2019-2020年冀教版數(shù)學(xué)八年級上冊復(fù)習(xí)鞏固三十二

2019-2020年冀教版數(shù)學(xué)八年級上冊復(fù)習(xí)鞏固三十二

>第1題【單選題】

如圖，CB=CA,NACB=90。，點D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG_LCA,

交CA的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q,給出以下結(jié)論：

①AC=FG;②SAFAB：S四邊形CBFG=1:2；

③NABC=NABF;（4）ADA2=FQ?AC,

其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

【答案】：

【解析】：

【解答】①...四邊形ADEF為正方形，

.*.AD=AFrzFAD=90°f

.-.zFAG+zCAD=90°r

又?.

FGJ_CAf

.^FGA=90°f

.\zFAG+zAFG=90°r

.\zCAD=zAFGf

在二AGF和二DCA中，

NG=NC

乙AFG=￡CAD，

，4F=JD

???SGF^DCA(AAS),

/.FG=CA.

故①正確.

二

②：BCAC,FG=CAf

.\BC=FG,

又?.?

FGJ_CArzACB=90",

.*.FGllBC,

二.四邊形BCGF是平行四邊形，

XvzACB=90°,

.??平行四邊形BCGF是矩形，

.".zCBF=90°r

「?SAFAB=JBF?BC,

s四邊形CBFG=BF?BC,

?$FAB:S四睡CBFG=1:2；

故②正確.

@/CA=CBrzC=zCBF=90°,

/.zBAC=zCBA=45°f

??.NFBA=45°,

故③正確.

??/zADE=zCBF=90°,

/.zADC+zBDQ=90°,

zBQD+zBDQ=90°,

.\zADC=zBQD,

又zFQE=NBQD,

..zADC=zFQEfzE=zC=90°,

ACD-FEQ,

.-.AC:FE=AD:FQr

又.

FE=ADf

2

.-.AD=FQ-ACr

故④正確.

故答案為：D.【分析】①由正方形性質(zhì)得AD=AF,NFAD=90°,又知FG_LCA,根據(jù)同角的余角相等得出NCAD=NAFG,再

由AAS得出二AGa二DCA,由全等三角形的性質(zhì)得出FG=CA,故①正確.

②由得出二颯邊平行且聘的四瞬旃行四邊

BOAC,FG=CABCFG,m§5SFG±CA,zACB=90°^tHFGllBCr

形，再由有一個角是直角的平行四邊形曼形，從而得出S,FAB二卷S四邊形CBFG，故②正確.

③由得出。故③正確.

CA=CB,zC=zCBF=90°rNBAC=NCBA?FBA=45，

④由同角的余角相超出NADONBQD二NFQE,5Z.zE=zC=90°,領(lǐng)相形的判定得出工ACD-^FEQ,由相形的

性質(zhì)得AC:FE=AD:FQ,

又二從而得出二,故④正確.

FEADrAD2FQ?AC

>第2題【單選題】

四個命題：①三角形的一條中線能將三角形分成面積相等的兩部分；②有兩邊和其中一邊的對角分別

相等的兩個三角形全等；③點P(1,2)關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為(-1,-2)；④對角線互相垂直的四

邊形是菱形，其中正確的是()

A①②

、

B①③

、

c②③

、③④

D

、

【答案】：

B

【解析】：

【解答】解:①三角形的一條中線能將三角形分成面積相等的兩部分，正確；②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角

形全等，錯誤；

③點P(1,2)關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為(-1,-2),正確；

④對角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，故錯誤.

綜上所述,正確的是①@.

蠅B.

【分析】根據(jù)三角形的面積，全等三角形的判定,關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，菱形的判定定理對各小題分析判斷即可得

解.

>第3題【單選題】

如圖，BE=CF,AB=DE,添加下列哪些條件可以推證△ABCgZ\DFE()

A、BC=EF

B、NA=ND

C、AC^DF

D、AC=DF

【答案】：

D

【解析】：

L】解：可融口AC=DF,睜BilD諭NBJDEF,

證明添加AC=DF后成立，

\BE=CFf

?

.BC=EFr

又

AB=DE,AC=DFf

?XABC^DEF.

【分析】要使二ABC乎DEF,已知AB=ED,BE=CF,具備了兩條邊對應(yīng)相等,還缺少邊或角對應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及

圖形進行選擇即可.

