2020-2021蘇教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)教師用書(shū)：第9章9.29.2.2向量的數(shù)乘含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材蘇教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書(shū)：第9章9.29.2.2向量的數(shù)乘含解析9.2.2向量的數(shù)乘學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義．(重點(diǎn))2.理解兩個(gè)向量共線的含義,掌握向量共線定理。3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.1.通過(guò)向量數(shù)乘概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);2.通過(guò)向量數(shù)乘的運(yùn)算及其運(yùn)算律的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。一只兔子向東一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎?兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？是－3a嗎？1．向量的數(shù)乘定義一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1)｜λa｜＝｜λ||a｜；（2)若a≠0,則當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)a＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.實(shí)數(shù)λ與向量a相乘的運(yùn)算，叫作向量的數(shù)乘．向量的數(shù)乘λa的幾何意義：當(dāng)λ＞0時(shí),把向量a沿著a的相同方向放大或縮小，當(dāng)λ＜0時(shí)，把向量a沿著a的相反方向放大或縮?。伎迹害薬＝0，一定能得到λ＝0嗎？提示:不一定．λa＝0，則λ＝0或a＝0.2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1）λ（μa)＝(λμ)a；(2)（λ＋μ)a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb。3．向量共線定理一般地，對(duì)于兩個(gè)向量a(a≠0）,b，設(shè)a為非零向量，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,則b＝λa，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b＝λa。4．向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)a＝0，則λa＝0． （）(2）對(duì)于非零向量a,向量－3a與向量3a方向相反． （）(3）對(duì)于非零向量a,向量－6a的模是向量3a的模的2倍． ()[答案］(1）√(2)√(3）√2．5×（－4a）＝________。－20a［5×（－4a)＝5×(－4)a＝－20a。］3．a(chǎn)＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則a＋b＝________。4e1[a＋b＝(e1＋2e2）＋(3e1－2e2)＝4e1.]4．已知e1和e2不共線，則下列向量a,b共線的序號(hào)是________．①a＝2e1,b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f（2,5）e2，b＝e1－eq\f(1，10）e2；④a＝e1＋e2,b＝2e1－2e2.②③［∵e1與e2不共線，∴①不正確；對(duì)于②有b＝－2a；對(duì)于③有a＝4b；④不正確．］向量數(shù)乘的基本運(yùn)算【例1】計(jì)算：（1)6（3a－2b）＋9（－2a＋b)；（2)eq\f（1,2)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2，3)a－b）)－eq\f（7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（1，2)a＋\f(3,7）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f（7，6）a))）)；（3）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c)－2（－2a＋c）．［思路點(diǎn)撥]利用向量線性運(yùn)算的法則化簡(jiǎn)，先去括號(hào)，再將共線向量合并．[解］(1）原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝eq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3a＋2b－\f(2,3)a－b）)－eq\f(7,6）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）a＋\f(3,7)b＋\f(1,2）a))＝eq\f(3，2)a＋b－eq\f(1,3）a－eq\f（1，2）b－eq\f(7，12）a－eq\f（1,2)b－eq\f(7，12)a＝0。