四年級三大原理加乘原理學生版

TOC\o"1-5"\h\z乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個步驟（缺一不可），第1步有m1種不同的方法，［第2步有m2種不同的方法，第3步有m3種不同的方法，……，第n步有m0種不同的方法，則完,成這件事一共有Nm1m2m3mn種不同的方法。 ［加法原理：一般地，如果完成一件事有n類方法（每一類中的任何一種方法都能獨立完成這 ,件事情），第1類有mi種不同的方法，第2類有m2種不同的方法，第3類有m3種不同的方法，，］第n類有mn種不同的方法，則完成這件事一共有Nmim2m3mn種不同的方法。 .【課前引入】在做加、乘原理的題時，我們經常會遇到為地圖涂色的題目。關于為地圖涂色有一個看起來簡單，但證明過程卻十分復雜的題目一一四色猜想。四色猜想是世界近代三大數(shù)學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯?格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色， 使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。 ”這個結論能不能從數(shù)學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。 1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學家德?摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。1878?1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。 11年后，即1890年，數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。先輩數(shù)學大師們的努力， 為后世的數(shù)學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。 進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。 1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數(shù)學家富蘭克林于 1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。 1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色； 隨后又推進到了50國?？磥磉@種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。 1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。 四色猜想的計算機證明,轟動了世界。它不僅解決了一個歷時 100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。兇5s簡單加乘【例1】從學而思學校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學而思學校到張老師家有3條路可走，那么從學而思學校到張老師家共有多少種走法？【例2】如圖所示，從甲地到乙地有5條路，從乙地到丁地有3條路，從甲地到丙地有2條路可走，從丙地到丁地也有6條路，請問從甲地到丁地共有多少種不同走法？【例3】某信號兵用紅，黃，藍，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個位置表示信號。每次可掛1面或者2面或者3面，并且不同的順序表示不同的信號。一共可以表示出多少種不同的信號?（不掛旗則沒有信號）［例4］有兩個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字 1、2、3、4、5、6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？［例5］有三個不完全一樣的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字 1、2、3、4、5、6。將三個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？【例6】用數(shù)字0、1、2、3、4可以組成多少個小于1000的自然數(shù)？（各數(shù)字可重復使用）【例7】用0、1、2、3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)?【例8】（2008年第八屆“春蕾杯”小學數(shù)學邀請賽四年級決賽） 用0?5這六個數(shù)字可組成個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)。[例9]2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽五年級）從0、0、1、2、3、4、5這七個數(shù)字中，任取3個組成三位數(shù)，共可組成個不同的三位數(shù)（這里每個數(shù)字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）。【例10】（2008第七屆“小機靈杯”數(shù)學競賽四年級決賽）有一些三位數(shù)，三個數(shù)字之和是 21,這樣的三位數(shù)有個?！纠?1】（2008第四屆IMC國際數(shù)學邀請賽（新加坡）小學六年級初賽）在三位數(shù)中，至少有一位是3的共有個?！纠?2】用1、2、3、4、5五個數(shù)字，不許重復，位數(shù)不限，能寫出多少個 3的倍數(shù)?【例13】從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字【例13】從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？【例14】從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？【例15】從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個？【例16】由數(shù)字1,2,3,4組成的所有四位數(shù)中（數(shù)字不重復使用） ，從小到大排列，第7個數(shù)是【例17]由1,2,3,4,5五個數(shù)字組成的不同的五位數(shù)有 120個，將他們從大到小排列起來，第95個數(shù)是O【例18]由數(shù)字0、【例18]由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列,個.2008排在第【例19】（2008第九屆“中環(huán)杯”小學生思維能力訓練活動五年級決賽）一個自然數(shù)，如果從左到右順讀和從右到左逆讀都是一樣，則這個數(shù)稱為“回文數(shù)” ，如1、22、434、4554都是回文數(shù)。