大學數(shù)學概率統(tǒng)計概念定義歸納

.z.一、隨機事件及其概率1.（基本概念）隨機事件定義（特點）：1.試驗可以在相同條件下重復進行；2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；3.在一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。樣本空間：隨機試驗的結(jié)果稱為基本事件、樣本或樣本點。樣本空間就是隨機試驗所有可能的結(jié)果構(gòu)成的集合，也就是由所有樣本點構(gòu)成的集合，通常記為Ω事件，事件發(fā)生與否，必然事件，不可能事件事件（定義）：在試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機隨機事件，簡稱事件。；；提要容：隨機試驗中人們特別關(guān)注的具有*種共同特征的一些結(jié)果，從數(shù)學意義上講，就是樣本空間的子集。事件通常用大寫英文字母表示。在一次試驗中，若試驗結(jié)果ω∈A，則稱這次試驗中事件A發(fā)生了，否則稱事件A沒有發(fā)生。提示：事件是人們根據(jù)自己的喜愛定義的，而事件發(fā)生與否是與*次試驗關(guān)聯(lián)著的。有兩個特殊的事件：樣本空間本身，每次試驗一定發(fā)生，稱為是必然事件；空集也是Ω的子集，也能稱為事件，每次試驗一定不會發(fā)生，稱為不可能事件。事件域：我們希望隨機試驗所涉及的所有事件作為集合的運算所得到的結(jié)果還是事件，這就是所謂運算的封閉性。隨機試驗的事件構(gòu)成的集合類如果對最多經(jīng)"可列無限多”次事件的運算的結(jié)果還是事件，則把這個集合類稱為事件域。約定隨機試驗的事件構(gòu)成事件域，通常記為F。事件的概率定義在事件域F上的集函數(shù)P，滿足非負性、規(guī)性、和可列可加性。概率統(tǒng)計定義：隨機事件A發(fā)生的可能性大小，稱為事件A的概率。概率公理化定義：設E為隨機試驗，S為它的樣本空間，對于E中的每一事件A，恰對應一個實數(shù)，記作P(A)，若它滿足下列3個條件，則稱P(A)為事件A的概率。非負性：0≤P(A)≤1；2.規(guī)性：P(A)=1；可列可加性：設A1,A2,….An…..是兩兩互不相容事件，則有古典概型：設隨機試驗具有下面兩個特性：1.試驗的樣本空間只包含有限個元素；2.試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。則稱這種隨機試驗為等可能概型或古典概型。2.（基本理論）事件的運算及運算定律事件的三種基本運算：求和：和事件，兩個事件A和B中至少有一個發(fā)生的事件。記作A∪B=（*|*∈A或*∈B）或A+B求積：積事件：事件A與事件B同時發(fā)生的事件，記作A∩B=（*|*∈A且*∈B）或AB求逆：對立事件，若A∪B=S且AB=?，則事件A與事件B互為逆事件，事件A域事件B必有一個發(fā)生且只有一個發(fā)生。記為事件的三種關(guān)系運算：相等：若A包含：互斥;事件A和事件B不能同時發(fā)生，即AB=?。事件的運算定律：交換律：A∪B=B∪A,AB=BA結(jié)合律：分配律：德摩根律：易證等式概率的運算性質(zhì)：3.（基本方法）：利用袋中摸球模型來為古典概型問題構(gòu)造場景。球可以有不同標號和不同顏色，摸球可分為有放回摸球和無放回摸球。二、條件概率與事件的獨立性1.基本概念條件概率：設A,B是兩個事件，且P(A)＞0，則稱P(B丨A)=為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。同理，當P(B)＞0時，也可類似地定義在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率：P(A丨B)=事件的獨立性定義：設A,B為兩個事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與B相互獨立定理：設事件A與B相互獨立，則A與B、A與B、A與B這3對事件也相互獨立事件類的獨立性（略）2.基本理論兩個事件類是獨立的可推出他們各自生成的事件域也是相互獨立的。由條件概率演繹出乘法公式：對任意兩個事件A,B若P(B)＞0，則有P(AB)=P(B)P(A丨B)類似地，若P(A)＞0，有P(AB)=P(A)P(B丨A)全概率公式與貝葉斯公式及其推導全概率公式：設事件B1，B2，...，Bn為樣本空間S的一個完備事件組，則對任意事件A?S，有貝葉斯公式：設事件組B1，B2，...Bn為樣本空間Ω的一個完備事件組，則對任意事件A?