重積分與其計算和多重積分

-.z.三重積分和多重積分方法在第三節(jié)中我們討論了二重積分，本節(jié)將之推廣到一般的n維空間中去.類似于第三節(jié),我們先定義一個R3中集合的可求體積性.同樣可以給出一列類似的結論.讀者自己推廣.這里將不再贅述.引例設一個物體在空間R3中占領了一個有界可求體積的區(qū)域，它的點密度為，現在要求這個物體的質量．假設密度函數是有界的連續(xù)函數，可以將區(qū)域分割為假設干個可求體積的小區(qū)域，其體積分別是，直徑分別是，即,(i=1,2,…,n〕,|WQ|表示W,Q兩點的距離．設，則當很小時，在上的變化也很小．可以用這個小區(qū)域上的任意一點的密度來近似整個小區(qū)域上的密度，這樣我們可以求得這個小的立體的質量近似為，所有這樣的小的立體的質量之和即為這個物體的質量的一個近似值．即．當時，這個和式的極限存在，就是物體的質量．即．從上面的討論可以看出，整個求質量的過程和求曲頂柱體的體積是類似的，都是先分割，再求和，最后取極限．所以我們也可以得到下面一類積分．三重積分的定義設是空間中的一個有界可求體積的閉區(qū)域V上的有界函數，將V任意分割為假設干個可求體積的小閉區(qū)域，這個分割也稱為V的分劃，記為P:.(空,),其體積分別是，直徑分別是．設,或記為||P||.在每個小區(qū)域中任意取一點，作和(稱為Riemann和)，假設當時，這個和式的極限存在，則稱其極限為函數在區(qū)域上的三重積分，記為．并稱函數在區(qū)域上可積．稱為被積函數,*,y,z稱為積分變量.,V稱為積分區(qū)域.特別地，在直角坐標系下，可以記為．我們同樣可以引入Darbou*大,小和來判別可積,也有同樣的結論(略).1.假設是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，則函數在區(qū)域上可積．2.假設=1時,的體積.3.假設在有界閉區(qū)域上的連續(xù)點集合是0體積時,在可積.三重積分有著與二重積分類似的性質．下面簡單表達一下．可積函數的和〔或差〕及積仍可積.和〔差〕的積分等于積分的和(差)．可積函數的函數倍仍可積.其積分等于該函數積分的倍．設是可求體積的有界閉區(qū)域，在上可積，分為兩個無共同內點的可求體積的閉區(qū)域之并，則在上可積，并有．等等.三重積分的計算方法同二重積分一樣,我們這里給出三重積分的計算方法,理論上的證明讀者自己完成..利用直角坐標系計算三重積分先給一個結論.定理12.14假設函數是長方體V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可積,記D=[c,d]×[e,h],對任意*∈[a,b],二重積分存在,則(記為)也存在,且.這時右邊稱為三次積分或累次積分,即三重積分化為三次積分.證明分別中[a,b],[c,d],[e,h]插入假設干個分點;;作平面,,,(i=0,1,2,…,n;,ji=0,1,2,…,m;k=0,1,2,…,s,)得到V的一個分劃P.令(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,),,分別是在上的上,下確界.則在上有其中Δ*i,=*i-*i-1,Δyj,=yj-yj-1,Δzk,=zk-zk-1,(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,).因可積，所以當||P||趨于0時，Darbou*大,小和趨于同一數，即三重積分.z*y故定理得證.z*yhz*hz*yDz如果V如右圖,Dzz*z*ye≤z≤h,z=z與Vz*z*y面積為Dz,ez*ez*y圖12-4-1y圖12-4-1y**y不難得到,假設函數在V上的可積,則.下面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成．設函數在有界閉區(qū)域上連圖12-4-2圖12-4-2續(xù)，我們先討論一種比較特殊的情況．，其中為在平面上的投影，且．如圖1２．我們現在軸上做積分，暫時將看成是常數．把函數看作是的函數，將它在區(qū)間上積分得到．顯然這個結果是的函數，再把這個結果在平面區(qū)域上做二重積分．在利用二重積分的計算公式便可以得到所要的結果．假設平面區(qū)域可以用不等式表示，則．這個公式也將三重積分化為了三次積分．如果積分區(qū)域是其他的情形，可以用類似的方法計算．例1計算三重積分，其中是由三個坐標面和平面所圍的立體區(qū)域．