全國Ⅱ卷高考試題理數(shù)

絕密★啟用前2019年一般高等學(xué)校招生全國一致考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共5頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考據(jù)號碼填寫清楚，將條形碼正確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題一定使用2B鉛筆填涂；非選擇題一定使用0.5毫米黑色筆跡的署名筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請依據(jù)題號次序在答題卡各題目的答題地區(qū)內(nèi)作答，高出答題地區(qū)書寫的答案無效；在底稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆劃出，確立后一定用黑色筆跡的署名筆描黑。5．保持卡面潔凈，不要折疊，不要弄破、弄皺，禁止使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．設(shè)會(huì)合A={|2-5+6>0}，B={|-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)2．設(shè)=-3+2i

，則在復(fù)平面內(nèi)

z對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，則ABBC=A．-3B．-2C．2D．34．2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上初次月球反面軟著陸，我國航天事業(yè)獲得又一重要成就，實(shí)現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個(gè)重點(diǎn)技術(shù)問題是地面與探測器的通信聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著環(huán)繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)轉(zhuǎn)．L2點(diǎn)是均衡點(diǎn)，位于地月連線的延伸線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r知足方程：M1M2M1(Rr)(Rr)2r2R3.r333453R，因?yàn)?1)23設(shè)的值很小，所以在近似計(jì)算中，則r的近似值為M2RM2RA．M1B．2M133M2R3M2RC．M1D．3M15．演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，獲得7個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分對比，不變的數(shù)字特點(diǎn)是A．中位數(shù)B．均勻數(shù)C．方差D．極差6．若a>b，則A．ln(a-b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3-b3>0D．│a│>│b│7．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條訂交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面x2y218．若拋物線y2=2p(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓3pp的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=A．2B．3C．4D．89．以下函數(shù)中，以2為周期且在區(qū)間(4，2)單一遞加的是A．f( )=│cos2│B．f( )=│sin2│C．f( )=cos││D．f( )=sin││10．已知α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=15A．5B．525C．3D．5x2y21(a0,b0)11．設(shè)F為雙曲線C：a2b2的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn).若PQOF，則C的離心率為A．2B．3C．2D．512．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，知足f(x1)2f(x)，且當(dāng)x(0,1]時(shí)，f(x)x(x1).若對隨意x(f(x)89，則m的取值范圍是,m]，都有,9,7A．4B．3,5,8C．2D．3二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分．13．我國高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的均勻正點(diǎn)率的預(yù)計(jì)值為__________.14．已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)eax.若f(ln2)8，則a__________.π15．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,cb6,a2c,B.若3，則△ABC的面積為__________.16．中國有悠長的金石文化，

印信是金石文化的代表之一

.印信的形狀多為長方體、

正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖的正多邊形圍成的多面體.半正多面體表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖的全部極點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為面，其棱長為_________.（此題第一空2分，第二空3分.）

1）.半正多面體是由兩種或兩種以上2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它1.則該半正多面體共有________個(gè)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第試題考生都一定作答．第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17．（12分）

17～21題為必考題，每個(gè)如圖，長方體

ABCD–A1B1C1D1

的底面

ABCD

是正方形，點(diǎn)

E在棱

AA1

上，BE⊥EC1.1）證明：BE⊥平面EB1C1；2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.18．（12分）11分制乒乓球競賽，每贏一球得

1分，當(dāng)某局打成

1010平后，每球互換發(fā)球權(quán)，先多得

2分的一方獲勝，該局競賽結(jié)束

.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打競賽，假定甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為