＞第4題【單選題】

小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4）,你認為將其中的哪一塊

帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶（）去.

A、第1塊

B、第2塊

C、第3塊

D、第4塊

【答案】：

D

【解析】：

L］解：由圖可知,帶第4—,符合“角邊角"，可以配一塊與耐大小一腌三角形蛔.

腌D.

【分析】根據(jù)全等三角形的判斷方法解答.

＞第5題【單選題】

如圖，AABCgZiDEF,則NE的度數(shù)為（）

B、40°

C、62°

D、38。

【答案】：

D

【解析】：

【行】解：->ABC^DEFrzA=80°rzC=62°r.\zF=zC=62°rzD=zA=80°f

/.zE=180°-zD-zF=180°-80°-62°=38°r

蠅D.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NF=NC=62°,/D=/A=80°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/E的度數(shù)即可.

第6題【單選題】

已知在△ABC和△DEF中，ZA=ZD=90°,則下列條件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）

A、AB=DE,AC=DF\xad

B、AC=EF,BC=DF\xad

C、AB=DE,BC=EF\xad

D、ZC=ZF,AC=DF

【答案】：

B

【解析】：

【解答】已知在SBGffi-DEF中fzA=zD=90°,A項利用SAS可判定兩個三角形全等，C項利用HL可判定兩個三角形全等;D

項利用ASA可判定兩個三角形全等，故B項無法判定兩個三角形全等.【分析】由題意可畫出圖形標(biāo)出直角,利用SAS;HLASA

都可判定兩個直角三角形全等.

第7題【單選題】

如圖，AB=AC,D、E在BC上且AD=AE,AFJLBC于點F則圖中全等三角形有（

A、l對

B,2對

C、3對

D、4對

【答案】：

D

【解析】：

【解答】解:vAFiBC,

.■.zAFB=zAFC=90",

在Rt,ABF和Rt，ACF中

LiB=AC

L4F=.1F

.-.Rt-ABfeRt-ACF(HL),

同理可得Rt工ADF在Rt工AEF,

/.BF=CF,DF=EF,

.\BD=CE,BE=CD,

在，ABD和二ACE中

LIB=AC

\BD=CE

.-.△ABDs^ACE(SSS),

同理可得二ABE率ACDr

綜上可知全等的三角形共有4對，

否D.

【分析】由HL可羿」定工ABF^LACFMJADaLAEF,1g—可半”定工ABD更^ACE和二ABE於口ACD,可得出答集.

第8題【單選題】

下列命題中，是真命題的是()

A、同位角相等

B、相等的角是對頂角

C、同角的余角相等

D、過一點有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】：

c

【解析】：

【解答】解：A、兩直線平行，同位角互補，故選項錯誤；B、相等的角不頂角，故選項錯誤；

C、同角的余角相等是正確，是真命題，故選項正確；

D、平面內(nèi)過一點有且只有與已知直線平行，故選項錯誤.

SS^C.

【分析】分別利用平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)及平行公理對四個選項逐一判斷后即可確定正確的選項.

>第9題【單選題】

下列說法中，正確的有（）①長方體、直六棱柱、圓錐都是多面體；②腰相等的兩個等腰三角形全

等;③有一邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;④兩直角邊長為8和15的直角三角形，斜邊上的中

線長9;⑤三角之比為3：4：5的三角形是直角三角形

AOaJ

Bla^

C2aJ

D、3個

【答案】：

B

【解析】：

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定等知識點對各個選項進行分析，從而得到正確的個

數(shù)。

【解答】①錯誤，園惟是曲面體；

B誤，不符合全等三角形的判定翻！;

③正確，因為可根據(jù)AAS判定全等;

④I艘，因為斜邊長=舊I諄=17，那么斜邊上的中線長為&5,而不是9;

淵誤,根據(jù)三角形內(nèi)角和可求得這三個角分別為：45160°,75"不是直角三角形，故本選項錯誤；

9B.

【點評】此題綜合了長方體、直六棱柱、圓錐的性質(zhì)、全等三角形的判定在、直角三角形的判定定理等，難度適中.

>第10題【單選題】

有下列命題：

①若M2=x,則x=l；②若a八2=M2,則a二b；③線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

④相等的弧所對的圓周角相等；其中原命題與逆命題都是真命題的個數(shù)是（）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

【答案】：

B

【解析】：

【癬答］解：若x2=x,貝！］x=13奴=0,所以(豳誤;

Sa2=b2,貝Da=±b，所以加吳；

線段垂直平分線上的點到穌兩潴的距離相等，所以③正確；

相等的弧所對的國周角相等,所以④正確.四個命題的逆命題都是真命題.

