全國卷Ⅰ高考壓軸卷數學（理）2

06/2207/22/2021新課標Ⅰ高考壓軸卷數學（理）第I卷（選擇題）一.選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的.1．已知集合，集合，則（）A． B．C． D．2．復數滿足為虛數單位，則等于（）A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值是，則輸出的的值是（）A． B． C． D．4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．5．已知，，且與的夾角為，則（）A． B． C． D．6．等差數列前項和為，，則（）A． B． C． D．7．設是空間中兩條不同的直線，是空間中三個不同的平面，給出下列四個命題：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4），則.其中正確命題的序號是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）8．將甲?乙等4名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通，每個路口兩人，則甲和乙不在同一路口的概率為（）A． B． C． D．9．已知實數滿足，若的最大值為8，則的值為（）A． B． C．1 D．310．為雙曲線左支上一點，，，為其左右焦點，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知函數，若的零點個數為4，則實數取值范圍為（）A． B．C． D．12．已知數列的前項和，且滿足，則（）A．1013 B．1022 C．2036 D．2037第II卷（非選擇題）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，則______.14．已知，，若直線AB與斜率為2的直線平行，則m的值為____________15．數式中省略號“···”代表無限重復，但該式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，則，則，取正值得.用類似方法可得__________.16．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為_____.三、解答題（共70分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.地17-21為必做題，每個試題都必須作答.第22、23題為選做題，考生按要求作答）(一).必做題17．已知中，角、、的對邊分別是、、，已知.（1）求角的大??；（2）若的面積為，若的周長為6，求三角形的邊長.18．如圖1，在直角中，，，，，分別為，的中點，連結并延長交于點，將△沿折起，使平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.19．寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯合國糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之一.為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人口盡快脫貧，黨中央作出推進東西部對口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對口幫扶寧夏，在福建人民的幫助下，原西海固人民實現了快速脫貧，下表是對2016年以來近5年某移民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計：年份20162017201820192020年份代碼12345人均年收入（千元）1.32.85.78.913.8現要建立關于的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一；模型二，即使畫出關于的散點圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，現用最小二乘法原理，已經求得模型一的方程為.（1）請你用最小二乘法原理，結合下面的參考數據及參考公式求出模型二的方程（計算結果保留到小數點后一位）；（2）用計算殘差平方和的方法比較哪個模型擬合效果更好，已經計算出模型一的殘差平方和為.附：參考數據：，其中，.參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.20．已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標．21．已知函數為函數的導函數．（1）求函數的單調區(qū)間﹔（2）若存在實數，且使得，求證∶．(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。22．在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數，且，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）寫出曲線和直線的直角坐標方程；（2）若直線與軸交點記為，與曲線交于兩點，求的值.23．已知函數=．（1）當時，求不等式的解集；（2）證明：2．14/2213/22/2021新課標Ⅰ高考壓軸卷數學word版參考答案1．【答案】D【解析】因為集合，集合，因此，.故選：D.2．【答案】A【解析】解：，，化為，，故選：．3．【答案】C【解析】第一次循環(huán)，，，否，，否，第二次循環(huán)，，，是，，否，第三次循環(huán)，，，否，，否，第四次循環(huán)，，，是，，是，輸出，故選：C.4．【答案】D【解析】觀察三視圖發(fā)現：該幾何體的形狀為圓柱從上方削去一部分，削去部分的體積為圓柱體積一半的一半即，下方挖去半個球，故幾何體的體積為：，故選：D.5．【答案】C【解析】,故選：C6．【答案】C【解析】，即故選：C.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關數列的問題，解題思路如下：（1）根據題中所給的條件，結合等差數列通項公式，將其轉化為關于首項與公差的式子；（2）化簡求得數列的某一項；（3）結合等差數列求和公式，得到和與項的關系，求得結果.7．