2向量（定稿）-高中數(shù)學(xué)資料

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù)學(xué)。第二章向量②根據(jù)極化恒等式，可得推廣到空間，得到的結(jié)論就是：底面是矩形的四棱錐相對側(cè)棱長的平方和以及向量乘積均相等．【例1】（2015?四川預(yù)賽）在矩形中，，，為矩形所在平面上一點，滿足，，則.【解析】此題由于，.【例2】（2013?重慶卷）在平面內(nèi)，，，若，則的取值范圍是（）A． B. C. D.【解析】如圖在三角形OPA中M為AP中點，，又因為，，即，即，即，選D.例2圖例3圖【例3】（2008?浙江卷）已知、是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（）A．1 B．2 C． D．【解析】，由于，而與反向時，取得最大值，此時.法二：輔助圓法，如圖，構(gòu)造，，，取中點，根據(jù)題意可知，，顯然在以為斜邊的圓上，故，根據(jù)幾何意義可知，四點共圓，故當(dāng)位于圖中時，.【例4】（2012?江西卷）在中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則等于（）A．2 B．4 C．5 D．10【解析】如圖，將補(bǔ)全成矩形，，故，選D.例4圖例5圖例6圖【例5】已知向量、、滿足，，，且，則的取值范圍是_.【解析】如圖所示，令，，，易知,則作矩形，根據(jù)矩形大法可知，即，根據(jù)，，即，.【例6】（2014?廣東卷）已知橢圓的右焦點為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點，為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．【解析】（1）依題意知，求得，，橢圓的方程為．（2）（常規(guī)解法）①當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時，即、兩點分別位于橢圓長軸與短軸的端點，的坐標(biāo)為，符合題意，②當(dāng)兩條切線斜率均存在時，設(shè)過點，的切線為，，，，整理得，，整理得，，．把點代入亦成立，點的軌跡方程為：．【秒殺解法】如圖，作關(guān)于的對稱點，分別交于，連接，，，根據(jù)中位線原理，，，四邊形為矩形，故點的軌跡方程為：．這道高考題的背景就是蒙日圓.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22頁對畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日(G.Monge，1745-1818)作了介紹.以上高考題第(2)問的一般情形是：曲線的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓.此結(jié)論中的圓就是蒙日圓.同步達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.（2018?漳州模擬）已知，，，則的取值范圍是（）A．， B． C． D．2.（2018?龍巖期中）已知向量滿足：，若，的最大值和最小值分別為，，則等于（）A． B． C． D．3.（2018?唐山二模）在中，，，點滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．4.（2018?運城市四模）已知，為單位向量，且，向量滿足，則的范圍為（）A．， B．， C． D．，5.（2018?三門峽期末）已知向量，滿足，，若，則的最小值是（）A． B． C． D．6.（2018?浙江三模）已知，向量滿足，則的最大值為．7.（2018?贛州期中）已知，且，若成立，則的取值范圍是．8.（2018?黔東南州二模）在平面上，，，．若，則的取值范圍是．9.（2018?寶山區(qū)二模）如圖，已知為矩形內(nèi)的一點，滿足，，，則的值為．10.（2018?黔東南州二模）在平面上，，且，，．若，則的取值范圍是．11.（2018?天津南開區(qū)一模）在四邊形中，，，則的最小值為．12.（2016?重慶月考）已知向量，滿足，，．（1）求的值；（2）求的最大值．13.（2016?武漢模擬）已知橢圓的短軸長為2，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），為橢圓上不同兩點，過，作橢圓切線交于點，若，求點的軌跡的方程；（3）若交于，交與，求△面積的最大值．14.（2017?濟(jì)南一模）設(shè)橢圓，定義橢圓的“伴隨圓”方程為；若拋物線的焦點與橢圓的一個短軸重合，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程和“伴隨圓”的方程；（2）過“伴隨圓”上任意一點作橢圓的兩條切線，，，為切點，延長與“伴隨圓”交于點，為坐標(biāo)原點．①證明：；②若直線，的斜率存在，設(shè)其分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．專題8對角線向量定理秒殺秘籍：對角線向量定理：在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有.所以在四邊形ABCD中，,即這就是對角線向量定理（斯坦納定理），它表明四邊形的兩條對角線對應(yīng)向量的數(shù)量積可用四條邊的長度表示。推論1：當(dāng)時，有.式子②表明，當(dāng)對角線相互垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等。推論2：cos需要說明的是，式子①②③既適用于平面向量也適用于空間向量一用對角線向量定理秒解平面向量題【例1】如圖，已知平面四邊形，，，CD=3，AC與BD交于點O，若記，，，則（）A． B． C． D．【解析】由對角線向量定理得，所以，而，所以選擇C.【例2】如圖，在圓O中，若弦，弦，則的值是（）－8 B．