故答案為：B.

【分析】(1)根據(jù)一元二^根的判別式大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根可知，方程漏掉了一個根；

(2)根據(jù)平方根的意義可得a=±b;

(3)穌的垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點到段段兩端的距離相等;線段的垂直平分線的判定：到愛段兩端點距離

相等的點在這個角的平分線上；

(4)根據(jù)國周角色和圓周角和弧之間的關(guān)系可知：相等的弧所對的國周角相等;在同園痔園中，相等的圓周角所對的弧相

等.

第11題【填空題】

如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：

①分別以B,C為圓心，以大于有誤BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M,N；

②作直線MN交AB于點D,連接CD.

若CD=AC,ZA=50",貝！|NACB=.

【答案】：

【第1空】105°

【解析】：

【解答】根據(jù)AC=AD可得:zCDA=zA=50°,貝吐ACD=80°,根據(jù)中垂線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)可得：zB=zBCD=25°r處1

zACB=80+25=105°.

【分析】根據(jù)等腰對等角可知NCDA=NA=50"由三角形的內(nèi)角和可求NACD=801由作圖可知,點D在BC的中垂線上，

DB+DC,zB=zDCB,

再由外角的性質(zhì)可求NDCB,的度數(shù)25。，從而可求/ACB.

＞第12題【填空題】

命題"等腰三角形的兩個底角相等."的逆命題是.

【答案】：

【第1空】有兩個角相等的三角形是等腰三角形

【解析】：

【解答】對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另夕I一f'命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中

一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題.由此可得”等腰三角形的兩個底角相等"的逆命題是"兩個角相等

的三角形是等腰三角形.

［分析］根據(jù)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另夕I一f-命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，

其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題.

＞第13題【填空題】

如圖，AABC中，D在AC邊上，BD=CD,E在BC邊上，AE=AB,過點E作EF_LBC,交AC于F.若AD=5,

CE=8,則EF的長為.

A、6

【答案】：

【第1空】6

【解析】：

【解】解：在AC上隨AG=BD,1SSEG，作GM_L.BC于M./AE=AB,BD=CD,

/.zC=zDBC,zABE=zABE

X/zAEB=zC+zEACfzABE=zCBD+zDBA

/.zABD=zEAC,

在-ABDffl二EAG中，

.如=AE

乙BAE=ZEAG，

BD=AG

,YABDR=EAG

所以AD=EG=5,

?/AG=BD=DC,

,-.AD=CG=GE=5r

???GM1.EC,

.-.EM=CM=4f

在Rt<MG中，GM==3f

vEF±BCfGM±BC,

.-.MGllEF,-/EM=MC,

.\FG=GC,

.'.GM=1訐r

.\EF=6.

故答案為6.

u

°EMC

【分析】在AC上截取AG=BD,連接EG,作GM_LBC于M.只要證明-ABD空二EAG,推出AD=EG=5,由AG=BD=DC,推出

AD=CG=GE=5,由GM_LEC,推出EM=CM=4,在RtaCMG中，GM=J5?_42=3,由MGllEF,EM=MC,推出FG=GC,

可得GM=1EF,由此即可解決問題.

A第14題【解答題】

某游樂場有兩個長度相同的滑梯，要想使左邊滑梯BC的高度AC與右邊滑梯EF的水平方向的長度DF

相等，則兩個滑梯的傾斜角NABC與NDFE的大小必須滿足什么關(guān)系？說明理由.

BAD

【答案】：

解:zABC+zDFE=90°f

理由：由題意可得：二ABC與，DEF均是直角三角形，且BC=EF,AC=DF,

在R"AB函RkDEF中，

\BC=EF

\AC=DF'

/.RUABC^Rt-DEF(HL),

?.NABC=ND訐,

?/zDEF+zDFE=90°f

.\zABC+zDFE=90°.

【解析】：

【分析】由圖可得，MBC與口DEF均是直角三角形，由已知可根據(jù)HL判定兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，不

難求解.

>第15題【解答題】

如圖，已知點A、F、C在同一直線上，Z1=Z2,AE=CF,AD=CB.判斷BE和DF的位置關(guān)系，并說

明理由.

