§2.1　不等式及其解法(講解部分)

考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)1.不等式的基本性質(zhì)考點(diǎn)清單性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a?傳遞性a>b,b>c?①

a>c

?可加性a>b?a+c>b+c?可乘性

?ac>bc④

c

的符號(hào)

?ac<bc同向可加性

?a+c>b+d?同向同正可乘性

?⑤

ac>bd

?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*)同正可開(kāi)方性a>b>0?⑥

>

(n∈N*,n≥2)2.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法(a,b∈R):

(2)作商法(a∈R,b>0):

3.不等式的倒數(shù)和分式性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì):(i)a>b,ab>0?⑦

<

;(ii)a<0<b?

<

.(2)有關(guān)分式的性質(zhì):若a>b>0,m>0,則(i)

<⑧

;

>

(b-m>0).(ii)

>

;

<⑨

(b-m>0).考點(diǎn)二不等式的解法1.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程ax2+bx+c

=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-

沒(méi)有實(shí)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集⑩{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集

{x|x1<x<x2}

??在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次項(xiàng)系數(shù)a<0,則可先根據(jù)不等式

的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為正數(shù),再對(duì)照上表求解.2.分式不等式的解法(1)

>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0);(2)

≥0(≤0)?

3.絕對(duì)值不等式的解法(1)|f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2;(2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);(3)|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x);(4)含兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用零點(diǎn)分區(qū)間的方法脫去絕

對(duì)值符號(hào)求解,也可以用圖象法求解.考法一

不等式性質(zhì)的應(yīng)用知能拓展例1

(2018湖南衡陽(yáng)一模,4)若a,b,c為實(shí)數(shù),且a<b<0,則下列結(jié)論正確的是

()A.ac2<bc2

B.

<

C.

>

D.a2>ab>b2

解題導(dǎo)引觀察本題條件與選項(xiàng)的特點(diǎn),能想到考點(diǎn)清單中的哪些?可以

想到不等式的性質(zhì),比較大小的方法等.因此本題可采用以上兩種思路求

解.作為選擇題還可以用特值法求解.解析選項(xiàng)A,∵c為實(shí)數(shù),∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此時(shí)ac2=bc2,故選項(xiàng)A不正

確;選項(xiàng)B,

-

=

,∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴

>0,即

>

,故選項(xiàng)B不正確;選項(xiàng)C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,則

=

=

,

=2,此時(shí)

<

,故選項(xiàng)C不正確;選項(xiàng)D,∵a<b<0,∴a2-ab=a(a-b)>0,∴a2>ab,又∵ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,

故選項(xiàng)D正確,故選D.答案

D方法總結(jié)作差法比較大小的步驟:①作差;②變形:通分,因式分解,分子

(母)有理化,寫(xiě)成因式積(商)的形式;③判斷符號(hào);④下結(jié)論.考法二

不等式的解法例2

(2019河南濮陽(yáng)3月模擬,7)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}

(α>0),則不等式cx2+bx+a<0的解集是

()A.

B.

∪

C.{x|α<x<β}

D.(-∞,α)∪(β,+∞)解題導(dǎo)引由題設(shè)可知a<0,且α,β是方程ax2+bx+c=0的兩根,由根與系數(shù)的

關(guān)系可得出a,b,c與α,β的數(shù)量關(guān)系,即

注意c<0,再把方程cx2+bx+a=0的根用α,β表示出來(lái)即可求得結(jié)果.解析由不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0),得α,β是一元二次方

程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根,且a<0,∴α+β=-

,αβ=

.不等式cx2+bx+a<0可化為

x2+

x+1>0,∴αβx2-(α+β)x+1>0,化為(αx-1)(βx-1)>0,又0<α<β,∴

>

>0,c=aαβ<0,∴不等式cx2+bx+a<0的解集為

,故選B.答案

B方法總結(jié)若一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解集為{x|x>x2或x<x1}(x1

<x2),則a>0(或a<0),Δ>0且x1,x2是方程ax2+bx+c