第2節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

PAGE第2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試要求1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；2.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.知識梳理1.命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.2.四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系.3.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp[常用結(jié)論與微點提醒]1.否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論.2.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且BA)，與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同.3.A是B的充分不必要條件?綈B是綈A的充分不必要條件.診斷自測

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命題.()(2)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.()(3)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”.()(4)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真.()解析(1)錯誤.該語句不能判斷真假，故該說法是錯誤的.答案(1)×(2)√(3)√(4)√

2.(新教材必修第一冊P34復(fù)習(xí)參考題T5改編)設(shè)a，b∈R且ab≠0，則ab>1是a>eq\f(1,b)的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若“ab>1”，當(dāng)a＝－2，b＝－1時，不能得到“a>eq\f(1,b)”，若“a>eq\f(1,b)”，例如當(dāng)a＝1，b＝－1時，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>eq\f(1,b)”的既不充分也不必要條件.答案D3.(老教材選修2－1P2例1改編)下面有4個命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②若－a不屬于N，則a屬于N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④x2＋1＝2x的解可表示為{1，1}.其中真命題的個數(shù)為________.解析①為假命題，集合N中最小的數(shù)是0；②為假命題，如a＝eq\f(1,2)不滿足；③為假命題，如a＝0，b＝1，a＋b＝1，比2??；④為假命題，所給集合中的元素不滿足互異性.答案0

4.(XX·北京卷)能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù).若a>b>c，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________.解析a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，則a＋b＝－6<c.答案－2，－4，－5(答案不唯一)5.(·鄭州模擬)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.答案(－∞，2]6.(2020·青島二中檢測)直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是________.解析直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點等價于eq\f(|1－0－k|,\r(2))<eq\r(2)，解得－1<k<3.答案－1<k<3

考點一命題及其關(guān)系【例1】(1)下列說法正確的是()A.“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1”B.“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sinα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,6)”是真命題(2)(XX·北京卷)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0，2]都成立，則f(x)在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.解析(1)對于選項A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，A錯；對于B項，若“am2<bm2，則a<b”的逆命題為“若a<b，則am2<bm2”，因為當(dāng)m＝0時am2＝bm2，所以其逆命題為假命題，B錯；對于C項，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，?x∈(0，＋∞)，都有4x>3x，C錯；對于D項，原命題的逆否命題為“若α＝eq\f(π,6)，則sinα＝eq\f(1,2)”是真命題，故原命題是真命題.(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個定義域為[0，2]的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義域內(nèi)有唯一的最小值點，且f(x)min＝f(0).答案(1)D(2)f(x)＝sinx，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，x＝0，,\f(1,x)，0<x≤2)))規(guī)律方法1.寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提.2.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例.3.根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易時，可間接判斷.【訓(xùn)練1】(1)(2020·石家莊模擬)下列說法中正確的是()A.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0B.若數(shù)列{an}為常數(shù)列，則{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列C.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要條件D.命題“若eq\f(an＋an＋1,2)<an，n∈N*，則{an}為遞減數(shù)列”的逆命題為假命題(2)命題p：若x>0，則x>a；命題q：若m≤a－2，則m<sinx(x∈R)恒成立.若p的逆命題，q的逆否命題都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析(1)A錯，f(x)＝eq\f(1,x)為奇函數(shù)，但f(0)無意義；B錯，an＝0為常數(shù)列，但{an}不是等比數(shù)列；C正確，由于A>B?a>b?sinA>sinB.D錯，若{an}遞減，則an＋1<an?eq\f(an＋an＋1,2)<an，n∈N*，所以逆命題為真命題，D不正確.(2)命題p的逆命題是：若x>a，則x>0，它是真命題時，a≥0.命題q的逆否命題是：若m≥sinx，則m>a－2恒成立，它是真命題時a－2<－1，解得a<1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0，1).答案(1)C(2)[0，1)考點二充分條件與必要條件的判定【例2】(1)(·浙江卷)若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件(2)已知條件p：x>1或x<－3，條件q：5x－6>x2，則綈p是綈q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析(1)當(dāng)a>0，b>0時，得4≥a＋b≥2eq\r(ab)，即ab≤4，充分性成立；當(dāng)a＝4，b＝1時，滿足ab≤4，但a＋b＝5>4，不滿足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件.(2)由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q?p，pq，所以綈p?綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件，故選A.答案(1)A(2)A規(guī)律方法充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.【訓(xùn)練2】(1)(·天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的________條件.解析(1)由“x2－5x<0”可得“0<x<5”；由“|x－1|<1”可得“0<x<2”.由0<x<5?/0<x<2；但0<x<2?0<x<5，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分條件.(2)顯然a＝0時，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)為奇函數(shù)；當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的充要條件.答案(1)B(2)充要考點三充分、必要條件的應(yīng)用典例遷移【例3】(經(jīng)典母題)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.綜上，m的取值范圍是[0，3].【遷移1】本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？并說明理由.解由例題知P＝{x|－2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))這樣的m不存在.【遷移2】設(shè)p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.解由例題知P＝{x|－2≤x≤10}.∵綈p是綈q的必要不充分條件，p是q的充分不必要條件.∴p?q且qp，即PS.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，又因為S為非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞).規(guī)律方法充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.【訓(xùn)練3】(2020·湖南雅禮中學(xué)月考)若關(guān)于x的不等式|x－1|<a成立的充分條件是0<x<4，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，1] B.(－∞，1)C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)解析|x－1|<a?1－a<x<1＋a，因為不等式|x－1|<a成立的充分條件是0<x<4，所以(0，4)?(1－a，1＋a)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤0，,1＋a≥4，))解得a≥3.答案D

