變截面梁剪應(yīng)力計(jì)算

第2章箱形梁計(jì)算理論2.1引言現(xiàn)行規(guī)范對(duì)梁的抗彎和抗剪設(shè)計(jì)的理論仍然采用經(jīng)典的梁理論，預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)剛構(gòu)的也不外乎。設(shè)計(jì)計(jì)算通常采用平面分析程序。對(duì)于梁的內(nèi)力計(jì)算有基于唯象理論材料力學(xué)方法，和基于線性偏微分方程組的邊值問題求解的彈性力學(xué)方法以及有限元法ME］。從唯象理論建立的材料力學(xué)方法遵循以下假設(shè)：a.連續(xù)性假設(shè)；b.均勻性假設(shè)；。.各向同性假設(shè)；d.小變形假設(shè)；e.平截面假定。通過微分方程求解的彈性力學(xué)方法與其不同之處在于不必遵守平截面假定，因?yàn)樗峭ㄟ^建立微元體外力和內(nèi)力平衡的平衡方程以及小變形的幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程來求解的。對(duì)于簡(jiǎn)單的典型的梁（比如高跨比不大的梁、截面規(guī)則的梁），材料力學(xué)雖然引入了平截面假定，但可以獲得誤差不大的解；而彈性力學(xué)可以獲得精確解，但其前提是邊界條件不復(fù)雜。對(duì)于深梁，材料力學(xué)的方法誤差較大，彈性力學(xué)求解結(jié)果表明截面變形不遵循平截面假定，豎向正應(yīng)力也不為零，存在擠壓應(yīng)力。下圖2-1是簡(jiǎn)支深梁在均布荷載作用下的應(yīng)力分布圖［18］。但是彈性力學(xué)方法對(duì)于我們的變截面箱形梁的求解就力不從心了。圖2-1均布荷載作用下矩形簡(jiǎn)支梁彈性解Fig.2-1Elasticsolutionofrectangularsimplebeamundertheofactionofuniformload預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)剛構(gòu)，從梁體混凝土受力來看，它不完全屬于梁，而屬于梁柱；從形態(tài)上來看，它截面復(fù)雜，用經(jīng)典的彈性力學(xué)方法難以求解，用材料力學(xué)方法勢(shì)必帶來誤差；從材料來看，它不完全屬于彈性體。因此，用平面程序進(jìn)行設(shè)計(jì)勢(shì)必帶來很大誤差。通過考慮材料非線性和破壞準(zhǔn)則的有限元實(shí)體分析法可以較為正確地反映預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)剛構(gòu)的力學(xué)行為。需要指出的是本文重點(diǎn)在于分析預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力，以及彎曲變形與

剪切變形之間的關(guān)系，對(duì)于箱梁在偏載作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力不做考慮。2.2箱梁截面的彎曲正應(yīng)力計(jì)算平面分析程序通常采用有效計(jì)算寬度法將箱形截面轉(zhuǎn)化為等效的工字形截面進(jìn)行彎曲正應(yīng)力計(jì)算［19］。其中有效寬度的折減系數(shù)的選取是根據(jù)不同跨徑的剪力滯效應(yīng)分析得到的保守的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。彎曲正應(yīng)力的推導(dǎo)采用等效后的截面按照材料力學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算，具體如下：(2-1)薄壁結(jié)構(gòu)彎曲(2-2)N,M-yb=—+Ab-1x2.3變截面箱梁的正截面剪應(yīng)力計(jì)算2.3.1箱形截面彎曲剪應(yīng)力計(jì)算理論(2-1)薄壁結(jié)構(gòu)彎曲(2-2)箱形截面計(jì)算在理論上屬于薄壁結(jié)構(gòu)的計(jì)算，根據(jù)文獻(xiàn)［2。］，剪應(yīng)力T計(jì)算如下：q=T(s)-1=-￡-S+Q-S)+(T(s)-1)IXIyA其中：t(s)一路徑上S點(diǎn)截面剪應(yīng)力；t一薄壁結(jié)構(gòu)壁厚；Q「Qy一薄壁結(jié)構(gòu)承受的剪力；Ix、Iy一路徑上S點(diǎn)對(duì)x軸、y軸的慣性矩；Sx、Sy一路徑上起點(diǎn)A到S點(diǎn)的面積對(duì)x軸、y軸的面積矩；(T(s)?8)一路徑上起點(diǎn)A處剪力流。A對(duì)于箱形截面而言屬于內(nèi)部超靜定問題，剪力流為零的點(diǎn)難以確定，需通過補(bǔ)充的變形協(xié)調(diào)條件才能求解。如圖2-2a)所示箱梁，在截面的任一點(diǎn)A切開。假設(shè)一未知剪力流qA，對(duì)已切開的截面可利用式(2-2)計(jì)算箱梁截面上各點(diǎn)的剪力流q。。由剪力流q。與qA的作用，在截面切開處的相對(duì)剪切變形為零，即：