I)

RC

【答案】：

,

解:BEllDFr理由如下:.AE=CF,

.\AF=CE,

?.?在二AFD和二CEB中，

L4F=CE

Zl=Z2，

\.4D=CB

.“AFD芋CEB,

.,.zAFD=zBEC,

,\BEllDE

【解析】：

先判斷出BE和DF的是BEllDF,根據(jù)已知豺牛證明出口AFD總匚CEB貝!］有/AFD=/BEC,/AFD和/BEC是BE和

DF的內(nèi)錯角，領(lǐng)內(nèi)錯角相等兩直線平行可知BEIIDE

A第16題【解答題】

如圖，AC和BD相交于點O,OA=OC,OB=OD,求證：AB//CD.

【答案】：

證明:,.,OA=OC,zAOB=zCOD,OB=OD,

?,1AOB*COD(SAS).

.\zA=zC.

/.ABllCD.

【解析】：

【分析】首先利用SAS判斷出,AOB乎COD,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出zA=zC,然后利用內(nèi)錯角相等,兩直線平行

得出ABllCD.

＞第17題【作圖題】

如圖網(wǎng)格中有△ABC及線段DE,在網(wǎng)格上找一點F（必須在網(wǎng)格的交點處），使ADEF與AABC全等,

這樣的點有幾個？請畫出這些三角形.

A、解：如圖所示：這樣的點有4個.

【答案】：

【解析】：

【分析】首先根據(jù)線段長度可得DE與BC是對應(yīng)邊,然后畫出圖形即可.

＞第18題【綜合題】

看圖、回答問題

-------------------m

已知線段m和n,請用直尺和圓規(guī)作出等腰AABC,使得AB=AC,BC=m,/A的平分線等于n.（只保

留作圖痕跡，不寫作法）

解：如圖，二ABC為所作;

------------------m

若①中m=12,n=8：請求出腰AB邊上的高.

解:

vBC=12,AD=8f

.*.BD=6,

在二中,｛

ABCAB=正+g2=10r

設(shè)腰AB邊上的高為h,

1?h?AB=1?BC?AD,

22

.h-12*8-48

即AB邊上的高為輦

5

【答案】：

【解析】:

【分析】(1)先作線段BC二m,再作BC的垂直平分線，垂足為D點，接著截取AD=n,連結(jié)AB、AC,則AB二AC,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)可得AD平分/BAC,于是可判斷二ABC滿足條件；(2)由作法得到BC=12,AD=8,BD=6,再利用勾股定理計算

出AB=10,然后利用面積法可計算出腰AB邊上的高.

>第19題【綜合題】

如圖，在DABCD中，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.

試說明：AB=CF；

解「.四陟/.ABliDF,.\zABE=zFCE,「E為BC中點，/.BE=CEr

(ZABE=ZFCE

在SBE與JFCE中，BE=CE-iABE^FCE(ASA)f.\AB=FC;

IZABE=ZCEF

連接E,若AD=2AB.試說明：DE1AF.

解:vAD=2AB,AB=FC=CDr.\AD=DFrv-^ABE^FCEf/.AE=EFf.-.DE±AF.

【答案】：

【解析】：

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得ABilDF,所以/ABE;NFCE,由線段中點的性質(zhì)可得BE=CE,用角邊角可證得

△ABE平FCE(ASA),所UXAB=FC;

(2)由由已知易得AD=DF,而AAB0&FCE,所以AE=EF,根據(jù)等腰三角形三線合一可得DEJ_AF.

>第20題【綜合題】

【試題背景】已知：l〃m〃n〃k,平行線I與m、m與n、n與k之間的距離分別為dl、d2、d3,且

dl=d3=l,d2=2.我們把四個頂點分別在I、m、n、k這四條平行線上的四邊形稱為〃繡湖四邊形〃.

【探究1】如圖1,正方形ABCD為〃繡湖四邊形〃，BEJJ于點E,BE的反向延長線交直線k于點F.求

正方形ABCD的邊長.

EA

圖1

/BEiIrInk,

.\zAEB=zBFC=90°r

又四陲ABCDS1E75形，

,\zl+z2=90°rAB=BCrz2+z3=90°,

.*.zl=z3,

.?在SBE和二BCF中，

(Zl=Z3

LBFC，

IAB=BC

“AB&二BCF(AAS),

.\AE=BF=1,

vBE=di+d2=3,

?-AB=^32+l2=M

.?.正方形的邊長是弧

【探究2】矩形ABCD為"繡湖四邊形”，其長：寬=2：1,則矩形ABCD的寬為.（直接寫出結(jié)果即可）

解：如圖2,過B作BEL于點E,反向延長BE交k于點F.

則BE=1,BF=3,

?.?四邊形ABCD是矩形，

.-.zABC=90°,

.".zABE+zFBC=90°f

又,.直角-ABE中，zABE+zEAB=90°,

.,.zFBC=zEAB,

?FAEB"BFC,

當(dāng)AB是較短的邊時，如圖（a）,

AB=1BC,則AE=1BF=1,

在直角-ABE中fAB=

當(dāng)AB是長邊時，如圖（a）,

同理可得：BC=歷;

2

故答案為：叵或巨

【探究3】如圖2,菱形ABCD為"繡湖四邊形”且NADC=6（T,AAEF是等邊三角形,AE_Lk于點E,/AFD=90。,

直線DF分別交直線I、k于點G、M.求證：EC=DF.

圖2

解：如圖3,連接AC,

?.?四郵ABCD^Jf"

.,.AD=DC,

又/ADC=60°,

??產(chǎn)ADC是等邊三角形，

.*.AD=AC,

/AE±kfzAFD=90°r

.-.zAEC=zAFD=90°,

???△AEF是等邊三角形，

.-.AF=AEf

在Rt二AFD和RSACE中r

UC=.1D'

.-.-AFD^AEC(HL),

,-.EC=DF

【拓展】如圖3,l〃k,等邊三角形ABC的頂點A、B分別落在直線I、k上，ABLk于點B,且AB=4,

ZACD=90°,直線CD分別交直線I、k于點G、M,點D、E分別是線段GM、BM上的動點，且始終保持AD=AE,

DHL于點H.猜想：DH在什么范圍內(nèi)，BC〃DE?并說明此時BC〃DE的理由.

解：如圖4,

圖4

當(dāng)2vDH<4時，BCllDE.

理由如下：連接AM,

/AB±kfzACD=90°f

.-.zABE=zACD=90°,

?—ABC是等邊三角形，

.\AB=ACr

.?在二ABE和二ACD中，

L15=AC

Imp'

A-ABE^ACD(HL),

..BE二CD;

.,在RbABM和RdACM中,

IAB=4C

1皿=3r

/.Rt-ABM^Rt-ACM(HL),

.-.BM=CM;

/.zMBC=zMCB

.*.MB=MCf

/.zMED=zMDE,

???在等腰三角形MDE和等腰三角形MCB中fzDME=zCMB,

??.NMBC=NMED,

.,.EDllBC.

【答案】：

【解析】：

(1)禾U用AAS證明二AB@二BCF,即可求得AE和BE的長，用勾即可求解；(2)過B作BEJJ于點E,交k

于點F,易證二AEBjBCF,然后分AB是長和AB是寬兩種情況進行討論求得；(3)連接AC,首先證明-ADC是等邊三角形，再

證明」AFD*AEC(HL)f根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；(4)連接AM,首先證明SBE^ACD,然后證明

Rt-ABM曜Rt二ACM(HL),根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等,以及等腰直角三角形的性質(zhì)證明/MBC=/MED,貝托DllBC即可

證得.

>第21題【綜合題】

如圖：在△ABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分線，DEJ_AB于E,F在AC上，BD=DF.

求證：CF=EB.

證明：是的平娟,

??.ADNBACzC=90°rDE±AB

???DC;DE

???BD=DF

「.RKDCF^RkDEB

??.CF=EB

若AF=2,EB=1,求AB的長.

解：由(1)知CF=EBE

.\AC=AF+FC=3

又?.Rt，ACDMbAED(HL^AAS)

.-.AC=AE=3

.*.AB=AE+EB=3+1=4

【答案】：

【解析】：

【分析】(1)根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出DC=DE，再I髓直角三角形全等判定方法證明

RADCaR梃DEB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

(2)根據(jù)已知條件求出AC的長，再證明RtSCgRtSED,得出AC=AE,就可求出AB的長.

A第22題【綜合題】

如圖，將矩形ABCD沿BD對折，點A落在E處，BE與CD相交于F,若AD=3,BD=6.