A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是()A.“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠ac”B.“若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac”C.“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列”D.“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”解析命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”.答案D2.已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A.逆命題 B.否命題C.逆否命題 D.否定解析命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題.答案B3.(2020·福州檢測)在等比數(shù)列{an}中，“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的兩根”是“aeq\o\al(2,2)＝1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由a1＋a3＝－3，a1·a3＝1?aeq\o\al(2,2)＝a1·a3＝1，但aeq\o\al(2,2)＝1?/a1＋a3＝－3.因而“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的兩根”是aeq\o\al(2,2)＝1的充分不必要條件.答案A4.設(shè)a>b，a，b，c∈R，則下列命題為真命題的是()A.ac2>bc2 B.eq\f(a,b)>1C.a－c>b－c D.a2>b2解析對于選項A，a>b，若c＝0，則ac2＝bc2，故A錯；對于選項B，a>b，若a>0，b<0，則eq\f(a,b)<1，故B錯；對于選項C，a>b，則a－c>b－c，故C正確；對于選項D，a>b，若a，b均小于0，則a2<b2，故D錯.答案C5.原命題：設(shè)a，b，c∈R，若“a>b，則ac2>bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有()A.0個 B.1個 C.2個 D.4個解析原命題：若c＝0，則不成立，由等價命題同真同假知其逆否命題也為假；逆命題為：設(shè)a，b，c∈R，若“ac2>bc2，則a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性質(zhì)得a>b，∴逆命題為真，由等價命題同真同假知否命題也為真，∴真命題共有2個.答案C6.已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是()A.[1，＋∞) B.(－∞，1]C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.故a≥1.答案A7.(XX·浙江卷)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件.答案A8.下列結(jié)論錯誤的是()A.命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件C.命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為真命題D.命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”解析C項命題的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0”.若方程有實根，則Δ＝1＋4m≥0，即m≥－eq\f(1,4)，不能推出m>0.所以不是真命題.答案C二、填空題9.(XX·北京卷改編)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________條件.解析存在負數(shù)λ，使得m＝λn，則m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，當(dāng)〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，m，n不共線.故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要條件.答案充分不必要10.有下列幾個命題：①“若a>b，則a2>b2”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；③“若x2<4，則－2<x<2”的逆否命題.其中真命題的序號是________.解析①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，錯誤；②原命題的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，正確；③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，正確.答案②③11.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，則m的取值范圍是________.解析解不等式|x－m|<1，得m－1<x<m＋1.由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(m－1，m＋1)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3)，,m＋1≥\f(1,2)))且等號不同時成立，解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3)))12.“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,a)－eq\f(a,ex)是奇函數(shù)”的__________條件.解析當(dāng)a＝1時，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，則f(x)是奇函數(shù)，充分性成立.若f(x)為奇函數(shù)，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，則a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,a)－eq\f(a,ex)是奇函數(shù)”的充分不必要條件.答案充分不必要B級能力提升13.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5?d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要條件.答案C14.(2020·合肥模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則對實數(shù)a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|).又y＝f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若a>|b|，則f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立；若f(a)>f(b)，則等價為f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|，即a>|b|或a<－|b|，即必