2020年山東省德州市高考數(shù)學第一次模擬試卷(含答案)

第第頁2020年高考數(shù)學一模試卷一、解答題（共8小題）1．設集合A={x|1≤2x＜2}，B={x|lnxA．(0，12) B．[0，12)2．已知復數(shù)z滿足：z（1+2i）＝4+3i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內對應的點在第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四3．設命題p：任意常數(shù)數(shù)列都是等比數(shù)列．則￢p是（）A．所有常數(shù)數(shù)列都不是等比數(shù)列 B．有的常數(shù)數(shù)列不是等比數(shù)列 C．有的等比數(shù)列不是常數(shù)數(shù)列 D．不是常數(shù)數(shù)列的數(shù)列不是等比數(shù)列4．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是C1D1的中點，且AP→=AD→+xA．?32 B．?12 C．5．函數(shù)f(x)=sinxA． B． C． D．6．某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分用莖葉圖表示，莖葉圖中甲得分的部分數(shù)據丟失（如圖），但甲得分的折線圖完好，則下列結論正確的是（）A．甲得分的極差是11 B．乙得分的中位數(shù)是18.5 C．甲運動員得分有一半在區(qū)間[20，30]上 D．甲運動員得分的平均值比乙運動員得分的平均值高7．已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC=π3，則球A．162π3 B．82π38．已知函數(shù)f(x)=2xx?1(x≤0)lnxx(x＞0)，若關于x的方程f2（x）+（1﹣m）f（A．(1B．（﹣∞，0）∪（1e，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪(1D．（﹣∞，0）∪（1e二、多選題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合要求，全部選對得滿分，部分選對得3分，錯選得0分）9．某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個層次內，根據抽樣結果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（）A．樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù) B．樣本中B層人數(shù)最多 C．樣本中E層次男生人數(shù)為6人 D．樣本中D層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)10．1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論正確的是（）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a﹣c，a+c] B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間 C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁 D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小11．已知函數(shù)f（x）＝sinx+|cosx|，下列命題正確的為（）A．該函數(shù)為偶函數(shù) B．該函數(shù)最小正周期為2π C．該函數(shù)圖象關于x=π2D．該函數(shù)值域為[﹣1，2]12．如圖，已知點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F(xiàn)n（n∈N*）為邊BC上的一列點，連接AFn交BD于Gn，點Gn（n∈N*）滿足GnD→=an+1?GnA→?2(2A．a3＝13 B．數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列 C．an＝4n﹣3 D．S三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．某校3個興趣小組的學生人數(shù)分布如表（每名學生只參加一個小組）（單位：人）．籃球組書畫組樂器組高一4530★高二152010已知用分層抽樣的方法從參加這三個興趣小組的學生中共抽取30人，其中籃球組被抽出12人，則★處的值為．14．如圖，在棱長為1的正方體AC1中，點E、F是棱BC、CC1的中點，P是底面ABCD上（含邊界）一動點，滿足A1P⊥EF，則線段A1P長度的最小值為15．已知雙曲線C：x2a2?y2b（1）若F2到漸近線的距離是3，則b為（2）若P為雙曲線C右支上一點，∠F1PF2＝60°且∠F1PF2的角平分線與x軸的交點為Q，滿足F1Q→=2Q16．若函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π6）（ω＞0）在（0，5π18）存在唯一極值點，且在（π2，π）上單調，則四、解答題（共6小題，滿分70分）17．在條件①2cosA（bcosC+ccosB）＝a，②csinB+C2=asinC，③（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a=7，b﹣c＝2，______．求BC18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=Cn0+Cn1+C（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）求Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD=12AD．E、M分別為棱AD、PD的中點，PA⊥（1）證明：平面MCE∥平面PAB；（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．20．已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，圓M的方程為：x2+y2﹣py＝0，若直線x＝4與x軸交于點R，與拋物線交于點Q，且|QF|=5（1）求出拋物線E和圓M的方程；（2）過焦點F的直線l與拋物線E交于A、B兩點，與圓M交于C、D兩點（A，C在y軸同側），求證：|AC|?