新教材北師大版必修第二冊第6章4.2第1課時平面與平面平行的性質(zhì)學(xué)案

4.2平面與平面平行第1課時平面與平面平行的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解平面和平面平行的性質(zhì)，并會應(yīng)用性質(zhì)解決問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．了解直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化．(難點(diǎn))1.通過對平面和平面性質(zhì)定理的推導(dǎo)和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．通過利用平面和平面平行性質(zhì)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b圖形語言思考：1.兩個平面平行，那么兩個平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎？提示：不一定．因?yàn)閮蓚€平面平行，所以分別在這兩個平面內(nèi)的任意兩條直線無公共點(diǎn)，它們平行或異面．2．若平面α∥β，點(diǎn)P∈α，a∥β且P∈a，那么一定有a?α嗎？提示：一定有．∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a?α.又∵P∈a，P∈α，∴a?α.1．已知長方體ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定A[由面面平行的性質(zhì)定理易得．]2．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，現(xiàn)給出四個命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))α∥β；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))α∥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))a∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,β∥γ))a∥β.其中正確的命題是()A．①②③ B．①④C．② D．①③④C[①α與β有可能相交；②正確；③有可能a?α；④有可能a?β.故選C．]3．平面α∥平面β，a?α，b?β，則直線a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面D[借助正方體模型求解．]平面和平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中點(diǎn)，D′是B′C′的中點(diǎn)，設(shè)平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判斷直線a，b的位置關(guān)系，并證明．[解]直線a，b的位置關(guān)系是平行．證明如下：∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a，同理可得AD∥b.又D是BC的中點(diǎn)，D′是B′C′的中點(diǎn)，∴DD′BB′，而BB′AA′，∴DD′AA′，∴四邊形AA′D′D為平行四邊形，∴A′D′∥AD，因此a∥b.利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟?1?先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條；?2?判定這兩個平面平行?此條件有時題目會直接給出?；?3?再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上；?4?由定理得出結(jié)論.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點(diǎn)，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點(diǎn)．[證明]∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四邊形ANC1M為平行四邊形，∴AN＝C1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)AC，∴N為AC的中點(diǎn)．與平行性質(zhì)定理有關(guān)的計(jì)算問題[探究問題]1．平面和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是什么？提示：平面和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：面面平行線線平行，實(shí)現(xiàn)了面面平行和線線平行的相互轉(zhuǎn)化．2．應(yīng)用平面和平面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是什么？提示：在已知兩個平面平行的條件下，應(yīng)用平面和平面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是找到和這兩個平面都相交的第三個平面，發(fā)現(xiàn)交線，得到兩條交線平行．【例2】如圖，已知平面α∥β，Pα且Pβ，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．[思路點(diǎn)撥]eq\x(平面α∥β)→eq\x(AB∥CD)→eq\x(\f(PA,AC)＝\f(PB,BD))→eq\x(求BD的長)[解]∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD，可得eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD).∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，∴eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD)，解得BD＝eq\f(24,5).1．若例2改為：若點(diǎn)P在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．[解]由例2可得eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得eq\f(6,3)＝eq\f(PB,8)，解得PB＝16，∴BD＝PB＋PD＝24，∴BD的長為24.2．將例2改為：如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的長．[解]如圖所示，連接AF，交β于點(diǎn)G，則點(diǎn)A，B，C，G共面．∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(AG,GF)，同理，有AD∥GE，eq\f(AG,GF)＝eq\f(DE,EF)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).又eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,3)，∴AB＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(15,4)cm，BC＝eq\f(3,4)AC＝eq\f(45,4)cm.∴EF＝3DE＝3×5＝15cm.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟1．平面和平面平行的性質(zhì)定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．2．常用的面面平行的其他幾個性質(zhì)(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若平面α∥β，則平面α內(nèi)任意一條直線都平行于平面β． ()(2)若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，則l∥m． ()(3)已知兩個平面平行，若有第三個平面與其中的一個平面平行，那么它與另一平面也平行． ()[提示](1)正確．因?yàn)槠矫姒痢桅?，所以平面α?nèi)任意一條直線和平面β沒有交點(diǎn)，所以和平面β平行．(2)錯誤．直線l和m可能平行或異面．(3)正確．[答案](1)√(2)×(3)√2．若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)M∈β，過點(diǎn)M的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．有且只有一條與a平行的直線D[由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項(xiàng)正確．]3．如圖所示，直線a∥平面α，Aα，并且a和A位于平面α兩側(cè)，點(diǎn)B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，則EF＝__________.eq\f(3,2)[由于點(diǎn)A不在直線a上，則直線a和點(diǎn)A確定一個平面β，所以α∩β＝EF.因?yàn)閍∥平面α，a?平面β，所以EF∥a.所以eq\f(EF,BC)＝eq\f(AF,AC).所以EF＝eq\f(AF×BC,AC)＝eq\f(3×4,5＋3)＝eq\f(3,2).]4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱D