2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用整數(shù)集的概念與列舉法得到集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】設(shè)，則，由得，即在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓.故選：B.3．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的方程可化為x2y故其準(zhǔn)線方程為y故選：D4．已知是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，那么“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】分別從充分性和必要性入手進(jìn)行分析即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，充分性：當(dāng)，時(shí)，，無(wú)法判斷其正負(fù)，顯然數(shù)列為不一定是遞增數(shù)列，充分性不成立；必要性：當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，可得，必要性成立.故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明或判斷充分性和必要性的常用方法：①定義法，②等價(jià)法，③集合包含關(guān)系法.5．過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．則四邊形的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線性質(zhì)可得，由勾股定理表示出，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，由切線性質(zhì)可知，，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，點(diǎn)到直線距離，，要使最小，需使，故.故選：C6．已知雙曲線C：的一條漸近線的斜率為，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦距可得雙曲線C：的焦距，根據(jù)雙曲線C：的一條漸近線的斜率為，可得，結(jié)合求得，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線C：的一條漸近線的斜率為，所以，即，橢圓的焦距為，所以雙曲線C：的焦距，即，又因，解得，所以，所以C的方程為.故選：B.7．已知等比數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且，，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到前n項(xiàng)積為，再解一元二次不等式即可.【詳解】等比數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且，，則，，有，，前n項(xiàng)積，∵，則，即，∵，∴，∴正整數(shù)n的最小值為12.故選：C．8．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N兩點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，給出下列結(jié)論：①在M，N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，⊥平面；②在平面上存在一點(diǎn)P，使得平面；③三棱錐的體積為定值；④以點(diǎn)D為球心作半徑為的球面，則球面被正方體表面所截得的所有弧長(zhǎng)和為．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④【答案】D【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，由于，故與不垂直，所以①錯(cuò)誤；②證明出線面平行，從而平面上存在一點(diǎn)P，使得平面；③作出輔助線，利用求出體積為定值；④得到球面被正方體表面所截得的弧為個(gè)半徑為的圓弧，求出弧長(zhǎng)和.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1，對(duì)于①，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，則，因?yàn)?，所以與不垂直，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，平面與平面為同一個(gè)平面，而，所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，總有平面，從而有平面，所以②正確；如圖3，連接，交于點(diǎn)O，則⊥，故為三角形的高，且，所以，又⊥平面，故，所以③正確；，以點(diǎn)D為球心作半徑為的球面，球面被正方體表面所截得的弧為以為圓心，個(gè)半徑為的圓弧，弧長(zhǎng)和為，所以④正確，故選：D．9．已知函數(shù)，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程是B．是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．函數(shù)在上有個(gè)極值點(diǎn)D．函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)【答案】D【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷選項(xiàng)A，通過(guò)導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性和極值，判斷選項(xiàng)B，進(jìn)一步通過(guò)的圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)多次求導(dǎo)，判斷的單調(diào)區(qū)間和極值判斷選項(xiàng)C.【詳解】∵，∴定義域?yàn)椋?，?duì)于A，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在原點(diǎn)處的切線的斜率，∴函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程為，即，故選項(xiàng)A說(shuō)法正確；對(duì)于B，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，∴在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故選項(xiàng)B說(shuō)法正確；對(duì)于C，∵，∴，令，則，令，則當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，且，，∴，使，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，∵，∴，，∴，又∵，∴，使，，使，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，∴函數(shù)在上有個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B的判斷知，的極大值為，極小值為，又∵，∴與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如下圖：如圖可知，與在同一平面直角坐標(biāo)系下有個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D說(shuō)法錯(cuò)誤.綜上所述，說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)為D.故選：D.10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．?dāng)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列 B．C．既無(wú)最大值也無(wú)最小值 D．【答案】D【分析】根據(jù)間的關(guān)系求出，進(jìn)而判斷A,B；然后求出，根據(jù)數(shù)列的增減性判斷C；最后通過(guò)等比數(shù)列求和公式求出，進(jìn)而判斷D.【詳解】由題意，時(shí)，，又，解得：，時(shí)，，則，又，所以數(shù)列從第2項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列.A錯(cuò)誤；易得，，則，B錯(cuò)誤；時(shí)，，時(shí)，，而是遞減數(shù)列，所以時(shí)，.綜上：1.C1.C1.C錯(cuò)誤；時(shí)，，滿足題意；時(shí)，，于是，.D正確.故選：D.二、填空題11．已知向量，，若，則___________.【答案】##2.5【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再利用平面向量線性運(yùn)算和模的坐標(biāo)表示求得結(jié)果.【詳解】向量，，若，有，，，，.故答案為：12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則____________.【答案】27【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合可得，再根據(jù)等差數(shù)列前奇數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，.故答案為：2713．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若是奇函數(shù)，則的可能取值有__________個(gè).【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移得到解析式，由是奇函數(shù)解出的取值，再由，確定取值的個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，∴，若是奇函數(shù)，則有，解得，由，則時(shí)，；時(shí)，，的可能取值有2個(gè).