山y(tǒng)dS=0（2-3）S此處dS是沿截面周邊量取的微分長(zhǎng)度，符號(hào)小S表示沿周邊積分一圈，剪應(yīng)變?yōu)椋憾袅α鱭1g（2-4）圖2-2單箱室截面彎曲剪應(yīng)力分析Fig.2-3Bendingshearstressanalysisof而剪力流q1g（2-4）圖2-2單箱室截面彎曲剪應(yīng)力分析Fig.2-3Bendingshearstressanalysisofsingle-boxsection(2-5)將式（2-4）與（2-5）代入式（2-3），則得:jq0+qadS=0St（2-6）Q*0，代入上式得:x]Q^dS+巾qdS=0stIsAtxqAQ幣qdS-T山s"x由史St（2-7）是，箱梁的彎曲剪應(yīng)力為:t=，=l（q+q）（2-8）mttoA從上面的計(jì)算推導(dǎo)我們可以看出，剪應(yīng)力的計(jì)算不能考慮翼緣板的作用，如果將箱形截面等效為工字形截面而忽略超靜定剪力部分，則可以確定剪力流為零的點(diǎn)（頂面線或者底面線）而進(jìn)行全截面簡(jiǎn)化計(jì)算。二者都有一定誤差，但是后者對(duì)于變截面箱梁的正截面剪應(yīng)力計(jì)算比較方便。2.3.2變截面彎曲剪應(yīng)力計(jì)算理論關(guān)于變截面梁剪應(yīng)力計(jì)算，一些科研工作者對(duì)其進(jìn)行了研究［21?23］在各自的假設(shè)下得到了剪應(yīng)力計(jì)算公式，經(jīng)過認(rèn)真研究推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［22］的推導(dǎo)比較全面而且合理。2.3.2.1計(jì)算假定在結(jié)構(gòu)中取長(zhǎng)度為dx的梁段，如圖2-3所示。各項(xiàng)假定如下:a）坐標(biāo)軸方向及各符號(hào)的正方向均如圖2-3所示，其中軸力N以壓為正，剪力Q以順時(shí)針方向?yàn)檎?，彎矩M以使截面下緣受拉為正；b）軸力N在dx段不變；c）頂板厚度不變；d）把上、下梗掖簡(jiǎn)化計(jì)入頂、底板中；e）正應(yīng)力計(jì)算符合平截面假定，正應(yīng)力方向平行于X軸。圖2-3變截面梁剪應(yīng)力計(jì)算示意圖Fig.2-4Schematicplanofnon-uniformbeamshearstresscalculation

2.3.2.2剪應(yīng)力計(jì)算公式基本推導(dǎo)自梁體中取兩相鄰截面mn和m^,并用平行于X軸的平面ab切出mm1ba為隔離體進(jìn)行計(jì)算，另:(2-9)D=j。(N+〃).b(j)(2-9)其中：b（j）-y處梁體橫向合計(jì)寬度;N、M—作用在計(jì)算截面上的軸力和彎矩;A、I一全截面面積及截面慣性矩;A「S1—計(jì)算截面內(nèi)自計(jì)算部位至上邊緣間面積及其對(duì)重心軸的面積矩(2-10(2-10)b.dx-t=dD11dD