(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式"，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解,把所求向量當(dāng)作未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，則eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3)a－b）)－3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f(2,3）b)）＋(2b－a)＝________.－16i＋eq\f（32，3)j［原式＝eq\f（1，3）a－b－3a－2b＋2b－a＝－eq\f（11，3）a－b＝－eq\f（11,3）(3i－4j）－(5i＋4j)＝（－11－5)i＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（44，3)－4））j＝－16i＋eq\f（32，3)j.]向量的共線問(wèn)題【例2】已知非零向量e1，e2不共線。（1）如果eq\o（AB,\s\up8(→)）＝e1＋e2，eq\o(BC，\s\up8(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up8（→）)＝3（e1－e2)，求證：A,B，D三點(diǎn)共線．（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．［思路點(diǎn)撥]對(duì)于(1），欲證A,B,D共線，只需證存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o（BD，\s\up8(→）)＝λeq\o(AB,\s\up8（→))即可;對(duì)于(2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則一定存在實(shí)數(shù)λ,使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2)．[解]（1)證明：∵eq\o（AB,\s\up8(→））＝e1＋e2,eq\o(BD，\s\up8(→））＝eq\o(BC，\s\up8（→)）＋eq\o(CD，\s\up8（→））＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o（AB，\s\up8(→）），∴eq\o（AB,\s\up8(→)）,eq\o（BD,\s\up8（→）)共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2）∵ke1＋e2與e1＋ke2共線,∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2),則(k－λ)e1＝（λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(k－λ＝0,,λk－1＝0，)）∴k＝±1.1．證明三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為證明這三點(diǎn)構(gòu)成的其中兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問(wèn)題的依據(jù)．2．若A，B,C三點(diǎn)共線，則向量eq\o(AB,\s\up8（→)），eq\o（AC,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8（→））在同一直線上，因此必定存在實(shí)數(shù)，使得其中兩個(gè)向量之間存在線性關(guān)系．而向量共線定理是實(shí)現(xiàn)線性關(guān)系的依據(jù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o（AB，\s\up8(→))＝2e1＋ke2，eq\o（CB，\s\up8(→）)＝e1＋3e2，eq\o（CD，\s\up8(→）)＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．[解］eq\o（BD,\s\up8（→））＝eq\o(CD,\s\up8（→))－eq\o（CB,\s\up8（→)）＝(2e1－e2）－(e1＋3e2）＝e1－4e2.因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線,故存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up8（→))＝λeq\o（BD，\s\up8（→))，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2）＝λe1－4λe2.由向量相等的條件，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2,,k＝－4λ，）)解得k＝－8，所以k＝－8.向量共線的有關(guān)結(jié)論[探究問(wèn)題]1．