求證：△EDF^ACBF；

證明:由折疊的性質(zhì)可得：DE=BC,zE=zC=90°,在:BCF中，

rZDFE=ZBFC

\ZE=NC，

?DE=BC

.-.-DEfe^BCF(AAS);

求NEBC.

A\u89e3\uffla\u5728Rt\u25b3ABD\u4e2d\uff0c

\u2235AD=3\uff0cBD=6\uff0c\u2234\u2220ABD=30\u00b0\uff0c\u7531\u6298\u53e0\u7684\u6027\u8d28\u53

ef\u5f97\ufflb\u2220DBE=\u2220ABD=30\u00b0\uff0c\u2234\u2220EBC=90\u00b0\ufe6330\u00b0\ufe6330\u

00b0=30\u00b0\uff0e

解:在RtMBD中,-.AD=3,BD=6,

.-.zABD=30o,

由折疊的性質(zhì)可得；zDBE=zABD=30°,

.-.zEBC=90°-30°-30°=30°.

【答案】：

【解析】：

【曲】(1)首先的頡和折疊的可得DE=BC,zE=/C=90°,又寸頂角NDFE=NBFC,利J用AAS可判定

2DEa，BCF;(2)在RKABD中，根據(jù)AD=3,BD=6,可得出NABD=30°,演利用折疊的蜩可得/DBE=30°,繼硝求

得/EBC的臺.

＞第23題【綜合題】

在一個邊長為a(單位：cm)的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC,CD上的動點，連結(jié)DE并

延長交正方形的邊于點F,過點M作MN_LDF于H,交AD于N.

圖1

如圖1,當(dāng)點M與點C重合，求證：DF=MN；

證明:?l-zDNC+zADF=90",zDNC+zDCN=90°,

.\zADF=zDCN.

在-ADF與二DNC中f

ZCDAT=90*

,AD=CD，

'乙4DF=2DCN

/.-AD^-DNC(ASA)r

.*.DF=MN

如圖2,假設(shè)點M從點C出發(fā)，以lcm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發(fā)，以有誤cm/s

速度沿AC向點C運動，運動時間為t(t>0)；

①判斷命題"當(dāng)點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由.

②連結(jié)FM、FN,△MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a,t之間的關(guān)系；若不能，請說明理由.

解：①該命題是真命題.

理由如下：當(dāng)點F是邊AB中點時，則AF=1AB=1CD.

?.ABilCD,.-.-AFE-^CDE,

.HE.iF1

-EC=CD=2'

圖1圖2

則CM=l?t=-1a=CD,

.??點M為邊CD的三等分點.

②能.理由如下：

易證SFE—CDE,.?.蕉=髭，即孝=亞’，得AF=；^.

CDECa「N，a-t

易證上MN。，工DFA,.?.挈=桀，即耍=答，得ND=t.

/.ND=CM=tfAN=DM=a-1.

若-MNF為等腰三角形，則可能有三種情形:

(I)若FN=MN,貝II由AN=DM知，F(xiàn)AN裝二NDM,

.\AF=ND，即4=t,得t=0,不合題意.

a-i

(n)SFN=FM,由MNJ_DF?],HN=HMr,-.DN=DM=MCr

：X=ga,此時點F與點B重合；

(m)若FM=MN,顯然此時點F在BC邊上,如下圖所示:

.?.CF=乩l),

t

由9NM-&CDF,得維=強，

CFZX7

?亨左=DN

??---*

10

.-.DN=t=CMf

在Rt，MFCffi，NMD中

(ND=CM

\FM=MN

.“MFC值二NMDr.-.FC=DM=a-1;

又由二NDM-DCF,.?.黑=強，即與=裊...FC=，門).

DMFCrCf

=a-t,

-i~~

.-.t=a,此時點F與點C重合.

綜上所述,當(dāng)1=2或1=1a時，工MNF能夠成為等腰三角形

【答案】：

【解析】：

【分析】(1)證明，ADF^DNC,即可得到DF=MN;(2)①首先證明二AFE—CDE,利用比例式求出時間t=1a,進而得到

CM=1a=1CD,所以該命題為真命題；②若二MNF為等腰三角形，則可能有三種情形,需要分類討論.

＞第24題【綜合題】

如圖①所示，已知在矩形ABCD中，AB=60cm,BC=90cm,點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB

運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以20cm/s的速度沿BC運動.當(dāng)點Q到達