Ω，當P(A)＞0，P(Bi)＞0時，有3.基本方法利用全概率公式計算概率利用全概率公式簡化貝葉斯公式三、隨機變量及其分布1.基本概念隨機變量：設隨機試驗E的樣本空間為S=（e），如果對于每個e∈S，都有一個實數(shù)*(e)與它對應，則稱S上的實值單值函數(shù)*(e)為隨機變量，記作*=*(e).離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量定義：隨機變量*的所有可能取值是有限個或可列無限多個時稱為*為離散型隨機變量兩點分布：設隨機變量*只可能取0和1兩個值，則稱其分布律為適合：合格不合格，性別登記，發(fā)芽不發(fā)芽，下雨不下雨等只有兩種結(jié)果的現(xiàn)象二項分布：泊松分布：設隨機變量*所有可能取的值為0,1,2…,且概率分布為其中,λ＞0是常數(shù)，則稱*服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作*～π(λ)適合：交換臺一定時間收到的呼叫次數(shù)，一本書一頁中印刷錯誤次數(shù)，原子一定時間放射的粒子數(shù)，超市一定時間的顧客數(shù)。連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)定義：設F(*)是隨機變量*的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)f(*)，使得對于任意實數(shù)*均有則稱*為連續(xù)型隨機變量，f(*)為*的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)。均勻分布：設連續(xù)型隨機變量*的概率密度為則稱隨機變量*在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記作*～U(a,b)指數(shù)分布：若隨機變量*具有概率密度其中，θ＞0，為常數(shù)，則稱*服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布適合：常用于可靠性統(tǒng)計研究，如電子元件壽命，隨機服務系統(tǒng)的服務時間等。正態(tài)分布：若連續(xù)型隨機變量*的概率密度為其中,μ和σ(σ＞0)都是常數(shù)，則稱*服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布或高斯分布2.(基本理論）分布函數(shù)的定義及性質(zhì)定義：設*是一個隨機變量，*是任意實數(shù)，函數(shù)F(*)=P(*≤*)(-∞＜*＜+∞)稱為*的分布函數(shù)。性質(zhì)：分布律的定義及性質(zhì)定義：設離散型隨機變量*所有可能取值為*k(k=1,2…),*取各個可能值的概律即事件(*=*k)的概率為則稱為離散型隨機變量*的概率分布或分布律，可以表示為：性質(zhì)：密度函數(shù)的定義及性質(zhì)定義：設F(*)是隨機變量*的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)f(*)，使得對于任意實數(shù)*均有則稱*為連續(xù)型隨機變量，f(*)為*的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)。性質(zhì)：證明幾何分布和指數(shù)分布的無記憶性若*服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，則其分布函數(shù)為服從指數(shù)分布的隨機變量*具有一下有趣的性質(zhì)：對于任意s,t＞0有這條性質(zhì)稱為"無記憶性”3.（基本方法）：利用分布函數(shù)，分布律，密度函數(shù)計算概率；求隨機變量的線性函數(shù)的概率分布；利用標準正態(tài)分布表計算一般正態(tài)分布的概率四、隨機變量的數(shù)字特征1.基本概念數(shù)學期望離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：設離散型隨機變量*的概率分布為P(*=*k)=pk（k=1，2，...），稱∑*kpk=*1p1+*2p2+...+*kpk+...為隨機變量*的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，記作E(*)。