解積分區(qū)域如下列圖，可以用不等式表示為，所以積分可以化為圖12-4-3圖12-4-3四、三重積分的積分變換和二重積分的積分變換一樣，有如下的結果:定理12.15設V是uvw空間R3中的有界可求體積的閉區(qū)域，T：*=*(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),是V到*yz空間R3中的一一映射，它們有一階連續(xù)偏導數，并且(稱為Jacobi).如果f(*,y,z)是T(V)上的可積函數，則在R3中有兩種重要的變換柱面坐標和球面坐標.1.利用柱面坐標計算三重積分前面我們可以看到，由于積分區(qū)域與被積函數的特點，二重積分可以用極坐標來計算．同樣對于三重積分可以用柱面坐標和球面坐標計算．我們先討論用柱面坐標來計算三重積分．設空間中有一點，其在坐標面上的投影點的極坐標為，這樣三個數就稱為點的柱面坐標〔如圖12-4-4〕．zzMM(*,y,z)yyMM’**圖12-4-5圖12-4-4圖12-4-5圖12-4-4這里規(guī)定三個變量的變化范圍是，注意到，當常數時，表示以軸為中心軸的一個柱面．當=常數時，表示通過軸，與平面的夾角為的半平面．當常數時，表示平行于平面，與平面距離為的平面．空間的點的直角坐標與柱面坐標之間的關系,即是R3到R3的映射:．所以其Jacobi為故容易得到:如果f(*,y,z)是R3中的有界可求體積的閉區(qū)域V上的可積函數,則,其中,變換前后區(qū)域都用V表示.我們也可以從幾何直觀的意義來描述這個公式的由來.用三組坐標面將積分區(qū)域劃分為假設干個小區(qū)域，考慮其中有代表性的區(qū)域，如圖12-4-5所示的區(qū)域可以看成是由底面圓半徑為兩個圓柱面，極角為的兩個半平面，以及高度為的兩個平面所圍成的．它可以近似的看作一個柱體，其底面的面積為，高為．所以其體積為柱面坐標下的體積元素，即．再利用兩種坐標系之間的關系，可以得到．在柱面坐標下的三重積分的計算也是化為三次積分．例2計算三重積分，其中是由橢圓拋物面和平面所圍成的區(qū)域．解如下列圖，積分區(qū)域在坐標面上的投影是一個圓心在原點的單位圓．所以．于是圖12-4-6圖12-4-62．利用球面坐標計算三重積分我們知道球面坐標用數來表示空間的一個點．設有直角坐標系的空間點，點在坐標面上的投影，其中，為軸到射線轉角．為向量與軸的夾角．如圖12-4-7．規(guī)定三個變量的變化范圍是．我們可以看到，注意到，當常數時，表示以原點為球心的球面．當=常數時，表示通過軸的半平面．M’當常數時，表示以原點為頂點，軸為中心的錐面．M’兩種坐標系之間的關系如下：圖12-4-7．圖12-4-7即又是一個即是R3到R3的映射.它的Jacobi是由一般的重積分變換公式容易得到:如果f(*,y,z)是R3中的有界可求體積的閉區(qū)域V上的可積函數,則,其中,變換前后區(qū)域都用V表示.用幾何直觀的意義可以如下理解:f(*,y,z)閉區(qū)域V上的可積函數.用三組坐標常數，常數，常數，將積分區(qū)域V劃分為假設干個小的區(qū)域.考慮其中有代表性的區(qū)域，此小區(qū)域可以看成是有半徑為的球面，極角為和的半平面，與中心軸夾角為和的錐面所圍成，它可以近似的看作邊長分別是的小長方體，從而得到球面坐標系下的體積元素為．再由直角坐標系與球面坐標之間的關系，可以得到下面的公式．例3計算三重積分，其中是右半球面所圍成的區(qū)域．解在球面坐標下，積分區(qū)域可以表示為所以與二重積分,三重積分一樣可以定義一般n重積分.我們這里只是簡單介紹.當V是Rn中的有界閉區(qū)域.依照可求面積的方法定義V的可求"體積〞或可測(略).設f(*1,*2,,…,*n,)是Rn中的有界可測閉區(qū)域V上的函數,任取V的分劃P,,即把分成假設干個可測小區(qū)域,它們的〞體積〞或測度分別記為,當令,表示兩點的距離,,對任取,如果存在,稱f(*1,*2,,…,*n,)是V上的可積函數.其極限值稱為f(*1,*2,,…,*n,)在V上的n重積分,記為或.特別當V=[a1,b1]×[a2,b2]×…×[an,bn]時,.假設V上有一一映射T，其每個分量的函數有連續(xù)偏導數，當V是有界可測區(qū)域，f(*1,*2,,…,*n,)在T(V)上可積，并且Jacobi則.特別是Rn中的球坐標變換T:……,,,在Rn中,這時的Jacobi是。同樣可以得到相應的公式.例4求.解用球坐標.這時,,,其中從而有.習題12-41.設有物體占有空間V:0≤*≤1,0≤y≤1,0≤z≤1,在點的密度是,求該物質量.2.計算,其中V是曲面與平面和所圍成的閉區(qū)域．3.計算,其中V是平面所圍成的四面體．4.計算,其中