－1 C．1 D．8【解析】如圖所示，由對角向量定理得，，所以答案選D.【例3】如圖，在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，由對角線向量定理得=所以答案選A.二用對角線向量定理秒解線線角【例4】如圖所示，，是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于E，現(xiàn)將沿DE折起，使二面角為45°，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，則，的連線與AE所成的角的大小為（）例4圖例5圖例6圖【解析】連接EM、EN、AN，由題意有AM=EM，AN=EN，由對角線向量定理得，即，所以答案是90°.【例5】如圖，三棱錐A?BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是．【解析】容易求得AN=CM=，MN=，由推論2有.三用對角線向量定理妙解立幾翻折問題【例6】如圖在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上的動點，現(xiàn)將沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF，在平面ABD內(nèi)過點D做DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是．【解析】根據(jù)推論1有：當(dāng)DK⊥AF時，，設(shè)，則，所以.【例7】已知矩形ABCD，AB=1，BC=，將沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（）A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對任意位置，三對直線AC與BD，AB與CD，AD與BC均不垂直【解析】在翻折過程中，只有的長度是變化的，且，由對角線向量定理有：，顯然與直線不垂直，而.當(dāng)AC=1時，直線AB與直線CD垂直，所以選擇B.【例8】如圖已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=,，沿直線AC將翻折成，直線AC與所成角的余弦值的最大值是．【解析】翻折后仍有.設(shè)直線AC與所成角為，由對角線向量定理的，當(dāng)且僅當(dāng)最小時，AC與所成角的余弦值最大.有,所以，在翻折過程中，的最小值為=2，即的最大值為.秒殺數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)交流群（758352643）王亮老師和老唐的爭論題【題目】已知AB為半圓的直徑，且，C、D在半圓上，則的最大值是（）A． B． C． D．【解析】,當(dāng)僅當(dāng)時等號成立；關(guān)于此題的爭論，王亮老師認(rèn)為取等條件過去牽強(qiáng)，并且三個數(shù)乘積并非定值，所以此解答方法不嚴(yán)謹(jǐn).老唐給到的回復(fù)是：此題只有一個等式，就是,令三段弧分別對的圓心角為、、，當(dāng)圓心角相等，則弦相等，根據(jù)柯西不等式，此時取等條件是三段弧長相等，則對應(yīng)的弦長相等。或者利用琴生不等式，由于在區(qū)間上是凸函數(shù)，故有，故，再利用柯西不等式求出最小值，兩次的取等條件一致，故得出答案；老唐自認(rèn)為解釋也不是很嚴(yán)謹(jǐn)，但對于此選擇題，這樣也就可以了，能和王亮這樣大神級別的老師切磋是人生一大幸事！同步達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．在中，AB=2，AC=3.若點P滿足，則．2．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則．3．如圖P為所在平面內(nèi)一點，向量，且點P在線段AB的垂直平分線上，向量，若，，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖平面角為60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，求的長．5．如圖，在菱形中，線段，的中點分別為E，F(xiàn)．現(xiàn)將沿對角線翻折，則異面直線與所成角的取值范圍是（）A． B．C． D．6．如圖，在正四棱臺中，，，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．第6題第9題第10題第14題8．已知與均為正三角形，且．若平面ABC與平面垂直，且異面直線和所成角為，則（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，若，則的值是（）A． B．1 C． D．210．如圖，已知在梯形中，，，，且梯形的面積等于8，則可取得的最大值為（）A．10 B．11 C．12 D．1511．在梯形中，，，，，則=（）A． B． C．2 D．512．已知正方體的棱長為1，點是底面上的動點，則的最大值為（）A． B．1 C． D．13．在棱長為2的正四面體中，，分別是，的中點，則=（）A．0 B． C．2 D．14．如圖，在長方體中，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．15．如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，，則的長為（）A． B．7 C． D．916．若等腰梯形中，，，，，則的值為．17．如圖，在平面四邊形中，，是等邊三角形，若=1，則的長為．18．如圖，在四邊形中，，，，是等邊三角形，則的值為．19．將邊長為1的正方形及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，，，其中與在平面的同側(cè)，則異面直線與所成角的大小是．第15題第17題第18題