t1bdx式中：b—計(jì)算截面ab處2倍腹板厚度將（2-9）代入（2-10）中得:1(NdAAdN_NAdAMIdSSdMMSdIbA1(NdAAdN_NAdAMIdSSdMMSdIbAdxAdxA2dx1+1dxIdx12dx)(2-11)根據(jù)假定N在dx范圍內(nèi)無變化，即華=0；dx以dx微段為研究對(duì)象對(duì)截面重心01點(diǎn)取矩得:dM=Qdx+Ndx-tgadM八=Q+Ntgadx(2-12)將（2-12）代入（2-11）中得:1rNdANAdAMdS心\ST1=b'A?lx一*?d+丁無+°+Ntg以)112dxMSdi—JN(1dAAdAS)1+—tga+——

b"AdxA2dxIJbM(1dSQS1NCMC1Ib121dAadASC1Idx—1-AQS1NCMC1Ib121dAadASC1Idx—1-A2~T~VtgdxI/b1dSSdIC21dxTI2-/bdx(2-13)圖2-4變截面梁剪應(yīng)力計(jì)算示意圖Fig.2-5Schematicplanofnon-uniformbeamshearstresscalculation1.tg的計(jì)算tgdGd7,其中G截面重心—At

Ac2dGdhdxdGdhdxhdxGddxGdBGdbBdxbdxBbdbhbdGbA-下A

G!里G_A“hbgbA-空AG1uA1BI"B""bA-G'-A-G'-A2SABG1u八A1ddhdGh1bAbbA1121hdGShd1—腹A12AbGhditgdGdxA〒tg項(xiàng)空tg'S2—底tg

ABtgdGdxA〒tg項(xiàng)空tg'S2—底tg

ABS2%tgAbtgi(2-14)如果腹板沿縱向厚度不變，則該項(xiàng)為零，如按圖2-4線性變化，算方法：AAydb1C1dAdbmyd丁dx1dx2yd]tgtg13.牛的計(jì)算dxAACBbhd1dAAdAdBAdbAdhdxdxBdxbdxhdxdB,,db,Btg'hdbtgdx1dxBtg'2tg2hdtgtgbtg則有如下計(jì)(2-15)(2-16)4.竺的計(jì)算

dx(d\,一、「一=AG—才+b(y-d1)G-Ck271k5.dSdGdSdb+1,-dbdxdS1=1.dxdGdx=I"A+b(y-d)]tg^+(y-d)Cii=Atga+(y-d)i一di一馬的計(jì)算dxx2(tgy+tgyi)X2(tgy+tgy])fd￥bvc、/=，Ai+AifG-』+3[(G-di)+G3dididGdi=,+dxdGdxdG'di無(2-17)dG'did8didBdidb+——,+?+dxd8dxdBdxdbdx=2AG-Ad+bG2-2bdG+bd2iiiii=2AfG-4]+-(G-d)2ik272i=2S上difbG'2A8、四=bG-2+2B8G-B82=2+AG」A-=2SdGk2227下S上=S下di_didG—諾坐=B82+BG2-2BG-+3B82=B82+BGj2BG8d844=B(82+G2-2G-)=2S空di83f8A2dB=i2+8kG」2Jdidb-d)i+G3didGdG'd6_I_I―^=2S下――+2S下-d~+2S空---2-底tgy+2-腹\tgy+tg邛1)(2-18)-2S^tgP+2SKtg8」2■底tgY+2~腹(tgY+tgY「2.3.2.4實(shí)用剪應(yīng)力計(jì)算公式把tga、@、dA、兌、幺用已知量表達(dá)式（2-13）后:dxdxdxdx1f1dA_AdAS、bVAdxA2dxI'7C=1f1吃—%當(dāng)2bVIdx12dx7AASStga=才tgp+貢tgp'—2ABtgy+2-bItgy+tgy1)C=-i<dA-=2(y—?)(tgy+tgy1)dL=BtgP'—26tgy+2(h—d)(tgy+tgy)+btgP理i=Atga+2(y—d)dx11{tgY+J了=2Stgp+2Stgp'—2^底tgy+2-腹(tgy+tgy)idx下空Bb1式中:T一剪應(yīng)力，順時(shí)針為正;Q、N、M一驗(yàn)算截面的剪力、軸力、彎矩，其正方向如圖2-3所示;A、I、b一驗(yàn)算截面的截面