高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析的研究與案例

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析的研究與案例

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所應(yīng)達(dá)成的有特定意義的一種綜合性能力，是數(shù)學(xué)課程的基本理念和總體目標(biāo)的體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的，它能夠很好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六種核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[1].本人通過對新課標(biāo)的解讀與深入研究，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐與思考，就核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析做一些有益的探究與嘗試.一、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的定義及相關(guān)價(jià)值數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息、利用圖表展示數(shù)據(jù)、構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)、解釋數(shù)據(jù)獲取知識與結(jié)論[1].其中數(shù)據(jù)包括記錄、調(diào)查和試驗(yàn)獲得的數(shù)集，還包括通過互聯(lián)網(wǎng)、文本、聲音、圖像、視頻等數(shù)字化得到的數(shù)集.學(xué)科價(jià)值：數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會生活的各個方面.具體表現(xiàn)：收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，獲得和解釋結(jié)論，概括和形成知識.高中階段數(shù)據(jù)分析的幾個具體表現(xiàn)用可圖1表示.為了增強(qiáng)應(yīng)用性和時代感，在教學(xué)中我們可以利用信息技術(shù)、互聯(lián)網(wǎng)等途徑收集數(shù)據(jù)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去關(guān)注、分析和解釋環(huán)保、人口、金融、軍事、體育等社會熱點(diǎn)問題，從而既提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，又培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)信息素養(yǎng)，同時激發(fā)學(xué)生的主人翁意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新意識.教育價(jià)值：在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗(yàn)[1]，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.二、數(shù)據(jù)分析的目的和作用數(shù)據(jù)分析的目的是把隱沒在一大批看來雜亂無章的數(shù)據(jù)中的信息集中、萃取和提煉出來，以找出所研究對象的內(nèi)在規(guī)律.數(shù)據(jù)分析，共有三大作用.現(xiàn)狀分析：現(xiàn)狀指的是已經(jīng)發(fā)生的事情或現(xiàn)在所發(fā)生的事情.通過分析考察對象的整體情況，明確對象的現(xiàn)狀，而現(xiàn)狀則可以通過統(tǒng)計(jì)已有的數(shù)據(jù)來分析.原因分析：對已經(jīng)發(fā)生的事情，了解考察對象存在的某種隱患，就要分析該隱患，了解隱患為什么會存在？是如何產(chǎn)生的？預(yù)測分析：在分析了現(xiàn)狀與原因后，通過已掌握的數(shù)據(jù)，預(yù)測接下來的發(fā)展趨勢等.其實(shí)三種作用，實(shí)際上就是分析考察對象的過去、現(xiàn)在和未來.掌握考察對象的過去運(yùn)行情況，分析現(xiàn)狀，預(yù)測考察對象的發(fā)展趨勢.數(shù)據(jù)中隱藏著重要信息；要讓學(xué)生養(yǎng)成收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、用數(shù)據(jù)說理的習(xí)慣；意識到數(shù)據(jù)分析方法的多樣性與合理性；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性.三、數(shù)據(jù)分析的類型在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，一般的將數(shù)據(jù)分析劃分為描述性統(tǒng)計(jì)分析、探索性數(shù)據(jù)分析以及驗(yàn)證性數(shù)據(jù)分析.其中，探索性數(shù)據(jù)分析側(cè)重于在數(shù)據(jù)之中發(fā)現(xiàn)新的特征，而驗(yàn)證性數(shù)據(jù)分析則側(cè)重于已有假設(shè)的證實(shí)或證偽.描述性統(tǒng)計(jì)分析：是指表示數(shù)量的中心位置的同時，還能表示數(shù)量的變異程度（即離散程度）.描述性統(tǒng)計(jì)分析一般有兩種方法可以進(jìn)行：頻數(shù)分布分析、列聯(lián)表分析.探索性數(shù)據(jù)分析：是指為了形成值得假設(shè)的檢驗(yàn)而對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法，是對傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)手段的補(bǔ)充.驗(yàn)證性數(shù)據(jù)分析：已經(jīng)有事先假設(shè)的關(guān)系模型等，要通過數(shù)據(jù)分析來對你的假設(shè)模型進(jìn)行驗(yàn)證.四、數(shù)據(jù)分析的步驟數(shù)據(jù)分析有極廣泛的應(yīng)用范圍，數(shù)據(jù)分析過程的主要活動由識別信息需求、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、評價(jià)并改進(jìn)數(shù)據(jù)，典型的數(shù)據(jù)分析可包含以下三個過程：1.探索性數(shù)據(jù)分析：剛獲得的數(shù)據(jù)很可能看不出規(guī)律，通過作圖、造表、用各種形式的方程擬合，計(jì)算某些特征量等手段探索規(guī)律性的可能形式.2.模型選定分析：在探索性分析的基礎(chǔ)上通過進(jìn)一步的分析從中挑選可能的模型.3.推斷分析：借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對所選定模型或估計(jì)的精確程度與可靠程度作出推斷.由此我們可得到數(shù)據(jù)分析的步驟：1.分析思路；2.數(shù)據(jù)采集；3.數(shù)據(jù)處理；4.數(shù)據(jù)分析；5.圖表展示；6.報(bào)告.五、數(shù)據(jù)分析的學(xué)業(yè)質(zhì)量要求及水平劃分依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，每個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平都是從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思這四個方面表現(xiàn)出來，它們也是描述核心素養(yǎng)水平的四個維度，并且每一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為三個水平，數(shù)據(jù)分析也劃分為三個水平，也是從上述四個方面來說明（見下表）.水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求，也是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù)；水平二是高考的要求，也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成提出的要求，可作為大學(xué)自主招生的參考[1][2].六、高中階段數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)載體通過解讀領(lǐng)會數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要義不難看出，能力培養(yǎng)的前提是要有合適的知識土壤，這就要明了素養(yǎng)知識和與之對應(yīng)的能力載體，這是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提.高中階段數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)載體主要體現(xiàn)在以下幾個方面：統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動.七、高中數(shù)學(xué)中的常見數(shù)據(jù)分析特征量高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的常見特征量，如頻率、概率、眾數(shù)、中位數(shù)、平均值（期望）、方差（極差）等，通過求回歸方程，選擇函數(shù)模型等，對數(shù)據(jù)簡單的分析、處理，并注重?cái)?shù)據(jù)的特征與選擇模型的聯(lián)系.八、案例分析新課標(biāo)要求教師在教學(xué)活動中落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”[1]，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，達(dá)到相應(yīng)水平的要求，部分學(xué)生可以達(dá)到更高水平的要求.高考中數(shù)據(jù)分析考查方式：通過對概率與統(tǒng)計(jì)問題以及數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動中大量數(shù)據(jù)的分析和加工，看學(xué)生能否獲得數(shù)據(jù)提供的信息及其所呈現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)而分析隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以此考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).筆者選取部分案例探討如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).案例1（2018年高考課標(biāo)Ⅰ卷，理3）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖（圖2）：則下面結(jié)論中不正確的是（）（A）新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少.（B）新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上.（C）新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍.（D）新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半.解析假設(shè)建設(shè)前，收入為a，則建設(shè)后收入為2a，所以種植收入在新農(nóng)村建設(shè)前為60%·a，建設(shè)后為37%·2a；其他收入在新農(nóng)村建設(shè)前為4%·a，建設(shè)后為5%·2a，養(yǎng)殖收入、在新農(nóng)村建設(shè)前為30%·a，建設(shè)后為30%·2a.故不正確的是（A）.評析本題以經(jīng)濟(jì)增長比例的餅圖為背景，考查統(tǒng)計(jì)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).案例2（2017年高考課標(biāo)Ⅲ卷，理3）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖（圖3）.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）（A）月接待游客量逐月增加.（B）年接待游客量逐年增加.（C）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月.（D）各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn).答案：（D）.評析通過收集并整理了2014年1月2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制折線圖，讓學(xué)生讀懂圖形語言，從而表達(dá)出月接待量，年接待量和每月的接待客量的波動情況，讓學(xué)生學(xué)會用圖形語言分析數(shù)據(jù).案例3（2016年高考課標(biāo)Ⅲ卷文理）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖（圖4）.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的（）.（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上.（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大.（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同.（D）平均氣溫高于20℃的月份有5個.答案：（D）.評析通過對一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.把相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和加工，讓學(xué)生獲得數(shù)據(jù)提供的信息及其所呈現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)而分析相關(guān)的本質(zhì)特征，以此考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).考點(diǎn)：平均數(shù)，統(tǒng)計(jì)圖.案例4（2016年高考北京理數(shù)）袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）.（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球.（B）乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多.（C）乙盒中紅球不多于丙盒中紅球.（D）乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多.答案：（C）.評析本題將小球與概率知識結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應(yīng)的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計(jì)數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序（有規(guī)律），從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應(yīng)用.考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式，概率統(tǒng)計(jì)分析.案例5（2017年高考課標(biāo)Ⅰ卷，理19）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件；就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ii）下表是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：評析通過從生產(chǎn)線上收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型（正態(tài)分布）對信息進(jìn)行分析（求取平均數(shù)、方差、理解3σ原則）推斷，獲得結(jié)論.本題重點(diǎn)考查正態(tài)分布、平均數(shù)、方差的概念等知識，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、分析解決問題的能力和應(yīng)用能力，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).案例6某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖5是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.（1）請估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25，30）內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，25）或[30，35）內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.評析本題考查統(tǒng)計(jì)中的概率計(jì)算、隨機(jī)變量的方差計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)能力要求.案例7（2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷，理19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖（圖6）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.下表中（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（i）年宣傳費(fèi)x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時，年利率的預(yù)報(bào)值最大？評析本題涉及非線性擬合，線性回歸方程求法，以及利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測；凸現(xiàn)了創(chuàng)新應(yīng)用意識，培育了數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).以上案例充分說明了，數(shù)學(xué)絕不僅等同于解題，數(shù)學(xué)與我們的學(xué)習(xí)、生活、工作息息相關(guān).這是認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.生活中的抽獎問題的獎項(xiàng)設(shè)計(jì)，高爾頓板的游戲問題[3]，賣冷飲杯數(shù)與溫度的關(guān)系，城市上下班人數(shù)與潮汐車道的安排等等，通過數(shù)據(jù)分析都可以得到較好的解決結(jié)果.發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)