北師大版選擇性必修第一冊(cè) 2.4.2直線與圓錐曲線的綜合問題 作業(yè)

4.2直線與圓錐曲線的綜合問題1.橢圓x225+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若|AB|=8,則|AF1|+|BF1A.10 B.12 C.16 D.18解析:∵|AB|+|AF1|+|BF1|=4a,∴|AF1|+|BF1|=4×5-8=12.答案:B2.已知雙曲線x22-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,過F1的直線l與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),則滿足|AB|=32的直線A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解析:由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(-5,0),易得過F1且斜率不存在的直線為x=-5,該直線與雙曲線的交點(diǎn)為-5,322,-5,-322,則|AB|=32,又因?yàn)殡p曲線的兩頂點(diǎn)分別為(-2,0),(2,0),所以實(shí)軸長為22,22<32,結(jié)合圖象(圖略),可知滿足條件的直線還有2條,故共有3條直線滿足條件.答案:C3.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為x24a+y2a2+1=1,A.越接近于圓B.越扁C.先接近于圓后越扁D.先越扁后接近于圓解析:由題意知4a>a2+1且a>0,解得2-3<a<2+3,又e2=1-a2+14a=1-14a+1a,因此當(dāng)a∈(2-3,1)時(shí),e越來越大,當(dāng)a∈(1,2+3)時(shí)故橢圓形狀變化為先越扁后接近于圓.答案:D4.過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C.若|AF|=6,BC=λFB(λ>0),則λ的值為().A.34 B.32 C.解析:設(shè)A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),C(-2,y3),則x1+2=6,解得x1=4.則y1=42,直線AB的方程為y=22(x-2).令x=-2,得C(-2,-82),聯(lián)立方程y2=8x,y=22所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以λ=3.答案:D5.已知直線y=1-x與雙曲線ax2+by2=1(a>0,b<0)的漸近線交于A,B兩點(diǎn),且過原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為-32,則ab的值為(A.-32B.-B.-C.-932 D.解析:由雙曲線ax2+by2=1(a>0,b<0)知其漸近線方程為ax2+by2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有ax12+by12=0①,ax22+by22=0②,由①-②得即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2).由題意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,所以y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-ab,設(shè)AB的中點(diǎn)為M(所以-32×(-1)=-ab,所以ab=-32答案:A6.點(diǎn)P(1,1)為橢圓x24+y22=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)P引一弦,使此弦被點(diǎn)P解析:(方法一)易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)其方程為y-1=k(x-1),弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).由y-1=k(x-1),x24+y22=1,消去y,得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+又∵x1+x2=2,∴4k(k-1)2k2+1=2,解得k=-12,符合題意.故弦所在直線的方程為y-1=-1(方法二)由題意可知,此弦所在直線的斜率存在,設(shè)斜率為k,且設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),則x124+y1(x1+∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴x1-x22+y1-y2=0,∴∴此弦所在直線的方程為y-1=-12(x-即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=07.已知雙曲線E:x24-y22=1,直線l交雙曲線E于A,B兩點(diǎn).若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,-1,解析:依題意,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x124即y1又因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)是12,-1,則x1+x2y1+y2=-12,所以y1-y2x1-x2=-14,即直線AB的斜率為-14,答案:2x+8y+7=08.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)E3,32(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方),若AF1=λF1B,且2≤λ<3,求直線l解:(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+則由(解得a故橢圓C的方程為x24+(2)由題意得直線l的方程為y=k(x+1)(k>0),聯(lián)立方程,得y整理得3k2+4y2-6ky-9=0,Δ=144設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=