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望定義：設*是連續(xù)性隨機變量，其密度函數(shù)為f(*)，若積分∫*f(*)d*絕對收斂，則稱此積分∫*f(*)d*的值為*的數(shù)學期望，即E(*)=∫*f(*)d*隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設g(*)為連續(xù)函數(shù)，Y=g(*)也是隨機變量*的函數(shù)(1)若離散型隨機變量*的概率分布為P(*=*k)=pk(k=1,2,...)則隨機變量函數(shù)Y的數(shù)學期望為E(Y)=E[g(*)]=∑g(*k)pk(2)若連續(xù)性隨機變量*的概率密度為f(*)，則隨機變量函數(shù)Y的數(shù)學期望為E(Y)=E[g(*)]=∫g(*)f(*)d*方差定義：設*是一個隨機變量，若E{[*-E(*)]2}存在，稱E{[*-E(*)]2}為*的方差，記作D(*)，即D(*)=E{[*-E(*)]2}2.基本理論數(shù)學期望的性質(zhì)1.E(C)=C(C為任意常數(shù))2.E(C*)=CE(*)3.E(*+Y)=E(*)+E(Y)4.若*,Y相互獨立，則E(*Y)=E(*)E(Y)方差的性質(zhì)1.設C是常數(shù)，則D(C)=02.若C是常數(shù)，則D(C*)=C2D(*)3.設*與Y是兩個隨機變量，則D(*+Y)=D(*)+D(Y)+2{[*-E(*)][Y-E(Y)]};若*與Y相互獨立，則D(*+Y)=D(*)+D(Y)3.基本方法熟練計算所給出的概率分布的數(shù)學期望和方差利用定義計算簡單的隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望五、多維隨機變量1.基本概念多維隨機變量：一般來說，設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S=(e),設*1=*1(e),*2=*2(e)…*n=*n(e)是定義在S上的隨機變量，由它們構(gòu)成的一個n維向量(*1,*2…*n)叫做n維隨機向量或n維隨機變量二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合密度函數(shù)二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)：設(*,Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)*和y，二元函數(shù)F(*,y)=稱為二維隨機變量(*,Y)的分布函數(shù)，或者稱為隨機變量*和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布律：設二維離散型隨機變量(*,Y)可能取的值是(*i,Yi)(i,j=1,2…),記P(*=*i,Y=Yj)為Pij,稱為二維離散型隨機變量(*,Y)的分布律，或隨機變量*和Y的聯(lián)合分布律性質(zhì)：聯(lián)合密度密度函數(shù)：對于二維隨機變量(*,Y)的分布函數(shù)F(*,y)，如果存在非負函數(shù)f(*,y)使對于任意的*,y有則稱(*,Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)f(*,y)稱為二維隨機變量(*,Y)的概率密度或稱為隨機變量*和Y的聯(lián)合概率密度。性質(zhì)：二維隨機變量邊緣分布函數(shù)、邊緣分布律、邊緣密度函數(shù)邊緣分布函數(shù)：邊緣分布律：設(*,Y)為二維離散型隨機變量，分布律為P(*=*i,Y=Yj)=Pij,由邊緣分布函數(shù)得*和Y的邊緣分布律分別為通常將*和Y的邊緣分布律分別記為Pi.和P.j，于是邊緣密度函數(shù)：條件分布函數(shù)、條件分布律、條件密度函數(shù)條件分布率：設(*,Y)為二維離散型隨機變量，并且其聯(lián)合分布律為在已知Y=Yj的條件下，*取值的條件分布是在已知*=*i的條件下，Y取值的條件分布是條件密度函數(shù)：設(*,Y)為連續(xù)型隨機變量，并且其聯(lián)合概率密度為f(*,y),若對于固定的y，有fy(y)＞0,則稱為在Y=y的條件下*的條件概率密度，記作：協(xié)方差與協(xié)方差矩陣協(xié)方差：設(*,Y)為二維隨機變量，若E{[*-E(*)][Y-E(Y)]}存在，則稱為其為隨機變量*與Y的協(xié)方差，記作Cov(*,Y