【答案】A【解析】解：對于（1），因為，所以經過作平面，使，可得，又因為，，所以，結合得．由此可得（1）是真命題；對于（2），因為且，所以，結合，可得，故（2）是真命題；對于（3），設直線、是位于正方體上底面所在平面內的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故（3）不正確；對于（4），設平面、、是位于正方體經過同一個頂點的三個面，則有且，但是，推不出，故（4）不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是（1）和（2）故選：A【點睛】本題考查空間點線面的位置關系判斷，考查空間想象能力，邏輯推理能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于熟練的掌握線面平行、面面平行的性質和線面垂直、面面垂直的判定與性質等知識．8．【答案】C【解析】將4名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通，方法數有種，其中甲和乙不在同一路口的方法數由種，故所求概率為.故選：C9．【答案】B【解析】如圖，由，解得由圖及線性規(guī)劃知識可推測直線必過點，得，經驗證符合題目條件故選：B【點睛】本題主要考查了根據最值求參數，屬于中檔題.10．【答案】A【解析】設則由雙曲線的定義得：，∴.記，令，得（1）當時，，，單減；，，單增，∴，不合題意，舍去；（2）當時，恒成立，∴單增，∴∴解得：或∵不滿足，應舍去∴當時，離心率.故選：A【點睛】求橢圓（雙曲線）離心率的一般思路：根據題目的條件，找到a、b、c的關系，消去b，構造離心率e的方程或（不等式）即可求出離心率．11．【答案】D【解析】的圖象如圖所示：因為有4個不同的零點，故有解，設此關于方程的解為、，其中均不為零且.由題設可得關于的方程和共有4個不同的解，故（舍）或或（舍）.所以，解得.故選：D.【點睛】方法點睛：復合方程的解的討論，一般通過換元轉化為內、外方程的解來處理，注意根據已知零點的個數合理推斷二次方程的根的情況.12．【答案】A【解析】由數列的前項和，且滿足，當時，，兩式相減，可得，即，令，可得，解得，所以數列表示首項為，公比為的等比數列，所以，則，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查了等比數列的定義，等比數列的通項公式以及等比數列的前項和公式的綜合應用，著重考查推理與計算能力，屬于中檔試題.13．【答案】2【解析】將，利用正弦定理化簡得：，即，∵，∴，利用正弦定理化簡得：，則．故答案為：2.14．【答案】1或【解析】由題可知：直線AB的斜率為即又直線AB與斜率為2的直線平行所以則所以或故答案為：1或【點睛】本題考查直線斜率的坐標表示以及直線的平行關系，掌握直線平行的斜率關系，屬基礎題.15．【答案】4【解析】根據題意類比，令，兩邊平方得，，即，則，解得，或（舍去）.故答案為：4【點睛】本題主要考查類比推理，根據題意類比寫出方程求解即可，屬于基礎題.16．【答案】【解析】因為平面，將三棱錐補形為如圖所示的直三棱柱，則它們的外接球相同，由直三棱柱性質易知外接球球心應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，即為等邊三角形，，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.17．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得：，∵，∴，∴，整理可得：，∵，∴，∴，又，∴.（2）由（1）知，若的面積為，∴，若的周長為6，∴，由余弦定理，得，解得.【點睛】本題考查了解三角形問題，解題的關鍵點是要熟練掌握正弦定理、余弦定理、面積公式，考查了學生的計算能力.18．【答案】（1）證明見解析；（2）正弦值為.【解析】（1）證明：由題意知，而為的中點，∴，又面面，面面，且平面，∴平面，又平面，∴.（2）由（1）可知，，，兩兩相互垂直，可構建以E為原點，為x軸、y軸、z軸正方向空間直角坐標系，則，，，，，易知面的一個法向量為，，設平面的法向量為，則：，即，令，則，設平面與平面所成銳二面角為，則，所以其正弦值為.【點睛】關鍵點點睛：（1）利用含30°角的直角三角形性質，結合面面垂直的性質、線面垂直的判定及性質證線線垂直；（2）應用向量法求二面角的余弦值，進而求正弦值即可.19．【答案】（1）；（2）模型二的擬合效果更好.【解析】（1）令，則模型二可化為關于的線性回歸問題，則，，則由參考數據可得，，則模型二的方程為；（2）由模型二的回歸方程可得，，，，，，，故模型二的擬合效果更好.【點睛】本題考查線性回歸方程和殘差平方和的計算，解題的關鍵是正確計算出各個值，避免計算出錯，正確應用公式.20．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）由得，所以橢圓的標準方程為.（2）當直線斜率不存在時，直線與橢圓交于不同的兩點分布在軸兩側，不合題意.所以直線斜率存在，設直線的方程為.設、，由得，所以，.因為，所以，即，整理得化簡得，所以直線的方程為，所以直線過定點.21．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；【解析】解：（1）函數的導數為，①當，即，恒成立，可得恒成立．即有的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當，即，可得的兩根為，②當時，，，可得，或；，可得，即的增區(qū)間為，；減區(qū)間為；③當時，，，，可得；，可得，即的增區(qū)間為；減區(qū)間為；綜上可得：當時，在上單調遞增，無減區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，；減區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為；減區(qū)間為；（2）證明：函數的導數為，由題意可得，是的兩根，且，，可得，設，，又，可得，，由可得，即在遞減，則，，顯然恒成立，則．【點睛】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構造函數法，運用單調性解決，考查化簡整理的運算能力.22．【答案】（1）曲線：，直線：；（2）.【解析】（1）曲線的參數方程為為參數，且，即，∴曲線的直角坐標方程為.直線的極坐標方程為，而，∴直線的直角坐標方程為.（2）直線與軸交點記為，即，其參數方程可