0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果互相獨(dú)立.在某局兩方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局競賽結(jié)束.1）求P（=2）；2）求事件“=4且甲獲勝”的概率.19．（12分）已知數(shù)列{an}和{bn}知足a1=1，b1=0，4an13anbn4，4bn13bnan4.1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.20．（12分）fxx1lnx1.已知函數(shù)x（1）議論f( )的單一性，并證明f( )有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)0是f( )的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=ln在點(diǎn)A(0，ln0)處的切線也是曲線yex的切線.21．（12分）1已知點(diǎn)A(-2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(,y)知足直線AM與BM的斜率之積為-2.記M的軌跡為曲線C.1）求C的方程，并說明C是什么曲線；2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥軸，垂足為E，連接QE并延伸交C于點(diǎn)G.i）證明：△PQG是直角三角形；ii）求△PQG面積的最大值.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0,0)(00)在曲線C:4sin上，直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.0=（1）當(dāng)3時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知f(x)|xa|x|x2|(xa).（1）當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；（2）若x(,1]時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.2019年一般高等學(xué)校招生全國一致考試?yán)砜茢?shù)學(xué)·參照答案1．A2．C3．C4．D5．A6．C7．B8．D9．A10．B11．A12．B13．0.9814．–315．6316．26；2117．解：（1）由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE．又BEEC1，所以BE平面EB1C1．（2）由（1）知BEB190．由題設(shè)知Rt△ABERt△A1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)檩S正方向，|DA|為單位長，成立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-y，則C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE,1( )1,1，CC1(0,0,2)．設(shè)平面EBC的法向量為n=（，y，），則CBn0,x0,CEn0,即xyz0,所以可取n=(0,1,1).設(shè)平面ECC1的法向量為m=（，y，），則CC1m0,2z0,CEm0,即xyz0.所以可取m=（1，1，0）．cosn,mnm1|n||m|2．于是3所以，二面角BECC1的正弦值為2．18．解：（1）=2就是10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局競賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．所以P（=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．（2）=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局競賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分狀況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．所以所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．a(chǎn)n1bn11bn)19．解：（1）由題設(shè)得4(an1bn1)2(an(anbn)，即2．a(chǎn)nbn是首項(xiàng)為1又因?yàn)閍1+b1=l，所以1，公比為2的等比數(shù)列．由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2．又因?yàn)閍1–b1=l，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．a(chǎn)nbn1，anbn2n1．（2）由（1）知，2n1an1bn)(anbn)]1n1[(an2n2，所以2bn1[(anbn)(anbn)]1n122n2．20．解：（1）f（）的定義域?yàn)椋?，1），（1，+∞）單一遞加．1e10f(e2)2e21e230因?yàn)閒（e）=e1，e21e21，所以f（）在（1，+∞）有獨(dú)一零點(diǎn)1，即f（1）=0．011f(1)lnx1x11f(x1)0又x1，x1x11，1故f（）在（0，1）有獨(dú)一零點(diǎn)x1．綜上，f（）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．1elnx01（2）因?yàn)閤0，故點(diǎn)B（–ln0，x0）在曲線y=e上．x01f(x0)0lnx01由題設(shè)知，即x0，1lnx01x01x0x0x011klnx0x0x01x0x01x0故直線AB的斜率．B(lnx0,1)1，曲線ylnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處切線的斜率也是曲線y=e在點(diǎn)x0處切線的斜率是x01x0，所以曲線ylnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=e的切線．yy1x2y22)21．解：（1）由題設(shè)得x2x22，化簡得41(|x|2，所以C為中心在座標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右極點(diǎn)．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為，則其方程為ykx(k0)．ykxx2y21x2由42得12k2．u212k2，則P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)．記于是直線QG的斜率為kyk(xu)2，方程為2．k(xu),2x2y2142由得(2k2)x22uk2xk2u280．①u(3k22)uk3設(shè)G(xG,yG)u和xG是方程①的解，故xG2yG2，則2k，由此得2k．uk3uk12k2進(jìn)而直線PG的斜率為u(3k22)uk2k2．所以PQPG，即△PQG是直角三角形．k2，|PG|2ukk21（ii）由（i）得|PQ|2u12k2，18k(12)8(1k)‖kkSPG|2k2)(2k2)12(11k)22(所以△PQG的面積k．1設(shè)t=+k，則由>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)取等號．S8t12t2在[2，+∞）單一遞減，所以當(dāng)t=2，即=1時(shí)，S獲得最大值，最大值為因?yàn)?6所以，△PQG面積的最大值為9．22．解：（1）因?yàn)镸0,0在C上，當(dāng)03時(shí)，04sin323.|OP||OA|cos2由已知得3.設(shè)Q(,)為l上除P的隨意一點(diǎn).在Rt△OPQ中cos3|OP|2，P(2,3)cos32經(jīng)查驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上.cos2所以，l的極坐標(biāo)方程為3.（2）設(shè)P