專題強(qiáng)化訓(xùn)練9

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(九)一、選擇題1．(2020·吉林一模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,?x∈D，?y0∈D，使得f(y0)＝－f(x)成立，則稱f(x)為“美麗函數(shù)”．下列所給出的函數(shù)，其中不是“美麗函數(shù)”的是()A．y＝x2 B．y＝eq\f(1,x－1)C．y＝ln(2x＋3) D．y＝2x＋3[解析]由題意知，“美麗函數(shù)”f(x)的值域關(guān)于原點(diǎn)對稱．對于A，函數(shù)y＝x2的值域?yàn)閇0，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，符合題意；對于B，函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，不符合題意；對于C，函數(shù)y＝ln(2x＋3)的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，不符合題意；對于D，函數(shù)y＝2x＋3的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，不符合題意．故選A.[答案]A2．(2020·合肥一模)如圖所示的程序框圖的算法思想源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框圖(圖中“mMODn”表示m除以n的余數(shù))，若輸入的m，n分別為495,135，則輸出的m＝()A．0 B．5C．45 D．90[解析]該程序框圖是求495與135的最大公約數(shù)，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495與135的最大公約數(shù)是45，所以輸出的m＝45.[答案]C3．(2020·貴陽四校聯(lián)考)中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文．”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個(gè)人分錢，他們所分錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分77文，戊、己、庚三人共分75文．問：丙、丁兩人各分多少文錢？()A．丙分34文，丁分31文B．丙分37文，丁分40文C．丙分40文，丁分37文D．丙分31文，丁分34文[解析]解法一：設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)依次是a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，公差為d，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝77，,a5＋a6＋a7＝75，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝77，,a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝75，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝40，,d＝－3，))所以丙所分錢數(shù)a3＝a1＋2d＝34(文)，丁所分錢數(shù)a4＝a1＋3d＝31(文)，故選A.解法二：依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－2d＝77，,a＋d＋a＋2d＋a＋3d＝75，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝31，,a＝－3，))所以丙所分錢數(shù)為a－d＝34(文)，丁所分錢數(shù)為a＝31(文)，故選A.[答案]A4．(2020·江西南昌二模)芻薨，中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無廣．芻，草也．薨，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻薨的字面意思為茅草屋頂．”下圖為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它(無底面且不考慮厚度)需要的茅草面積至少為()A．24 B．32eq\r(5)C．64 D．32eq\r(6)[解析]由三視圖易知，此幾何體的表面由兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)等腰梯形組成(不考慮底面)，則搭建此幾何體需要的茅草面積為S＝2×eq\f(1,2)×4×eq\r(22＋42)＋2×eq\f(1,2)×(4＋8)×eq\r(22＋42)＝32eq\r(5).故選B.[答案]B5．(2020·寧夏銀川一模)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”公式：設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2))).若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為()A.eq\r(3) B．2C．3 D.eq\r(6)[解析]根據(jù)正弦定理，由a2sinC＝4sinA，得ac＝4.再結(jié)合(a＋c)2＝12＋b2，得a2＋c2－b2＝4，則S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))＝eq\r(\f(16－4,4))＝eq\r(3)，故選A.[答案]A6．(2020·福州質(zhì)檢)對于具有相同定義域D的函數(shù)f(x)和g(x)，若存在函數(shù)h(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù))對任給的正數(shù)x，存在相應(yīng)的x0∈D使得當(dāng)x∈D且x>x0時(shí)，總有x→∞時(shí)，f(x)－g(x)→0，則稱直線l：y＝kx＋b為曲線y＝f(x)和y＝g(x)的“分漸近線”．給出定義域均為D＝{x|x>1}的三組函數(shù)如下：①f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)；②f(x)＝10－x＋2，g(x)＝eq\f(2x－3,x)；③f(x)＝eq\f(2x2,x＋1)，g(x)＝2(x－1－e－x)，其中曲線y＝f(x)和y＝g(x)存在“分漸近線”的是()A．