故答案為：214．設(shè)常數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)在時(shí)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】令，方程轉(zhuǎn)化為于在時(shí)有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】依題意有在時(shí)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)顯然不成立，故，設(shè)，由得，方程等價(jià)于在時(shí)有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，所以，解得則實(shí)數(shù)的取值范圍是·故答案為：15．給出如下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①；②對(duì)，都，使得；③，使得；④對(duì)，都有其中正確的有___________.（填上所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)于①作差法比較大??；由單調(diào)性判斷值域，來(lái)判斷②是否正確；對(duì)于③化簡(jiǎn),構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決是否存在的問(wèn)題；作差，構(gòu)造函數(shù)求最值判斷④是否成立．【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋?，即，故①正確；，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，都有，找不到，使得，故②錯(cuò)誤；，令，則，故，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，，即，使得，故③正確；設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，有最大值，所以，即，得所以對(duì)，都有，④正確；故答案為：①③④三、解答題16．某校在2021年的綜合素質(zhì)冬令營(yíng)初試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，并將成績(jī)共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．且同時(shí)規(guī)定成績(jī)小于分的學(xué)生為“良好”，成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生為“優(yōu)秀”，且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格，面試通過(guò)者將進(jìn)入復(fù)試．(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)；(2)如果用分層抽樣的方法從“良好”和“優(yōu)秀”的學(xué)生中共選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人發(fā)言，那么這兩人中至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？如果第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列，規(guī)定初試時(shí)筆試成績(jī)得分從高到低排名在前18%的學(xué)生可直接進(jìn)入復(fù)試，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時(shí)筆試成績(jī)至少得到多少分才能直接進(jìn)入復(fù)試？【答案】(1)(2)；初試時(shí)筆試成績(jī)至少得到分才能直接進(jìn)入復(fù)試【分析】（1）根據(jù)最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)，即可得到答案；（2）先計(jì)算出人中“良好”的學(xué)生和“優(yōu)秀”的學(xué)生的人數(shù)，再古典概型的公式即可求解；由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列和“優(yōu)秀”學(xué)生的頻率為，列方程組求出，接著判斷出初試時(shí)筆試成績(jī)得分從高到低排名在18%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組，設(shè)為至少x分能進(jìn)入面試，由此可得，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為；（2）“良好”的學(xué)生頻率為，“優(yōu)秀”學(xué)生頻率為；由分層抽樣可得“良好”的學(xué)生有人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為A，B，C，兩名良好的學(xué)生分別記為a，b，則這5人中選2人的基本事件有：共10種，其中至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件有：共9種，所以至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列得，①又三，四，五組的頻率和為，②由①②可得第五組人數(shù)頻率為，第四、五組人數(shù)的頻率為，故初試時(shí)筆試成績(jī)得分從高到低排名在18%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組，設(shè)至少得x分能進(jìn)入面試，則，即根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時(shí)筆試成績(jī)至少得到分才能直接進(jìn)入復(fù)試．17．如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，，，，為線段上一點(diǎn)，且.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以為的中點(diǎn).可證為的中點(diǎn)，即可求證，由線面平行的判定定理即可證明.（2）連接，可證明平面，即可建立空間直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)平面的法向量即可求解二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以為的中點(diǎn).又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）連接，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，而，平面，所以平?因?yàn)樵诹庑沃校?，所以是等邊三角形，?分別以直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，由題意得，，，，由，得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得，取平面的一個(gè)法向量為，則，由圖知，二面角的大小為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18．中，已知.邊上的中線為.(1)求；(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使存在且唯一確定，并求和的長(zhǎng)度.條件①：；條件②；條件③.【答案】(1)(2)選擇條件②和條件③；.【分析】（1）利用三角恒等變換對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯(cuò)誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角形面積公式可得，利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，進(jìn)而得到，在中利用余弦定理可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，，又，解得：，故.（2）解：由（1）得，又余弦定理得：，所以，而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯(cuò)誤，由條件②，條件③，解得，由余弦定理可得，所以.在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，在中，由余弦定理可得，解得.故.19．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，0），且|AF|＝1．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q，求∠PFQ的大?。敬鸢浮?1)(2)∠PFQ＝90°【分析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（1）由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F(xiàn)（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，．直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得．所以，．因?yàn)?，所以∠PFQ＝90°．綜上，∠PFQ＝90°．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處的切線方程即可.（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，求導(dǎo)得，構(gòu)造中間函數(shù)求判定的單調(diào)性和零點(diǎn)的區(qū)間，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)研究在所在區(qū)間的符號(hào)，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由，即，令且定義域?yàn)?，所以，?/p>