|DB|是定值．21．醫(yī)院為篩查某種疾病，需要血檢，現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方式二：混合檢驗，把每個人的血樣分成兩份，取k（k≥2）個人的血樣各一份混在一起進行檢驗，如果結果是陰性，那么對這k個人只作﹣一次檢驗就夠了；如果結果是陽性，那么再對這k個人的另一份血樣逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1次．（1）假設有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（0＜p＜1）．現(xiàn)取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為X1，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為X2．①運用概率統(tǒng)計的知識，若EX1＝EX2，試求p關于k的函數(shù)關系式p＝f（k）；②若p=1?e?1參考數(shù)據：ln11≈2.3978，1n12≈2.4849，ln13≈2.5649．22．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣a（x+lnx）．（1）若a＝0，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論f（x）極值點的個數(shù)；（3）若x0是f（x）的一個極小值點，且f（x0）＞0，證明：f(x

參考答案一、解答題（共8小題，滿分40分）1．設集合A={x|1≤2x＜2}，B={x|lnxA．(0，12) B．[0，12)【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|1≤2x∴A＝{x|0≤x＜12}，B＝{x|0＜∴A∩B＝{x|0＜x＜12}＝（0，故選：A．2．已知復數(shù)z滿足：z（1+2i）＝4+3i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內對應的點在第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【分析】根據復數(shù)的運算法則進行化簡，結合復數(shù)的幾何意義求出點的坐標即可．解：由z（1+2i）＝4+3i得z=4+3i1+2i=則共軛復數(shù)z=2+i位于第一象限，故選：A．3．設命題p：任意常數(shù)數(shù)列都是等比數(shù)列．則￢p是（）A．所有常數(shù)數(shù)列都不是等比數(shù)列 B．有的常數(shù)數(shù)列不是等比數(shù)列 C．有的等比數(shù)列不是常數(shù)數(shù)列 D．不是常數(shù)數(shù)列的數(shù)列不是等比數(shù)列【分析】根據全稱命題的否定為特稱命題即可求出．解：全稱命題的否定為特稱命題；故命題p：任意常數(shù)數(shù)列都是等比數(shù)列．則￢p是：有的常數(shù)數(shù)列不是等比數(shù)列．故選：B．4．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是C1D1的中點，且AP→=AD→+xA．?32 B．?12 C．【分析】直接利用向量的線性運算和三角形法則的應用求出結果．解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是C1D1的中點，所以AP→所以x=1故x+y=3故選：D．5．函數(shù)f(x)=sinxA． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性可排除AD，由f（1）＞0可排除B，進而得出正確選項．解：f(?x)=sin(?x)ln|2?x?2x又f(1)=sin1ln|2?1故選：C．6．某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分用莖葉圖表示，莖葉圖中甲得分的部分數(shù)據丟失（如圖），但甲得分的折線圖完好，則下列結論正確的是（）A．甲得分的極差是11 B．乙得分的中位數(shù)是18.5 C．甲運動員得分有一半在區(qū)間[20，30]上 D．甲運動員得分的平均值比乙運動員得分的平均值高【分析】根據莖葉圖，折線圖整合數(shù)據，判斷選項．解：甲的極差為28﹣9＝19，A錯，乙的中位數(shù)為16+172=16.5，由甲得分的折線圖可知甲運動員得分有2次在區(qū)間[20，30]，C錯，故選：D．7．已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC=π3，則球A．162π3 B．82π3【分析】由AB＝1，AC＝2，∠BAC=π3，可得BC的值，又可得三角形ABC為直角三角形，可得外接圓的半徑為斜邊的一半，再由SA⊥平面解：因為AB＝1，AC＝2，∠BAC=π3，可得BC所以可得AC2＝AB2+BC2，所以三角形ABC的外接圓的圓心為AC的最中點O'，所以外接圓的半徑r=AC因為SA⊥平面ABC，所以三棱錐的外接球的球心是過底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線與中截面的交點，設為O，設球的半徑為R，則R=r所以外接球的體積為V=43πR3=4故選：B．8．已知函數(shù)f(x)=2xx?1(x≤0)lnxx(x＞0)，若關于x的方程f2（x）+（1﹣m）f（A．(1B．（﹣∞，0）∪（1e，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪(1D．（﹣∞，0）∪（1e【分析】作出函數(shù)f（x）的圖象，將條件轉化為f（x）＝m有且只有一個根，數(shù)形結合即可．解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：方程f2（x）+（1﹣m）f（x）﹣m＝0等價于[f（x）+1][f（x）﹣m]＝0，則f（x）＝﹣1，f（x）＝m，由圖可知f（x）＝﹣1時，x有唯一解，則要想滿足條件，則需f（x）＝m有唯一解，當x＜0時，f（x）=2xx?2=當x＞0時，f（x）=lnxx，令f′（x）=1?lnxx2=0得x＝e，所以f（故x＞0，f（x）最大值為f（e）=1e，則此時需1綜上m的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（1e故選：C．