已知O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線,是否存在α,β∈R，使eq\o(OC，\s\up8(→）)＝αOeq\o（A,\s\up8（→))＋βeq\o（OB，\s\up8（→）)，其中α＋β＝1？[提示]存在，因A，B，C三點(diǎn)共線，則存在λ∈R，使eq\o（AC，\s\up8（→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o（OC,\s\up8(→）)－eq\o(OA,\s\up8（→))＝λ（eq\o（OB,\s\up8（→））－eq\o（OA,\s\up8(→)）)，∴eq\o(OC，\s\up8（→))＝（1－λ)eq\o（OA，\s\up8（→)）＋λeq\o(OB,\s\up8（→)）.令1－λ＝α，λ＝β,則eq\o(OC,\s\up8(→）)＝αeq\o（OA，\s\up8（→))＋βeq\o(OB，\s\up8（→）），且α＋β＝1。2．已知O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若存在α，β∈R，使eq\o（OC，\s\up8（→)）＝αeq\o(OA，\s\up8（→）)＋βeq\o(OB,\s\up8(→）），α＋β＝1,那么A，B,C三點(diǎn)是否共線？［提示]共線，因?yàn)榇嬖讦?，β∈R，使eq\o(OC，\s\up8(→)）＝αeq\o(OA，\s\up8(→）)＋βeq\o(OB,\s\up8(→)),且α＋β＝1，∴β＝1－α，∴eq\o(OC,\s\up8（→））＝αeq\o(OA，\s\up8（→）)＋(1－α)eq\o(OB，\s\up8(→)），∴eq\o（OC,\s\up8（→）)＝αeq\o（OA,\s\up8(→))＋eq\o（OB,\s\up8(→))－αeq\o(OB,\s\up8(→）)，∴eq\o(OC，\s\up8（→））－eq\o(OB,\s\up8（→）)＝α（eq\o（OA,\s\up8（→)）－eq\o(OB,\s\up8(→））），∴eq\o(BC,\s\up8（→)）＝αeq\o(BA，\s\up8（→))，∴A，B,C三點(diǎn)共線．【例3】如圖所示，已知△OAB中，點(diǎn)C是以A為對(duì)稱中心的B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，D是把eq\o（OB,\s\up8（→)）分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于E,設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o（OB，\s\up8(→)）＝b.（1）用a和b表示向量eq\o(OC，\s\up8(→)）,eq\o（DC，\s\up8（→))；(2)若eq\o（OE,\s\up8（→）)＝λeq\o(OA,\s\up8(→)），求實(shí)數(shù)λ的值．[思路點(diǎn)撥］由已知得A為BC中點(diǎn)，D為OB的三等分點(diǎn)，由向量的線性運(yùn)算法則可解第(1)問(wèn)，第(2）問(wèn)可由向量共線定理解決．[解](1）依題意,A是BC中點(diǎn)，∴2eq\o(OA,\s\up8（→))＝eq\o（OB，\s\up8(→)）＋eq\o（OC,\s\up8（→))，即eq\o（OC,\s\up8(→)）＝2eq\o(OA,\s\up8(→)）－eq\o（OB,\s\up8(→))＝2a－b，eq\o（DC,\s\up8(→）)＝eq\o（OC,\s\up8（→))－eq\o（OD,\s\up8（→）)＝eq\o(OC，\s\up8(→））－eq\f(2，3)eq\o（OB，\s\up8(→)）＝2a－b－eq\f（2，3)b＝2a－eq\f(5,3）b。(2)若eq\o（OE，\s\up8(→）)＝λeq\o(OA，\s\up8（→)）,則eq\o(CE,\s\up8(→））＝eq\o（OE,\s\up8(→))－eq\o(OC，\s\up8（→））＝λa－（2a－b）＝（λ－2）a＋b?！遝q\o（CE，\s\up8(→))與eq\o（DC,\s\up8(→)）共線，∴存在實(shí)數(shù)k,使eq\o(CE，\s\up8（→))＝keq\o（DC,\s\up8（→))，∴(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b)）,解得λ＝eq\f（4,5)。1．用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中;（2）然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理,用已知向量表示未知向量；（3)求解過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的化歸思想．2．若eq\o(OC,\s\up8(→)）＝xeq\o（OA,\s\up8（→））＋yeq\o（OB，\s\up8（→))，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是x＋y＝1.［跟進(jìn)訓(xùn)練］3．(1）設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up8(→）)＋eq\o(OC,\s\up8(→））＝－3eq\o（OB,\s\up8(→)),則△AOB與△AOC的面積之比為_(kāi)_______．