2020-2021數(shù)學北師大版第一冊教師用書：第2章 §1生活中的變量關系含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年新教材數(shù)學北師大版必修第一冊教師用書：第2章§1生活中的變量關系含解析§1生活中的變量關系學習目標核心素養(yǎng)1.了解生活中兩個變量之間的依賴關系現(xiàn)象．(重點)2．能辨析依賴關系和函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系．(重、難點)通過生活中的變量關系的學習，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)．1．依賴關系一般地，在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個變量具有依賴關系．思考1：某人坐摩天輪一圈用時8分鐘．若摩天輪勻速轉動，則他的海拔高度與摩天輪轉動時間有依賴關系嗎?當他位于摩天輪一半高度時，摩天輪轉了多少分鐘？提示:該人的海拔高度與摩天輪轉動時間有依賴關系．當他位于摩天輪一半高度時，摩天輪轉了2分鐘或6分鐘．2．函數(shù)關系一般地，當變量x每取一個值，另一個變量y都有唯一確定的值與之對應時，變量x、y之間具有函數(shù)關系，并且y是x的函數(shù)．思考2:某人坐摩天輪一圈用時8分鐘．若摩天輪勻速轉動，若把摩天輪的轉動時間作為自變量，他的海拔高度h為因變量，則每取一個t值，有幾個h值與之對應?提示：每取一個t值，有唯一一個h值與之對應．3．分段函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)，有不同的對應法則，需要用不同的解析式來表示的函數(shù)叫作分段函數(shù)．1．下列各量間不存在依賴關系的是(）A．扇形的圓心角與它的面積B．某人的體重與其飲食情況C．水稻的畝產(chǎn)量與施肥量D．某人的衣著價格與視力[答案］D2．一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；下圖中與這件事正好吻合的圖象是(其中x軸表示時間，y軸表示路程)（）ABCDA［開始一段時間路程逐漸增大，增大的速度相同，圖象是一直線段，耽擱的時間段路程不變，圖象與x軸平行，然后行駛路程在原來的基礎上又增大，由圖象知選A。］3．給出下列關系：①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關系;②拋物線上的點與該點坐標之間的關系；③橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關系；④某同學在6次考試中的數(shù)學成績與他的考試號之間的關系．其中不是函數(shù)關系的有________（填序號).①③④[由已知關系判斷得，①③④中關系不確定，故不是函數(shù)關系，只有②是函數(shù)關系．］4．如圖是一輛汽車的速度隨時間變化而變化的情況示意圖．(1)汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過多少時間？它的最高時速是多少？(2)汽車在哪些時間段保持勻速行駛？時速分別是多少?(3）出發(fā)后8分到10分之間可能發(fā)生了什么情況？[解](1)汽車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過了24分鐘，最高時速為80千米/時．(2）汽車在出發(fā)后2分鐘到6分鐘，出發(fā)后18分鐘到22分鐘均保持勻速行駛，時速分別為30千米/時和80千米/時．(3）出發(fā)后8分到10分之間汽車速度為0千米/時，重新出發(fā)后，車速很快提高到80千米/時，因此在8分到10分這段時間內(nèi)很可能在修車．依賴關系與函數(shù)關系的辨析【例1】下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關系？其中哪些是函數(shù)關系？①球的體積和它的半徑;②速度不變的情況下,汽車行駛的路程與行駛時間；③家庭收入愈多，其消費支出也有增長的趨勢；④正三角形的面積和它的邊長．［解］①中球的體積V與半徑r間存在V＝eq\f(4，3）πr3的關系;②中在速度不變的情況下，行駛路程s與行駛時間t之間存在正比例關系;③中家庭收入與其消費支出之間存在依賴關系，但具有不確定性;④中正三角形的面積S與其邊長a間存在S＝eq\f(\r(3）,4)a2的關系．綜上可知①②③④中兩個變量間都存在依賴關系，其中①②④是函數(shù)關系．判斷兩個變量有無依賴關系,主要看其中一個變量變化時，另一個變量是否隨之變化．而判斷兩個變量是否具有函數(shù)關系，關鍵是看對于一個變量的每一個值，另一變量是否都有唯一確定的值與之對應．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．下列過程中，各變量之間是否存在依賴關系？若存在依賴關系,則其中哪些是函數(shù)關系？（1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間,觀察溫度計示數(shù)的變化，冷卻時間與溫度計示數(shù)的關系;（2）家庭的食品支出與電視機價格之間的關系;(3）在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關系．［解］（1)冷卻時間與溫度計示數(shù)具有依賴關系,根據(jù)函數(shù)定義知,二者之間是函數(shù)關系;(2）家庭的食品支出與電視機價格之間沒有依賴關系;（3）在高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變量存在依賴關系，且具有確定性,是函數(shù)關系．綜上可知，（1)(3）中的變量間具有依賴關系,且是函數(shù)關系；(2）中兩個變量不存在依賴關系．變量關系的表示【例2】聲音在空氣中傳播的速度簡稱音速，實驗測得音速與氣溫的一些數(shù)據(jù)如下表：氣溫x/℃05101520音速y（米/秒）331334337340343(1）根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)作圖；(2）用x表示y；(3）氣溫為22℃時，某人看到煙花燃放5秒后才聽到聲響,［解]（1）此圖反映的是變量音速隨氣溫的變化．(2)由表中數(shù)據(jù)可知，氣溫每升高5℃，音速加快3米/秒，又過點（0,331）故所求函數(shù)關系式為y＝eq\f(3,5）x＋331.