二、多選題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合要求，全部選對得滿分，部分選對得3分，錯選得0分）9．某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個層次內，根據抽樣結果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（）A．樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù) B．樣本中B層人數(shù)最多 C．樣本中E層次男生人數(shù)為6人 D．樣本中D層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)【分析】根據頻率直方圖，扇形圖求出選項中的數(shù)，進行比較．解：由女生頻數(shù)直方圖可知女生人數(shù)為：9+24+15+9+3＝60，則男生人數(shù)為100﹣6﹣＝40，則A對；由圖可知：女生人數(shù)中B層的人最多，男生人數(shù)中B層的人最多，則總人數(shù)中B層的人最多，B對；可求出E層為（1﹣0.1﹣0.3﹣0.25﹣0.2）×40＝6人，C對；樣本中D層次男生人數(shù)為40×20%＝8，樣本中D層次女生人數(shù)為9，D錯，故選：ABC．10．1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論正確的是（）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a﹣c，a+c] B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間 C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁 D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小【分析】由題意可得衛(wèi)星向徑是橢圓上的點到焦點的距離，可得向徑的最大值最小值，運行速度的意義又是服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等，可得速度的最大值及最小值時的情況，由向徑的意義可得最小值與最大值的比越小時，離心率越大，橢圓越扁，進而可得所給命題的真假．解：由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點到右焦點的距離，所以最小值為a﹣c，最大值為a+c，所以A正確；根據在相同時間內掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間，故B正確；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，即a?ca+c=1?e1+e=?1+因為運行速度是變化的，速度的變化，所以衛(wèi)星運行速度在近地點時向徑越小，在遠地點時向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間，內掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小，故D正確；故選：ABD．11．已知函數(shù)f（x）＝sinx+|cosx|，下列命題正確的為（）A．該函數(shù)為偶函數(shù) B．該函數(shù)最小正周期為2π C．該函數(shù)圖象關于x=π2D．該函數(shù)值域為[﹣1，2]【分析】選項A，根據偶函數(shù)的概念，證明f（﹣x）＝f（x）是否成立即可得解；選項B，去絕對值，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，f(x)=sinx+cosxsinx?cosx=2選項C，根據函數(shù)的對稱性，證明f(π選項D，取一個周期，當x∈[?π2，π2]時，可得解：選項A，定義域為R，f（﹣x）＝sin（﹣x）+|cos（﹣x）|＝﹣sinx+|cosx|≠f（x），故A錯誤；選項B，f(x)=sinx+cosxsinx?cosx=2所以函數(shù)的最小正周期是2π，故B正確；選項C，∵f(πf(π∴f(π2+x)=f(選項D，在一個周期內，當x∈[?π2，π2同理可得，當x∈(π2，3π2故選：BCD．12．如圖，已知點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F(xiàn)n（n∈N*）為邊BC上的一列點，連接AFn交BD于Gn，點Gn（n∈N*）滿足GnD→=an+1?GnA→?2(2A．a3＝13 B．數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列 C．an＝4n﹣3 D．S【分析】此題在向量基礎上把數(shù)列綜合進來，其本質還是向量線性表示問題．首先利用平面向量找到數(shù)列遞推公式，再求解．【解答】解∵E為AB∴2∴G又∵D、Gn、B三點共線∴G又∵G∴?λ=an+12λ=?2(2an+3)，化簡可得a∴an+1+3＝2（an+3）∴數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列又∵a1＝1∴a∴a∴a3＝13∴S故選：AB．三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．某校3個興趣小組的學生人數(shù)分布如表（每名學生只參加一個小組）（單位：人）．籃球組書畫組樂器組高一4530★高二152010已知用分層抽樣的方法從參加這三個興趣小組的學生中共抽取30人，其中籃球組被抽出12人，則★處的值為30．【分析】根據每個個體被抽到的概率都相等可得：1245+15解：根據分層抽樣的定義和方法可得，1245+15解得☆＝30，故答案為：30．14．如圖，在棱長為1的正方體AC1中，點E、F是棱BC、CC1的中點，P是底面ABCD上（含邊界）一動點，滿足A1P⊥EF，則線段A1P長度的最小值為2【分析】先證垂直，找出點P所在的直線，再判斷最值．解：因為CD⊥平面B1C1CB，EF?平面B1C1CB，所以CD⊥EF，又EF∥BC1，BC1⊥B1C，所以EF⊥B1C，所以EF⊥平面A1B1CD，當點P在線段CD上時，總有A1P⊥EF，所以A1P的最大值為A1C=3，A1P的最小值為A1D=故答案為：2．