天津市七校（靜海一中楊村中學等）2017-2018學年高二數(shù)學上學期期中試題文（含解析）

/17/17/2017~2018學年度第一學期期中七校聯(lián)考高二數(shù)學試卷一、選擇題：（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．直線與圓的位置關系是（）． A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】直線，即，即直線過點，∵把點代入圓的方程有，∴點在圓的內(nèi)部，∴過點的直線一定和圓相交．故選．2．在梯形中，，，．將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，高為的圓錐，挖去一個相同底面高為的倒圓錐，幾何體的體積為：，綜上所述．故選．3．已知平面，，直線，，且有，，則下列四個命題正確的個數(shù)為（）．①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則；A． B． C． D．【答案】A【解析】若，則，又由，故，故①正確；若，，則或，故②錯誤；若，則與相交、平行或異面，故③錯誤；若，則與相交，平行或，故④錯誤．故四個命題中正確的命題有個．故選．4．已知點在圓和圓的公共弦上，則的最小值為（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓的方程為，圓的方程為，則其公共弦的方程為，又由點在兩圓的公共弦上，則有，即，，，，，即的最小值為．故選．5．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】作出該直觀圖的原圖形，因為直觀圖中的線段軸，所以在原圖形中對應的線段平行于軸且長度不變，點和在原圖形中對應的點和的縱坐標是的倍，則，所以．故選．6．如圖，直三棱柱，，且，則直線與直線所成角的余弦值為（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系．不妨取，則．∴，，，，∴，．∴．故選．7．設點是函數(shù)的圖象上的任意一點，點，則的最大值為（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，得，，對應的曲線為圓心在，半徑為的圓的下部分，∵點，∴，，消去得，即在直線上，過圓心作直線的垂線，垂足為，則．故選．8．已知圓上的兩點，關于直線對稱，且（為坐標原點），則直線的方程為（）． A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】聯(lián)立得，代入整理得，設，，∵，∴，∴，∴，∴或，所以直線的方程為：或，經(jīng)驗證符合題意．故選．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題5分，共30分．請將答案填在答題卡上）9．如圖，直三棱柱的所有棱長都是，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則頂點的坐標是__________．【答案】【解析】∵直三棱柱的所有棱長都是，∴，∴頂點的坐標是，故答案為：．10．經(jīng)過點、的直線的斜率等于，則的值為__________．【答案】【解析】經(jīng)過點、的直線斜率為，∴，解得：．故答案為：．11．將邊長為的正方形沿對角線折起，使，則三棱錐的體積為__________．【答案】【解析】如圖所示，設對角線，∴．∵，∴，又，，∴平面，∴三棱錐的體積，，，．12．一只蟲子從點出發(fā)，先爬行到直線上的點，再從點出發(fā)爬行到點，則蟲子爬行的最短路程是__________．【答案】【解析】如圖所示：設關于直線的對稱點是，連接和直線交于點，則最短，由，解得，故直線和的交點是，故．故答案為：．13．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】由圖得，此圖形是由一個長為，寬為，高為的長方體和一個底面半徑，高為的圓錐組成，所以，．∴體積為．14．若圓與圓恰有三條公切線，則的最大值為__________．【答案】D【解析】曲線可變?yōu)椋海玫綀A心，半徑為．因為圓上有兩點、關于直線對稱，得到圓心在直線上，把代入到中求出，且與直線垂直，所以直線的斜率，設方程為，聯(lián)立得，代入整理得，設，，∴，∴，∴，∴或，所以直線的方程為：或，經(jīng)驗證符合題意．故選．三、解答題：（本大題共6個小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分分）已知圓和直線．（）求圓的圓心坐標及半徑．（）求圓上的點到直線距離的最大值．【答案】見解析．【解析】（）圓，轉(zhuǎn)化為：，則：圓心坐標為，半徑．（）利用（）的結(jié)論，圓心到直線的距離．最大距離為：．16．（本小題滿分分）如圖，四棱錐的底面是菱形，，平面，是的中點，是的中點．（）求證：平面平面．（）求證：平面．【答案】見解析．【解析】（）∵底面是菱形，，∴為正三角形，是的中點，，平面，平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（）取的中點，連結(jié)，，∵，是中點，∴且，∴與平行且相等，∴，∵平面，平面，∴平面．17．（本小題滿分分）已知點．（）求過點且與原點距離為的直線的方程．（）求過點且與原點距離最大的直線的方程，最大距離是多少？【答案】見解析．【解析】（）①當?shù)男甭什淮嬖跁r顯然成立，此時的方程為．②當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，即，由點到直線的距離公式得，解得，∴．故所求的方程為或．（）即與垂直的直線為距離最大的．∵，∴．∴直線為．最大距離．18．（本小題滿分分）如圖，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，，，．（）求證：．（）求證：平面．（）若二面角的大小為，求直線與平面所成的角．【答案】見解析．【解析】證明：（）∵四邊形為矩形，∴，又∵，，平面，，∴平面，∵平面，∴．（）∵，平面，平面，∴平面．∵四邊形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，又，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（）過作與的延長線垂直，是垂足，連結(jié)．∵，，∴就是二面角的平面角，∴，，∴，，∵，，，∴．∵平面，平面，∴平面平面，又平面平面，，∴平面，∴是直線與平面所成的角，∴，∴，∴直線與平面所成的角為．19．（本小題滿分分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，，分別是，的中點．（）求證：平面．（）求二面角的余弦值．（）求點到平面的距離．【答案】見解析．【解析】（）證明：∵平面，平面，∴，∵是等邊三角形，∴，又，∴平面，以為原點建立空間直角坐標系如圖所示：則，，，，，∴，，，∴，，∴，，又，∴平面．（），，設平面的法向量為，則，∴，令得，又為平面的法向量，∴二面角的余弦值為，．（），，，∴直線與平面所成角的正弦值為，∴點到平面的距離為．20．（本小題滿分分）已知圓，是軸上的動點，，分別切圓于，兩點．（）當?shù)淖鴺藶闀r，求切線，的方程．（）求四邊形面積的最小值．（）若，求直線的方程．【答案】見解析．【解析