全國（新教材）高二上學(xué)期第一次月考備考A卷數(shù)學(xué)

全國（新教材）此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號第一次月考備考金卷數(shù)學(xué)（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知空間向量，，且與垂直，則等于（）A．4 B．1 C．3 D．2【答案】A【解析】由于與垂直，所以，故選A．2．設(shè)點(diǎn)，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，，∵，∴，解得，故選C．3．如圖，在長方體中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【解析】①；②；③；④；⑤；⑥，所以①②③④⑤⑥都正確，故選D．4．如圖，是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以，，，所以點(diǎn)P到AB的距離，故選C．5．如圖，在直三棱柱中，，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建系，如圖所示：設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)直線與直線夾角為，則，故選A．6．已知平面內(nèi)兩向量，，若為平面的法向量且，則，的值分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因為，，所以，因為為平面的法向量，所以，即，解得，所以，的值分別為，，故選A．7．如圖，已知空間四邊形，其對角線為，，，分別是對邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且分所成的定比為，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則，，的值分別為（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】，分別是對邊，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上，且分所成的定比為，，，即，，，故選D．8．如圖，點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，∴點(diǎn)到平面的距離，故選B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．在正方體中，設(shè)，，，構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AC【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，根據(jù)正方體性質(zhì)，結(jié)合圖象，分析可得：對于A：，由圖象可得三個向量不共面，所以，，不共面，故A正確；對于B：，由圖象可得三個向量共面，所以，，共面，故B錯誤；對于C：由圖象可得三個向量不共面，所以，，不共面，故C正確；對于D：，由圖象可得共面，所以，，共面，故D錯誤，故選AC．10．直線的方向向量為，兩個平面，的法向量分別為，，則下列命題為真命題的是（）A．若，則直線平面B．若，則直線平面C．若，則直線與平面所成角的大小為D．若，則平面，所成角的大小為【答案】BC【解析】對于A：若，則直線平面或在平面內(nèi)，故選項A不正確；對于B：若，則也是平面的一個法向量，所以直線平面，故選項B正確；對于C：直線與平面夾角的正弦值等于直線與平面法向量夾角的余弦值的絕對值，所以若，則直線與平面所成角的大小為，故選項C正確；對于D：兩個平面所成角與他們法向量所成的角相等或互補(bǔ)，若，則平面，所成角的大小為或，故選項D不正確，故選BC．11．以下命題正確的是（）A．若是平面的一個法向量，直線上有不同的兩點(diǎn)，，則的充要條件是B．已知，，三點(diǎn)不共線，對于空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面C．已知，，若與垂直，則D．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則邊上的高的長為【答案】BCD【解析】對于A，若直線，則成立，故不是的必要條件，故A錯誤；對于B，若，則，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對于C，由題意可得，，若與垂直，則，解得，故C正確；對于D，由題意，，則，，所以，所以邊上的高，故D正確，故選BCD．12．如圖，在正方體中，、、分別為、、的中點(diǎn)，則（）A． B．平面C． D．向量與向量的夾角是【答案】BC【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、、、、、、、、．對于A選項，，，則，故A選項錯誤；對于B選項，設(shè)平面的法向量為，，，由，可得，取，可得，，，，平面，平面，故B選項正確；對于C選項，，，，故C選項正確；對于D選項，，，，所以，向量與向量的夾角是，故D選項錯誤，故選BC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若，，則________．【答案】或【解析】∵，，∴，∵，∴存在，使得，∴，解得，∴或，故答案為或．14．在△ABC中，，，．若向量與平面ABC垂直，且，則的坐標(biāo)為___________．【答案】或【解析】據(jù)題意，得，．設(shè)，∵與平面ABC垂直，，即，可得，，，解得或．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，∴的坐標(biāo)為或，故答案為或．15．已知空間向量滿足，，則的值為________．【答案】【解析】因為，所以，則，因此，故答案為．16．在棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（包含邊界）．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)到平面的距離是________；（2）若，則線段長度的取值范圍是________．【答案】，【解析】在正方體中，，面，面，所以面，連接交于點(diǎn)，所以，又面，面，所以，因為，所以面，因為正方體的棱長為，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離為；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，因為，所以，所以，即，所以，因為，解得，所以，即，故答案為；．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知，．（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由已知可得，，．（2），，，存在實數(shù)使得，，，，聯(lián)立解得．（3），，即，解得．18．（12分）如圖，在多面體中，平面，點(diǎn)到平面的距離為，是正三角形，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，，且，就是點(diǎn)到平面的距離，即平面，平面，，又，四邊形是平行四邊形，，是正三角形，，．（2）解：由（1）得平面，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，則由，得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）如圖，四棱錐的底面是菱形，，底面，，是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面．（1）求；（2）求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）連接交于，連接，因為平面，平面，平面平面，所以．由，得，又，所以，即，因為平面，平面，所以，從而，故．（2）以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，即，取，則；設(shè)平面的一個法向量為，由，即，取，則，所以，所以，故平面與平面所成角的正弦值為．20．（12分）如圖所示，在等腰梯形中，，，，，平面，．（1）求證：平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，是否存在實數(shù)，使平面與平面所成銳二面角為？若存在，求出實數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）因為，，所以四邊形ACFE為平行四邊形，所以．在等腰梯形ABCD中，，，所以，所以．又平面ABCD，所以，，BC，平面BCF，所以平面BCF．因為，所以平面BCF．（2）依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，設(shè)，所以，，設(shè)為平面MAB的法向量，由，得，取，所以，因為是平面ABC的一個法向量，設(shè)平面MAB與平面ABC所成的銳二面角為，所以．因為，所以，所以，所以存在使平面MAB與平面ABC所成銳二面角為．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是中點(diǎn)．（1）求直線與平面的夾角余弦值；（2）求平面和平面的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】因為平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，（1），，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，則，，所以，記直線和平面的夾角為，則，所以．（2）由圖可知，平面即平面，所以平面的法向量為，記面和面的夾角為，則，由圖可知面和面夾角為銳角，所以．（3），，平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為．22．（12分）已知正方形的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上．（1）若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角M－EC－F的余弦值；若不存在，說明理由．【答案】（1）點(diǎn)O在EA的延長線上，且，證明見解析；（2）存在，或．【解析】（1）證明：因為直線平面ABFE，故點(diǎn)O在平面ABFE內(nèi)也在平面ADE內(nèi)，所以點(diǎn)O在平面ABFE與平面ADE的交線上(如圖所示)．因為AO∥BF，M為AB的中點(diǎn)，所以△OAM≌△FBM，所以O(shè)M=MF，AO=BF，所以點(diǎn)O在EA的延長線上，且AO=2．連接DF交EC于N，因為四邊形CDEF為矩形，所以N是EC的中點(diǎn)．連接MN，所以MN為△DOF的中位線，所以MN∥OD，又因為平面EMC，所以直線OD∥平面EMC．（2）存在．由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，所以EF⊥平面ADE，所