高中數(shù)學填空題的解題方法

填空題的解題方法題型地位數(shù)學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結論開放的填空題，這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田，創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn)．填空題的分值一般占全卷的13%左右．題型特點根據填空時所填寫的內容形式，可以將填空題分成兩種類型：(1)定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關系，如方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等．由于填空題和選擇題相比，缺少選項的信息，所以高考題多以定量型問題出現(xiàn)．(2)定性型，要求填寫的是具有某種性質的對象或者填寫給定數(shù)學對象的某種性質，如填寫給定二次曲線的焦點坐標、離心率等，近幾年又出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題．解題策略數(shù)學填空題絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，解答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷，幾乎沒有間接方法可言，更是無從猜答，所以在解填空題時，一般要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步都正確無誤，并且還要將答案表達準確、完整．合情推理、優(yōu)化思路、少算多思是快速、準確解答填空題的基本要求，簡言之，解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略就是“準”“巧”“快”．其基本方法一般有直接求解法、圖象法和特殊法以及等價轉化法等．另外，在解答填空題時還應注意以下幾點：(1)結果要書寫規(guī)范，如分式的分母不含根式，特殊角的函數(shù)要寫出函數(shù)值，近似計算要達到精確度要求等．(2)結果要完整，如函數(shù)的解析式要寫出定義域，應用題不要忘記寫單位，求軌跡要排除不滿足條件的點等．(3)結果要符合教材要求，如求不等式的解集要寫成集合或區(qū)間的形式，不能只用一個不等式表示．總之，解填空題的基本原則是“直撲結果”．eq\x(命題方向1直接法)對于計算型的試題，多通過直接計算求得結果，這是解決填空題的基本方法．它是直接從題設出發(fā)，利用有關性質或結論，通過巧妙地變形，直接得到結果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質，有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題．例1(1)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，則c＝4.[解析]在△ABC中，因為3sinA＝2sinB．由正弦定理可知3a＝2b，因為a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝16，所以c＝4.(2)(2017·江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數(shù)a的取值范圍是[－1，eq\f(1,2)].[解析]因為f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－eq\f(1,e－x)＝－x3＋2x－ex＋eq\f(1,ex)＝－f(x)．所以f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)是奇函數(shù)，因為f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．因為f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2eq\r(ex·e－x)＝3x2≥0，所以f(x)在R上單調遞增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤eq\f(1,2).『規(guī)律總結』直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解填空題關鍵．【跟蹤訓練】1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝－2.[解析]因為函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，所以－f(1)＝f(1)，即f(1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－4eq\f(1,2)＝－2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.2．(2017·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.[解析]設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py，))得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2).又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝4×eq\f(p,2)，即y1＋y2＝p，∴eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.eq\x(命題方向2特例法)當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結論．為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應多取幾個特例．例2拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準線經過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點，點M是這兩條曲線的一個交點，且|MF|＝2p，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(6),2)x.[解析]由拋物線的定義可知，點M到準線x＝－eq\f(p,2)＝－a的距離就是|MF|＝2p，不妨設點M在第一象限，則點M的橫坐標為eq\f(3p,2)，代入y2＝2px，得點M(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，即M(3a,2eq\r(3)a)，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(6),2)x.『規(guī)律總結』特例法的理論依據：若對所有值都成立，那么特殊值也成立．我們可以利用填空題不需要過程、只需要結果這一“弱點”，“以偏概全”來求解．如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.[解析]由題意可知，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的值與點P、Q的位置無關，而當直線PQ與直線BC重合時，則有λ＝μ＝1，所以eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.eq\x(命題方向3圖象分析法)對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形．例3若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝f(x－1)且x∈[1,3]時，f(x)＝－x2＋4x－3，函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log8xx>0，,－\f(1,x)x<0，))則方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－3,3]上根的個數(shù)為4.