（2)如圖，在?OADB中，設(shè)eq\o（OA,\s\up8（→））＝a，eq\o(OB,\s\up8（→）)＝b,eq\o(BM，\s\up8(→))＝eq\f（1，3）eq\o(BC，\s\up8(→))，eq\o(CN，\s\up8（→)）＝eq\f（1,3）eq\o（CD,\s\up8（→）)。試用a，b表示eq\o(MN，\s\up8（→)）＝________。(1)1∶3（2）eq\f(1,2）a－eq\f(1，6)b［（1）如圖，由平行四邊形法則，知eq\o（OA，\s\up8（→)）＋eq\o(OC，\s\up8（→））＝eq\o(OD,\s\up8（→）)，其中E為AC的中點(diǎn)．所以eq\o（OA,\s\up8(→）)＋eq\o（OC,\s\up8(→）)＝2eq\o(OE，\s\up8（→)）＝－3eq\o（OB,\s\up8（→））.所以eq\o（OB，\s\up8（→））＝－eq\f（2，3)eq\o（OE，\s\up8（→)）,｜eq\o(OB，\s\up8(→)）|＝eq\f（2,3)｜eq\o（OE,\s\up8（→））|。設(shè)點(diǎn)A到BD的距離為h，則S△AOB＝eq\f（1,2)｜eq\o（OB，\s\up8(→)）|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|eq\o(OE，\s\up8(→））｜·h.所以eq\f(S△AOB，S△AOC）＝eq\f(\f(1,2)｜\o(OB，\s\up8(→））｜·h，|\o（OE，\s\up8（→）)|·h)＝eq\f（\f(1，2）|\o(OB，\s\up8(→))｜,｜\o(OE,\s\up8（→）)｜)＝eq\f（1,2)×eq\f（2，3)＝eq\f（1,3）.（2）由題意知，在?OADB中，eq\o(BM,\s\up8（→))＝eq\f（1，3）eq\o(BC,\s\up8（→）)＝eq\f（1，6)eq\o（BA,\s\up8(→))＝eq\f(1，6)（eq\o（OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→））)＝eq\f（1，6)(a－b)＝eq\f(1，6)a－eq\f（1，6)b.則eq\o（OM，\s\up8(→））＝eq\o（OB,\s\up8(→）)＋eq\o（BM，\s\up8（→)）＝b＋eq\f（1,6）a－eq\f(1,6)b＝eq\f（1,6）a＋eq\f(5，6）b,eq\o（ON,\s\up8（→)）＝eq\f(2，3）eq\o（OD,\s\up8（→)）＝eq\f（2,3）(eq\o(OA，\s\up8（→））＋eq\o（OB，\s\up8(→）））＝eq\f（2,3)(a＋b)＝eq\f（2,3）a＋eq\f(2,3）b，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8（→）)＝eq\f(2,3)a＋eq\f（2,3）b－eq\f（1，6）a－eq\f（5，6)b＝eq\f（1,2）a－eq\f（1，6)b.］1．本節(jié)課的重點(diǎn)是向量的數(shù)乘運(yùn)算及共線向量定理,難點(diǎn)是共線向量定理的應(yīng)用．2．掌握與向量數(shù)乘運(yùn)算有關(guān)的三個(gè)問(wèn)題(1)向量的線性運(yùn)算；（2）用已知向量表示未知向量；（3)共線向量定理及應(yīng)用．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共線時(shí),eq\o(AB,\s\up8(→）)與eq\o（CD,\s\up8(→））共線；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的兩種方法（1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．5．注意以下結(jié)論的運(yùn)用（1)以AB,AD為鄰邊作?ABCD，且eq\o（AB，\s\up8（→)）＝a,eq\o（AD，\s\up8(→))＝b，則對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AC,\s\up8（→)）＝a＋b，eq\o(DB，\s\up8（→）)＝a－b.（2)在△ABC中，若D為BC的中點(diǎn)，則eq\o（AD，\s\up8（→））＝eq\f（1，2)(eq\o(AB，\s\up8（→））＋eq\o（AC，\s\up8（→）））．(3）在△ABC中，若G為△ABC的重心，則eq\o（GA，\s\up8(→））＋eq\o（GB,\s\up8（→))＋eq\o(GC,\s\up8(→)）＝0.（4)若eq\o（OC,\s\up8(→))＝xeq\o（OA,\s\up8(→)）＋yeq\o(OB，\s\up8（→))，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是x＋y＝1。1．已知m∈R,下列說(shuō)法正確的是()A．若ma＝0,則必有a＝0B．若m≠0，a≠0，則ma與a方向相同C．m≠0，a≠0，則｜ma｜＝m|a|D．若m≠0,a≠0，則ma與a共線D［A錯(cuò)．若ma＝0,則m＝0或a＝0；B錯(cuò)．m＞0時(shí)，ma與a同向,m＜0時(shí)，ma與a反向;C錯(cuò)．∵｜ma|＝｜m｜|a｜,∴m＞0時(shí),|ma｜＝m|a｜;m＜0時(shí),|ma|＝－m｜a|。］2．△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up8(→）)＝a,eq\o(AC