第四講-社會經濟模型

現(xiàn)有一位即將升入初一的學生家長,欲為其存5萬元以供6年后上高校運用,問實行怎樣的方案存款,可使6年所獲收益最大?最大收益多少?一、存款問題中國人民銀行現(xiàn)行銀行整存整取利率如表所示(2011年4月6日)。一年期二年期三年期五年期3.25%4.15%4.75%5.25%存款期限為六年整。在存款期間利率不變。對于存款,銀行只計單利不計復利。若將定期存款到期后把本利又轉入其次個定期,這就相當于計算復利。不計算利息稅。問題分析與假設設ｎ年期存ｍ次獲利金額記作Pn×mPn×1簡記作Pn存一次ｎ年期再存一次k年期獲利金額記作Pn+k。符號的約定明顯Pn+k=Pk+n設ｎ年期利率為r,k年期利率為s則Pn+k=50000×[(1+nr)(1+ks)-1]=Pk+n于是,一年期存兩次獲利金額為兩年期存一次獲利金額為

所以,問題的求解存一次兩年期再存一次一年期的獲利金額為三年期存一次獲利金額為所以存一次三年期再存一次兩年期的獲利金額五年期存一次的獲利金額為所以三年期存兩次的獲利金額為兩年期存三次的獲利金額為存一次五年期再存一次一年期的獲利金額為所以故存兩次三年期所獲收益最大,為15176.56元Excel供應了數(shù)學公式和數(shù)學函數(shù)，可以用Excel便利地計算有關數(shù)據(jù)。利用Excel計算P1

1625

P2P1×2

41503302.81

P3P2+1P1×3

71255909.885035.15

P5P3+2P1×5

1312511866.388670.57

P5+1P3×2P2×3P1×615176.5615265.3113511.9410577.36某私立中學規(guī)定學生入學時每人應交費10萬元，等三年后學生畢業(yè)時學校將把10萬元如數(shù)歸還，試問在此規(guī)定下，學生念三年書實際交了多少學費？二、學費問題學問準備：現(xiàn)值與終值現(xiàn)值與終值是利息計算中的兩個重要概念，它們刻畫了貨幣的時間價值，駕馭好這兩個概念，對于順當解決有關金融中的數(shù)學問題很有幫助。現(xiàn)值是把在n期末的金額扣除利息后折合成現(xiàn)在的金額。終值是指n期末的本利和。其計算的基點是分別是存期的起點和終點。1、單利的現(xiàn)值與終值在單利公式S=P(1+nR)中，把本利和S稱為本金P在n期末的終值；反過來，把P=S/(1+nR)稱為S的現(xiàn)值。若每期發(fā)生本金（簡稱年金）為A，每期利率為R，共n期，單利計息，則n期的現(xiàn)值之和稱為單利年金現(xiàn)值，而n期的本利和的總額稱為單利年金終值。單利的年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

單利的年金終值

單利年金現(xiàn)值

若期末發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

單利年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的本利和為A,若期初發(fā)生年金A，則每一期的本利和為A(1+R),A(1+R),…,A(1+(n-1)R),單利年金終值A(1+2R),…,A(1+nR),單利年金終值2、復利的現(xiàn)值與終值在復利公式S=P(1+R)n中，把本利和S稱為本金P在n期末的終值；反過來，把P=S/(1+R)n稱為S的現(xiàn)值。若每期發(fā)生本金為A，每期利率為R，共n期，復利計息，則n期的現(xiàn)值之和稱為復利年金現(xiàn)值，而n期的本利和的總額稱為復利年金終值。復利的年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

復利的年金終值

復利的年金現(xiàn)值若期末發(fā)生年金A，則每一期的現(xiàn)值為

復利的年金現(xiàn)值若期初發(fā)生年金A，則每一期的本利和為若期末發(fā)生年金A，則每一期的本利和為復利的年金終值復利的年金終值分析和解決問題我們可以用現(xiàn)值與終值的角度來看問題解法1：從終值的角度考慮，入學時交的10萬元，到三年后，其本利和（即終值）為100000×（1+3×0.0475）=114250，故應交學費114250-100000=14250元。解法2：從現(xiàn)值的角度考慮，三年后學?！叭鐢?shù)歸還”的10萬元，其現(xiàn)值為

100000/（1+3×0.0475）=87527.35，故應交學費100000-87527.35=12472.65元。解法的評價上述兩種方法的結果不同，但都是正確的解法。從現(xiàn)值和終值的角度來看，它們分別表示了在學期結束和入學初結算學費的金額。盡管理論計算表明以上兩種交費方式是等效的，但對學生家長來說，按方法2（即入學即交學費）較好，一是不必籌措一大筆資金，不會因將來三年中萬一資金周轉不靈而陷入窘境；二是假如家長須要貸款湊齊學費的話，費用就更多了。有一家庭，為了買房須要申請公積金貸款15萬元，還貸期限10年，問這個家庭每月平均要向銀行還款多少？一共要付給銀行多少利息？三、住房貸款問題住房公積金貸款利率表(2011年4月6日)。期限五年以下（含五年）五年以上年利率4.20%4.70%月利率3.5‰3.91666‰學問準備現(xiàn)在銀行的按揭購房還貸方式主要有兩種等額本金還貸法，即每月以相等的額度償還貸款本金，并結清當月利息，因此也叫利隨本清還貸法，其計算公式為：等額本息還貸法，而每月以相等的額度償還貸款本息，直到還清為止，計算公式為：模型假設10年內銀行的利率保持不變；10年內該家庭始終具有還貸實力，且不提前還清貸款；還款方式是每月等額本息還貸。符號設定貸款本金Q=10萬元還貸期限N=10年月利率R=0.00391666（貸款期限超過5年）

R=0.0035（貸款期限5年以下含5年）n表示還款期數(shù)A表示每月還款額S表示還款總額L表示利息總額建立模型從現(xiàn)值的角度考慮，每月等額還貸額A，其現(xiàn)值之和應等于貸款本金Q,于是得：模型求解代入計算得模型應用與拓展（1）假如該家庭每月收入為6000元,在貸款本金不變的狀況下,還貸期限設為多少年可以在保證正常開支的同時使所付利息總額最少?設每月還貸額不超過每月收入的50%（即3000元）時,不影響家庭正常開支。由下表可知，可以選擇還貸期限為5年，這樣每月還貸2810.11元，可使利息總額最少為18606.86元貸款本金（元）Q還貸期限(年)N還貸期數(shù)n每月還貸額A還貸總額S利息總額L150000101201569.08188289.2938289.2915000091081705.96184244.1434244.141500008961877.64180253.1330253.131500008961877.64180253.1330253.131500006722394.92172434.3222434.321500005602810.11168606.8618606.861500004483400.30163214.3713214.37模型應用與拓展（2）假如選擇等額本金還貸法是否會削減利息總額?利息總額L還貸總額S35543.69185543.69比等額本息還貸法少還利息38289.29-35543.69=2745.60元，但是前面月份還貸額較高，第1個月為1837.50元，直到第56個月起先月還貸額為1568.23元起先少于等額本息還貸法的月還貸額1569.08元。資金富有的家庭可以選擇這