[解析]由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f(x)，可知此函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，因為方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－3,3]內根的個數(shù)，即函數(shù)f(x)和g(x)圖象交點的個數(shù)．畫出f(x)和g(x)的圖象(如圖所示)，得兩圖象有4個交點，即方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－3,3]上根的個數(shù)為4.『規(guī)律總結』數(shù)形結合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．【跟蹤訓練】函數(shù)f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)為2.[解析]函數(shù)f(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)等價于方程4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx－|ln(x＋1)|＝0的根的個數(shù)，即函數(shù)g(x)＝4cos2eq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))－2sinx＝sin2x與h(x)＝|ln(x＋1)|的圖象交點個數(shù)．分別畫出其函數(shù)圖象的草圖如圖所示，由圖可知，函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個交點．eq\x(命題方向4構造法)用構造法解填空題的關鍵是由條件和結論的特殊性構造出數(shù)學模型，從而簡化推導與運算過程．構造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎之上的，首先應觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點，然后積極調動思維，聯(lián)想、類比已學過的知識及各種數(shù)學結構、數(shù)學模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學模型，達到快速解題的目的．例4(1)如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于eq\r(6)π.[解析]如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.(2)已知f(x)為定義在(0，＋∞)上的可導函數(shù)，且f(x)>xf′(x)恒成立，則不等式x2f(eq\f(1,x))－f(x)>0的解集為(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)[解析]設g(x)＝eq\f(fx,x)，則g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，又因為f(x)>xf′(x)，所以g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)為(0，＋∞)上的減函數(shù)，又因為x2f(eq\f(1,x))－f(x)>0?eq\f(f\f(1,x),\f(1,x))>eq\f(fx,x)?g(eq\f(1,x))>g(x)，則有eq\f(1,x)<x，解得x>1.故選C．『規(guī)律總結』構造法實質上是化歸與轉化思想在解題中的應用，需要根據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．【跟蹤訓練】設f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，其導函數(shù)為f′(x)，且f′(x)<f(x)，則關于x的不等式xf(1)<ef(lnx)的解集為(1，e).[解析]設函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,ex)，則g′(x)＝eq\f(exf′x－exfx,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，所以g(x)＝eq\f(fx,ex)為(0，＋∞)上的單調遞減函數(shù)．當x>0時，不等式xf(1)<ef(lnx)等價于eq\f(flnx,x)>eq\f(f1,e)，即eq\f(flnx,x)>eq\f(f1,e)，所以0<lnx<1，即1<x<e.eq\x(命題方向5正反互推法)多選型問題給出多個命題或結論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結論，這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結論之間正反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結論．例5對于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≤cosx，,cosx，sinx>cosx，))給出下列四個結論：①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②當且僅當x＝π＋kπ(k∈Z)時，該函數(shù)取得最小值－1；③該函數(shù)的圖象關于x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)對稱；④當且僅當2kπ<x<eq\f(π,2)＋2π(k∈Z)時，0<f(x)≤eq\f(\r(2),2).其中正確結論的序號是③④.(請將所有正確結論的序號都填上)[解析]如圖所示，作出f(x)在區(qū)間[0,2π]上的圖象．由圖象易知，函數(shù)f(x)的最小正周期為2π；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時，該函數(shù)都取得最小值－1，故①②錯誤．由圖象知，函數(shù)圖象關于直線x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)對稱；當且僅當2kπ<x<eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，0<f(x)≤eq\f(\r(2),2)，故③④正確．『規(guī)律總結』正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結論的真假；二是多種知識點的匯總考查，主要覆蓋考點功能．兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進行分析，后者需要獨立利用知識逐項進行判斷，利用正反互推結合可以快速解決這類問題．【跟蹤訓練】已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0,1)時，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題：①f(2017)＋f(－2018)的值為0；②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點；④函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．其中正確的命題序號有①③④.[解析]根據題意，可在同一坐標系中畫出直線y＝x和函數(shù)f(x)的圖象如下：根據圖象可知①f(2017)＋f(－2018)＝0正確，②函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù)，所以②不正確，③根據圖象確實只有一個交點，所以正確，④根據圖象，函數(shù)f(x)的值域是(－1,1)，正確．eq\x(命題方向6歸納推理法)對于概念與性質的判斷等類型的填空題，應按照相關的定義、性質、定理等進行合乎邏輯的推理和判斷，尤其是新定義型問題．必須進行嚴密的邏輯推理，才能得到正確的結果．例6(2017·貴陽監(jiān)測)已知不等式1＋eq\f(1,4)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)<eq\f(7,4)，照此規(guī)律總結出第n個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…