（3）由(2）可知氣溫為22℃時,音速y＝eq\f(3,5）×22＋331，故此人與燃放的煙花所在地約相距為5×(eq\f（3，5）×22＋331)＝66＋1655＝1721（米).借助圖表可使兩個變量間的關系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．eq\a\vs4\al([跟進訓練］）2．心理學家發(fā)現(xiàn),學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間有如下關系:(其中0≤x≤20)提出概念所用時間(x)257101213141720對概念的接受能力(y)47.853.556。35959.859.959.858。355（1）上表中反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2）當提出概念所用時間是10分鐘時,學生的接受能力是多少?（3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你認為提出概念幾分鐘時，學生的接受能力最強？(4）從表格中可知，當時間x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步增強？當時間x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步降低？[解］(1)畫出圖如下：反映了提出概念所用的時間x和對概念的接受能力y兩個變量之間的關系;其中x是自變量，y是因變量．(2）由題中表格可知,當提出概念所用時間為10分鐘時，學生接受能力是59。(3)提出概念所用的時間為13分鐘時，學生的接受能力最強．（4）當x在2分鐘至13分鐘的范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步增強；當x在13分鐘至20分鐘的范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步降低．分段函數(shù)【例3】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P從點A出發(fā)沿A→B→C→D的路線移動，設點P移動的路線為x,△PAD的面積為y，（1)寫出y與x的函數(shù)關系式；（2)求當x＝4和x＝18時的函數(shù)值；(3）當x取何值時，y＝20，并說明此時點P在矩形的哪條邊上．［解]（1)當點P在線段AB上時，此時AP＝x，根據(jù)三角形的面積公式可得：y＝eq\f（1，2)·AD·AP＝eq\f（1,2)×8×x＝4x，當點P在線段BC上運動時,面積不變；當點P在線段CD上運動時，DP＝6＋8＋6－x＝20－x，AD＝8根據(jù)三角形的面積公式可得：y＝eq\f(1，2）·AD·DP＝eq\f(1,2)×8×(20－x)＝80－4x，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（4x(0≤x≤6)，，24（6≤x≤14），，80－4x（14≤x≤20)。))(2)當x＝4時，y＝4x＝4×4＝16，當x＝18時，y＝80－4×18＝8；（3）當y＝4x＝20，解得x＝5，此時點P在線段AB上，當y＝80－4x＝20，解得x＝15，此時點P在線段CD上．某些實際問題的函數(shù)解析式常用分段函數(shù)表示,須針對自變量的分段變化情況，列出各段的解析式．eq\a\vs4\al(［跟進訓練])3．某同學從甲地以每小時6千米的速度步行2小時到達乙地，在乙地耽擱1小時后，又以每小時4千米的速度步行返回甲地.寫出該同學在上述過程中,離甲地的距離s(千米）和時間t(小時）的函數(shù)關系式．[解］先考慮由甲地到乙地的過程,當0≤t≤2時,y＝6t，再考慮在乙地耽擱的情況，當2〈t≤3時,y＝12，最后考慮由乙地返回甲地的過程，當3<t≤6時，y＝12－4（t－3），所以s(t)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（6t（0≤t≤2)，12(2〈t≤3),－4t＋24（3〈t≤6）)）。1．依賴關系和非依賴關系在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化,另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個變量具有依賴關系．在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個變量具有非依賴關系．2．函數(shù)關系如果變量x,y具有依賴關系，對于其中一個變量x的每一個值，另一個變量y都有唯一確定的值時，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，即這兩個變量之間具有函數(shù)關系．3．借助圖表可使兩個變量間的關系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．1．思考辨析（正確的畫“√"，錯誤的畫“×”）(1）一個人受教育的程度與他的能力之間的關系是依賴關系． （）(2）圓上的點的縱坐標與橫坐標之間的關系是函數(shù)關系． （)(3）若y是x的函數(shù)，則x一定是y的函數(shù)． (）［答案］(1)√(2)×（3）×2．下列說法不正確的是(）A．圓的周長與其直徑的比值是常量B．任意四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是常量C．發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關系D．某商品的廣告費用與銷售量之間是函數(shù)關系［答案］D3．下列關系不是函數(shù)關系的是________（填序號).①乘坐出租車時,所付車費與乘車距離的關系；②某同學學習時間與其學習成績的關系;③人的睡眠質量與身體狀況的關系．②③［對于①，所付車費與乘車距離是一種確定性關系，是函數(shù)關系；而對于②，③中的兩個變量是非確定性關系,不是函數(shù)關系．］4．一輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時間t的關系如圖所示．(1）試求圖中陰影部分的面積，說明面積的實際含義，并分析面積與時間是否構成函數(shù)關系？(2）假設汽車里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為akm，當1〈t≤2時，試建立汽車里程表的讀數(shù)s(單位：km)與時間t(單位：h）的函數(shù)