①③ B．②C．②③ D．③[解析]f(x)和g(x)存在分漸近線的充要條件是x→∞時(shí)，f(x)－g(x)→0.對于①，f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)，因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，f(x)－g(x)＝x2－eq\r(x)＝eq\r(x)(xeq\r(x)－1)→＋∞，所以①不存在；對于②，f(x)＝10－x＋2，g(x)＝eq\f(2x－3,x)，因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，f(x)－g(x)＝eq\f(1,10x)＋eq\f(3,x)→0，因此，存在分漸近線；對于③，f(x)＝eq\f(2x2,x＋1)，g(x)＝2(x－1－e－x)，因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，f(x)－g(x)＝eq\f(－2,1＋\f(1,x))＋2＋eq\f(2,ex)→0，因此，存在分漸近線，故存在分漸近線的是②③.[答案]C7．(2020·福州質(zhì)檢)馬拉松是一項(xiàng)歷史悠久的長跑運(yùn)動(dòng)，全程約42千米．跑馬拉松對運(yùn)動(dòng)員的身體素質(zhì)和耐力是極大的考驗(yàn)，專業(yè)的馬拉松運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過長期的訓(xùn)練，跑步時(shí)的步幅(一步的距離)一般略低于自身的身高，若某運(yùn)動(dòng)員跑完一次全程馬拉松用了2.5時(shí)，則他平均每分的步數(shù)可能為()A．60 B．120C．180 D．240[解析]2.5時(shí)＝150分，42千米＝42000米，故該運(yùn)動(dòng)員每分的路程為eq\f(42000,150)＝280(米)，由題意及選項(xiàng)知，若每分的步數(shù)為180，則其步幅為eq\f(280,180)≈1.56(米)，符合題意，若每分的步數(shù)為60，則其步幅為eq\f(280,60)≈4.67(米)，不合題意，同理，當(dāng)每分的步數(shù)分別為120,240時(shí)，也不合題意．故選C.[答案]C8．(2020·大連模擬)2008年8月，我國第一條高速鐵路——京津城際鐵路開通運(yùn)營．近年來，中國高鐵成為中國鐵路旅客運(yùn)輸?shù)闹髑?，中國高鐵的安全可靠性和運(yùn)輸效率世界領(lǐng)先．下圖是2013～2018年全國高鐵旅客運(yùn)輸量及增速的統(tǒng)計(jì)圖．則下面結(jié)論中不正確的是()A．2016年旅客運(yùn)輸量增速超過14%B．旅客運(yùn)輸量增速最大的是2014年C．2016～2018年旅客運(yùn)輸量減少D．2016～2018年旅客運(yùn)輸量逐年增長[解析]根據(jù)題圖中的曲線，通過計(jì)算可得A，B正確；題圖中的柱狀圖表示全國高鐵旅客運(yùn)輸量，根據(jù)數(shù)據(jù)得C錯(cuò)誤，D正確．故選C.[答案]C9．(2020·南昌調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝()A．16 B．－16C．a(chǎn)2－2a－16 D．a(chǎn)2＋2[解析]f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a＋2，－4a－4)，g(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a－2，－4a＋12)，并且f(x)與g(x)的圖像的頂點(diǎn)都在對方的圖像上，如圖所示，所以A－B＝－4a[答案]B10．(2020·武漢調(diào)研)我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方(如圖(1)所示)．將1,2，…，9填入3×3的方格內(nèi)(如圖(2)所示)，使三行、三列及兩條對角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15，這個(gè)方陣叫作3階幻方．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3，…，n2填入n×n的方格中，使得每行、每列及兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)方陣叫做n(n≥3)階幻方．記n階幻方的對角線上的數(shù)的和為Nn，如N3＝15，那么N9＝()A．41 B．45C．369 D．321[解析]根據(jù)題意得，幻方對角線上的數(shù)成等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對角線上的首尾兩個(gè)數(shù)相加恰好等于1＋n2.根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得Nn＝eq\f(n1＋n2,2)，則N9＝eq\f(9×1＋92,2)＝369.故選C.[答案]C11．(2020·江南十校聯(lián)考)垃圾分類，一般指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭物盡其用，為響應(yīng)國家號(hào)召，各地區(qū)采取多種措施推行此項(xiàng)活動(dòng)．某商家設(shè)計(jì)了一種新式分類垃圾桶，它是長方體狀，高為0.5米，長和寬之和為2.4米，現(xiàn)用鐵皮制作該垃圾桶，要使得這個(gè)垃圾桶的容量最大(不考慮損耗)，若不考慮桶蓋，則需要耗費(fèi)鐵皮的面積為()A．2.4平方米 B．3平方米C．3.84平方米 D．5.28平方米[解析]設(shè)長和寬分別為x米，y米，則該垃圾桶的體積V＝0.5xy立方米，而0.5xy≤0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝0.72，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1.2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)所需消費(fèi)鐵皮的面積為1.2×1.2＋0.5×1.2×4＝3.84(平方米)，故選C.