那么從小到大排列，第2009個回文數(shù)是（ ）。（不包括0）【例20】（2008年第十二屆香港保良局小學數(shù)學世界邀請賽隊際賽 ）在1到2008（含2008）的所有正整數(shù)中，數(shù)碼和可被5整除的數(shù)共有多少個？宣地圖的染色【例21]如圖所示，地圖上有A、B、C、D【例21]【例22】【例22】如圖所示，地圖上有A、B、C、D四個國家，現(xiàn)有紅、黃、藍、綠四種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種不同的染色方法？【例23】【例23】如圖所示，地圖上有A、B、C、D、E五個國家，現(xiàn)有紅、黃、藍、綠四種顏色給地圖染色,使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種不同的染色方法？【例24］如圖所示，地圖上有A、B、C、D、E、F六個國家，現(xiàn)有五種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種不同的染色方法？復雜加乘EFACDB復雜加乘EFACDB【例25】（2008年3月第六屆小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽五年級第 1試）從1?9這九個數(shù)碼中取出3個，使它們的和是3的倍數(shù)，則不同取法有種?！纠?6】（2008年第六屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽六年級決賽）從1?25這25個自然數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)，使它們的和是4的倍數(shù)，共有種不同的取法?！纠?7】（2008年第六屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽四年級初賽、五年級初賽）如圖所示，每個小正三角形邊長為 1,小蟲每步走過1,從A出發(fā)，恰走4步回到A的路有條。（途中不再回A）【例28]【例29】如圖所示，直線a、b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個的三角形?【例30【例28]【例29】如圖所示，直線a、b上分別有5個點和4個點，以這些點為頂點可以畫出多少個的三角形?【例30]如圖所示，直線a、b上分別有6個點和點可以畫出多少個的三角形？4個點（其中有1個點為兩直線的交點），以這些點為頂【例31]一個半圓周上共有12個點，直徑上5個,圓周上7個，以這些點為頂點，可以畫出多少個三角形?如下圖，八面體有12條棱，6個頂點.一只螞蟻從頂點A出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經過每個頂點一次.問共有多少種不同的走法？【例32】【例32】在一個圓周上均勻分布10個點，以這些點再加上圓心一共 11個點為端點，可以畫出多少長度小于直徑的線段？【例33】有紅、黃、藍、綠小旗各一面，每次可以在旗桿上任意掛一面、二面、三面、四面，從上至下順序不同時，表示不同的信號。這四面旗共能發(fā)出多少種不同的信號？（不掛旗則沒有信號，相同顏色的旗子不作區(qū)別）【例34】五種顏色不同的信號旗，各有2面，任意取出1面、2面、3面排成一行，表示一種信號，并且不同的順序表示不同的信號，請問共可以表示多少種不同的信號？（不掛旗則沒有信號，相同顏色的旗子按照其數(shù)量區(qū)別）【例35】紅、黃、藍、白四種顏色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出3面按順序排成一行，表示一種信號，請問：（1）共可以表示多少種不同的信號？（ 2）如果白旗不能打頭又有多少種？（不掛旗則沒有信號，相同顏色的旗子不作區(qū)別）【例36］從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數(shù)乘法 .如果其中的6可以看成9,那么共有多少種不同的乘積？【例37】有七張卡片：1、1、回、回、回、回、回，從中任取3張可排列成三位數(shù)。若其中卡片回旋轉后可看作［6,則排成的偶數(shù)有個?！纠?8】電子表03:45表示3點45分，11:27表示11點27分。早上5點到8點這三小時內，電子表出現(xiàn)無重復數(shù)字的時刻有多少次？【例39】（2007年第五屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽五年級初賽）玩具廠生產一種玩具棒，共4節(jié)，用紅、黃、藍三種顏色給每節(jié)涂色。這家廠可生產種顏色不同的玩具棒。【練習1】 商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 3種水果糖：蘋果味、梨味、橙味。小明想買一些糖送給他的小朋友。請問： （1）如果小明只買一種糖，他有幾種選法？（ 2）如果小明想買水果糖、巧克力糖各1種，他有幾種選法？【練習2】 從北京到廣州可以選擇直達的飛機和火車， 也可以選擇中途在上?；蛘呶錆h作停留， 已知北京到上海、武漢或者上海、武漢到廣州除了有飛機和火車兩種交通方式外還有汽車。請問：從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？【練習3] 有不同的中文書24本，不同的英文書31本，不同的法文書23本，從中取出2本不同語言類別的書，有多少種不同的取法？【練習4】由數(shù)字0、1、3、9可以組成多少個數(shù)字不重復的正整數(shù)?【練習5] 用0、1、2、3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位奇數(shù)?【練習6】甲、乙、丙、丁四人排隊，甲不站排頭，丁不站排尾，這樣的排列有多少種?如圖所示，將1、2、3、4、5分別填入圖中5個格子中，要求填在灰色格子里的數(shù)比它旁邊的白色格子里的兩個數(shù)都大。請問共有多少種不同的填法？【練習8】 （2008年第四屆IMC國際數(shù)學邀請賽（新加坡）小學四年級復賽）按英國人的記法， 2008年4月6日記作462008,按美國人的記法，2008年4月6日記作642008。那么，2008年全年中共有天會讓英、美兩國人在記法上產生誤會。A12 B.132 C.353 D.354【練習9】 （2007年12月第九屆“中環(huán)杯”小學生思維能力訓練活動六年級初賽） 某工作需要鉗工2人和電工2人共同完成，現(xiàn)有鉗工A、B、C,電工D、E、F,另有G鉗工、電工都會。從這7個人中挑選若干人去完成這項工作，共有不同選法。友遵號補充【補充1】 一個三角形的三條邊為a、b、c,且a、b、c均為小于10的正整數(shù)；若這個三角形為等腰三角形（包括等邊三角形），則三位數(shù)abc有多少種可能？【