北師大版選擇性必修第一冊3.3.1空間向量基本定理作業(yè)

§3空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示3.1空間向量基本定理選題明細(xì)表知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間向量基本定理1,2,5,6用基向量表示空間向量3,8,10空間向量基本定理的綜合應(yīng)用4,7,9,11,12基礎(chǔ)鞏固1.O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量OA→,OB→,A.OA→,OB→,OC→共線 B.OAC.OB→,OC→共線解析:由題意知,向量OA→,OB→,選D.2.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(B)①若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.②向量a,b,c共面,即它們所在的直線共面.③如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)于空間任意一個(gè)向量p存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.④若a,b是兩個(gè)不共線的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則{a,b,c}構(gòu)成空間的一組基.A.0 B.1 C.2 D.3解析:①中當(dāng)b=0時(shí),a與c不一定共線,故①錯(cuò)誤;②中a,b,c共面時(shí),它們所在的直線平行于同一平面不一定在同一平面內(nèi),故②錯(cuò)誤;③正確;a,b不共線,當(dāng)c=λa+μb時(shí),a,b,c共面,故④錯(cuò)誤.故選B.3.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M是上底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),若A1B1→=a,A1DA.12a+12b+c B.12C.-12a-12b+c D.-12解析:由于B1M→=B1B→+BM→=B1B→+4.下列條件中使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是(C)A.OM→=2OA→-OBB.OM→=15OA→C.MA→+MB→+D.OM→+OA→+OB→解析:由MA→+MB→+MC→=0得MA→=-選C.5.若{a,b,c}是空間的一組基,且存在實(shí)數(shù)x,y,z,使得xa+yb+zc=0,則x,y,z滿足的條件是.?解析:由于{a,b,c}是空間的一組基,所以當(dāng)xa+yb+zc=0時(shí),x=y=z=0.答案:x=y=z=06.已知空間的一組基{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m與n共線,則x=,y=.?解析:因?yàn)閙與n共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有1=λx,答案:1-1能力提升7.(多選題)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一組基,給出下列向量組,其中可以作為空間一組基的向量組有(BCD)A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}解析:如圖所示,令a=AB→,b=AA1則x=AB1→z=AC→,a+b+c=AC1→.由于A,B1,C,D1四點(diǎn)不共面,可知向量x,y,z不共面,同理可得,8.(多選題)(2021·遼寧營口期末)在空間四邊形OABC中,E,F分別是OA,BC的中點(diǎn),P為線段EF上一點(diǎn),且PF=2EP,設(shè)OA→=a,OB→=b,A.OF→=12b+B.EP→=-16a+16C.FP→=13a-13D.OP→=13a+16解析:如圖,因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),所以O(shè)F→=12OB→+12EP→=13EF→=13(OF→-OE→)=13OF→-13OE→=13(12b+12c)-13×12a=-16a+16b+16c,故選項(xiàng)B正確;FP→=-2EP→=12a+(-16a+16b+16c)=19.(2021·浙江高一期末)已知空間四邊形OABC各邊及其對(duì)角線OB,AC的長都是6,AM→=2MB→,MG→=GC→,OG→=xOA→+y,OG的長為.?解析:四邊形OABC為正四面體,OG→=OM→+MG→=OA→=OA→+23AB→+12=OA→+23AB→+1=OA→+13AB→+12AC→=OA→+13(OB=OA→-13OA→-1=16OA→+1所以x+y+z=1,又OA→·OB→=OA→·OC→=OB→·OC→=6|OG→|2=OG→2=(16=136OA→2+19OB→2+14OC→2=136×36+19×36+14×36+19×18+16所以|OG→答案:1510.如圖所示,已知平行六面體ABCDA1B1C1D1,設(shè)AB→=a,AD→=b,AA1→=c,P是CA1的中點(diǎn),M是CD1的中點(diǎn).用基{(2)AM→解:在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,連接AC,AD1.(1)AP→=12(AC→=12(AB→+AD→=12(2)AM→=12(AC→=12(AB→+AD→+A=12(AB→+2AD→=12a+b+111.如圖,已知平行六面體ABCDA′B′C′D′中,點(diǎn)E在AC′上,且AE∶EC′=1∶2,點(diǎn)F,G分別是B′D′和BD′的中點(diǎn),求下列各式中x,y,z的值.(1)AE→=xAA'→+yAB(2)BF→=xBB'→+yBA(3)GF→=xBB'→+yBA解:(1)因?yàn)锳E∶EC′=1∶2,所以AE→=13AC'→=13(AB→+BC→+CC'→)=1313所以x=13,y=13,z=(2)因?yàn)镕為B′D′的中點(diǎn),所以BF→=12(BB'→+BD'→)=12(BB'→+BA→+BC→)=BB'→+12BA→+(3)因?yàn)镚,F分別為BD′,B′D′的中點(diǎn),所以GF→=1所以x=12應(yīng)用創(chuàng)新12.如圖,在三棱錐PABC中,點(diǎn)G為△ABC的重心,點(diǎn)M在PG上,且PM=3MG,過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段PA,PB,PC于點(diǎn)D,E,F,若PD→=mPA→,PE→=nPB→,PF→=tPC→,求證:解:連接AG并延長交BC于點(diǎn)H,連接DM(圖略).由題意,可令{PA→PB→,PC→}為空間的一組基,PM→=34PG→=34(PA→+34PA→+12×12(AB→+AC→)=34PA→+14(PB→-PA→因?yàn)辄c(diǎn)D,E,F,M四點(diǎn)共