15．已知雙曲線C：x2a2?y2b（1）若F2到漸近線的距離是3，則b為3（2）若P為雙曲線C右支上一點，∠F1PF2＝60°且∠F1PF2的角平分線與x軸的交點為Q，滿足F1Q→=2QF2【分析】（1）寫出雙曲線的一條漸近線方程，由點到直線的距離公式列式求解b；（2）利用向量關系，結合雙曲線C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，∠F1PF1＝60°，推出三角形的面積關系，通過余弦定理轉化求解即可．解：（1）設雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，即bxF2（c，0），由題意，|bc|a2+（2）由F1Q→=2QF2→故S△P又S△PF1Q=12?|PF1|?|PQ|sin30°，故|PF1|＝2|PF2|，再根據雙曲線定義知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，在△PF1F2中，由余弦定理知4c2＝16a2+4a2﹣8a2＝12a2，故e2＝3，即e=3故答案為：（1）3；（2）3．16．若函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π6）（ω＞0）在（0，5π18）存在唯一極值點，且在（π2，π）上單調，則ω的取值范圍為（6【分析】根據函數(shù)f（x）的圖象與性質，結合題意列出不等式組求得ω的取值范圍．解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π6），x∈（0，5π18）時，ωx+π6∈由f（x）存在唯一極值點，所以π2＜5πω+3π18≤又f（x）在（π2，π）上單調，所以πω2+π6所以ω的取值范圍是（65，4故答案為：（65，4四、解答題（共6小題，滿分70分）17．在條件①2cosA（bcosC+ccosB）＝a，②csinB+C2=asinC，③（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a=7，b﹣c＝2，______．求BC【分析】若選①，由正弦定理可得及面積公式求出h，對選②③的分析同①．解：若選①2cosA（bcosC+ccosB）＝a，有正弦定理可得2cosA（sinBcosC+sinCcosB）＝sinA，即2cosAsin（B+C）＝sinA，而sin（B+C）＝sinA，所以cosA=1因為A∈（0，π），所以A=π由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，b﹣c＝2，a=7，解得c＝1，b設BC邊上的高為h，由面積公式可得12bcsinA=所以h=3若選②，由題設及正弦定理：sinCsinB+C2=sinAsinC，因為sin所以sinB+C2=sinA，而A+B+C＝π，所以sinB+C2所以cosA2=2sinA2cosA所以sinA2=12，所以A若選③，由已知得（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA=12，A∈（0，所以A=π下面同①．18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=Cn0+Cn1+C（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）求Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2．【分析】本題第（1）題先根據組合的知識可知Sn＝2n﹣1，然后根據公式an=S1，n=1Sn?Sn?1，n≥2可計算出數(shù)列{an}的通項公式，最后將數(shù)列{an}的通項公式代入b第（2）題先根據第（1）題的結果可判斷出數(shù)列{bn}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，然后對n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別進行計算，利用平方差公式及等差數(shù)列的求和公式可計算出Tn的表達式．解：（1）由題意，Sn=C當n＝1時，a1＝S1＝21﹣1＝1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，∵當n＝1時，a1＝1也滿足an＝2n﹣1，∴an＝2n﹣1，n∈N*，∴bn＝log2an＝log22n﹣1＝n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，bn＝n﹣1＝0+1?（n﹣1），故數(shù)列{bn}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，①當n為奇數(shù)時，n﹣1為偶數(shù)，Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+bn﹣22﹣bn﹣12+bn2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（bn﹣2+bn﹣1）（bn﹣2﹣bn﹣1）+bn2＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+bn﹣2+bn﹣1）+bn2=?(n?1)(n?2)2+（=n②當n為偶數(shù)時，n﹣1，n+1均為奇數(shù)，Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+bn﹣12﹣bn2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（bn﹣1+bn）（bn﹣1﹣bn）＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+bn﹣1+bn）=?n(n?1)=n?綜上所述，可知：Tn=n19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD=12AD．E、M分別為棱AD、PD的中點，PA⊥（1）證明：平面MCE∥平面PAB；（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）由點E為AD的中點，得四邊形ABCE為平行四邊形，即EC∥AB，再由三角形中位線定理可得EM∥AP，利用平面與平面平行的判定可得平面MCE∥平面PAB；（2）由題意PA⊥平面ABCD，不妨設AD＝2，則BC＝CD=12AD＝1，以與AD垂直的直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系．