徑為.內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)橥饨訄A半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為，故，故，所以或，即或.故選：D.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．10．（2018上海市高三模擬）已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點(diǎn)為A，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為_(kāi)____.【答案】16.【解析】已知橢圓和雙曲線焦距相等所以焦點(diǎn)相同，設(shè)，為兩曲線在第二象限的交點(diǎn)，，，，設(shè)，，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，△ABC的外心在軸上，，【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓與雙曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.11.為雙曲線右支上的一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，，若的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的3倍，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】，點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的外接圓半徑其內(nèi)切圓半徑的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的3倍，,即化簡(jiǎn)可得即解得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算雙曲線的離心率，結(jié)合題意先計(jì)算出外接圓和內(nèi)切圓的半徑，然后結(jié)合數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果，屬于中檔題.12．（2018年四川省棠湖中學(xué)三診16題）已知點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是這個(gè)橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)是的外心，若存在實(shí)數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時(shí)，的最小值為_(kāi)_________．【答案】4【解析】由G是△PF1F2的外心，則G在y軸的正半軸上，，則，則P，G，O三點(diǎn)共線，即P位于上頂點(diǎn)，則△PF1F2的面積S=×b×2c=bc=8，由a2=b2+c2≥2bc=16，則a≥4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，∴a的最小值為4，故答案為4．【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查平面向量的共線定理和基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出，得到P，G，O三點(diǎn)共線，即P位于上頂點(diǎn).13．F1，F(xiàn)2分別為雙曲線（a，b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，滿足0，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)____.【答案】【解析】，．的外接圓半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為．設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，過(guò)作軸的垂線，連接，，則，設(shè)，，則，①不妨設(shè)在第一象限，由雙曲線的定義可知，②由①②可得，，，且，分別是，的角平分線，，又，，，化簡(jiǎn)可得，故，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題14.數(shù)學(xué)家歐拉