[答案]C12.(2020·四川遂寧期末)17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一件是勾股定理，另一件是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形)．例如，如圖所示的五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，在其中一個(gè)黃金三角形ABC中，eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2).根據(jù)這些信息，可得sin234°＝()A.eq\f(1－2\r(5),4) B．－eq\f(3＋\r(5),8)C．－eq\f(\r(5)＋1,4) D．－eq\f(4＋\r(5),8)[解析]解法一：由題可知∠ACB＝72°，且cos72°＝eq\f(\f(1,2)BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,4)，cos144°＝2cos272°－1＝－eq\f(\r(5)＋1,4)，則sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).故選C.解法二：由正弦定理得eq\f(sinA,sin∠ABC)＝eq\f(BC,AC)，即eq\f(sin36°,sin72°)＝eq\f(sin36°,2sin36°cos36°)＝eq\f(\r(5)－1,2)，得cos36°＝eq\f(1,\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)＋1,4)，則sin234°＝sin(270°－36°)＝－cos36°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).故選C.解法三：如圖，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD，由題意知∠BAC＝36°，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD＝18°，AD⊥BC，∵eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴sin∠CAD＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(BC,2AC)，即sin18°＝eq\f(\r(5)－1,4)，∴sin234°＝sin(270°－36°)＝－cos36°＝－(1－2sin218°)＝2sin218°－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,4)))2－1＝－eq\f(\r(5)＋1,4).故選C.[答案]C二、填空題13．(2020·海南?？谀M)在R上定義運(yùn)算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]由題意知，(x－a)?(x＋a)<1可化為(x－a)(1－x－a)<1，即x2－x－a2＋a＋1>0，則不等式x2－x－a2＋a＋1>0對任意的x∈R恒成立．則Δ＝1＋4a2－4a－4<0，即4a2－4a－3<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))14．(2020·云南昆明模擬)設(shè)某數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”．若一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d＝________.[解析]由eq\f(Sn,S2n)＝k(k為常數(shù))，且a1＝1，得n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.∵對任意正整數(shù)n，上式恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d4k－1＝0，,2k－12－d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2，,k＝\f(1,4)，))∴數(shù)列{an}的公差為2.[答案]215．(2020·陜西西安一模)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，莞草第1天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時(shí)，蒲草和莞草的高度相同．(結(jié)果采取“只入不舍\”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．[解析]由題意得，蒲草的長度組成首項(xiàng)為a1＝3，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列{an}，設(shè)其前n項(xiàng)和為An；莞草的長度組成首項(xiàng)為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設(shè)其前n項(xiàng)和為Bn.則An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(2n－1,2－1)，令eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(2n－1,2－1)，化簡得2n＋eq\f(6,2n)＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈3，即第3天時(shí)蒲草和莞草長度相等．[答案]316．(2020·洛陽第一次聯(lián)考)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是中國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，也是人類利自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為R的水車的示意圖，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3eq\r(3)，－3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，則下列敘述正確的是________．(填序號(hào))①R＝6，ω＝eq\f(π,30)，φ＝－e