設AP＝h，利用二面角P﹣CD﹣A的大小為45°列式求得h＝2，再求出平面PCE的一個法向量與AP→的坐標，則直線PA【解答】（1）證明：∵點E為AD的中點，BC=12AD，AD∴四邊形ABCE為平行四邊形，即EC∥AB，∵E，M分別為棱AD、PD的中點，∴EM∥AP，又EM∩EC＝E，∴平面MCE∥平面PAB；（2）解：如圖所示，∵PA⊥AB，PA⊥CD，AB與CD是相交直線，∴PA⊥平面ABCD．不妨設AD＝2，則BC＝CD=12以與AD垂直的直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系．設AP＝h，A（0，0，0），D（0，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，h），從而PD→=(0，2，?h)，設平面PCD的一個法向量為m→由m→?PD→=2y+hz=0又平面ACD的一個法向量t→二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，得2?1+4∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴EC→=(?1，1，0)，PE→設平面PCE的一個法向量為n→由n→?PE→=y設直線PA與平面PCE所成角為θ，則sinθ＝|cos＜AP→，即直線PA與平面PCE所成角的正弦值為1320．已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，圓M的方程為：x2+y2﹣py＝0，若直線x＝4與x軸交于點R，與拋物線交于點Q，且|QF|=5（1）求出拋物線E和圓M的方程；（2）過焦點F的直線l與拋物線E交于A、B兩點，與圓M交于C、D兩點（A，C在y軸同側），求證：|AC|?|DB|是定值．【分析】（1）設Q（4，y0），由|QF|=54|RQ|求得y0＝2p，把點（4，2p）代入拋物線方程得p＝2，則拋物線E（2）拋物線E：x2＝4y的焦點F（0，1），設直線l的方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系結合拋物線的定義即可證明|AC|?|DB|是定值1．解：（1）設Q（4，y0），由|QF|=5得y0+p2=5將點（4，2p）代入拋物線方程，可得p＝2．∴拋物線E：x2＝4y，圓M的方程為：x2+y2﹣2y＝0；證明：（2）拋物線E：x2＝4y的焦點F（0，1），設直線l的方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立x2=4yy=kx+1，得x2則△＝16（k2+1）＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．由圓的方程可得圓M的圓心坐標為M（0，1），半徑為1，圓心就是焦點．由拋物線的定義可知|AF|＝y(tǒng)1+1，|BF|＝y(tǒng)2+1．則|AC|＝|AF|﹣1＝y(tǒng)1，|BD|＝|BF|﹣1＝y(tǒng)2，|AC|?|BD|＝y(tǒng)1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝﹣4k2+4k2+1＝1．即|AC|?|DB|是定值1．21．醫(yī)院為篩查某種疾病，需要血檢，現(xiàn)有n（n∈一、選擇題*）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方式二：混合檢驗，把每個人的血樣分成兩份，取k（k≥2）個人的血樣各一份混在一起進行檢驗，如果結果是陰性，那么對這k個人只作﹣一次檢驗就夠了；如果結果是陽性，那么再對這k個人的另一份血樣逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1次．（1）假設有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（0＜p＜1）．現(xiàn)取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為X1，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為X2．①運用概率統(tǒng)計的知識，若EX1＝EX2，試求p關于k的函數(shù)關系式p＝f（k）；②若p=1?e?1參考數(shù)據：ln11≈2.3978，1n12≈2.4849，ln13≈2.5649．【分析】（1）記恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為A事件，利用古典概型、排列組合能求出恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．（2）①X1的取值為k，P（X1＝k）＝1，EX1＝k，X2的取值為1，k+1，P（X2＝1）＝（1﹣p）k，P（X2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，從而E（X2）＝k+1﹣k（1﹣p）k，由EX1＝EX2，能求出p．②p=1?e?15，EX2＝k+1﹣ke?k5＜k，從而lnk?k5＞0，設f（x解：（1）記恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為A事件，則恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為P（A）=C（2）①X1的取值為k，P（X1＝k）＝1，∴EX1＝k，X2的取值為1，k+1，P（X2＝1）＝（1﹣p）k，P（X2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，∴E（X2）＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，由EX1＝EX2，得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，∴p＝1﹣（1k）1k，（k∈N*，②p=1?e?15，EX2＝k+1﹣ke?k設f（x）＝lnx?x5，則f′(x)=1當x∈（0，5）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，5）上單調遞增，x∈（5，+