全國(guó)注冊(cè)電氣工程師考試供配電基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)課件三

1.6概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.1概率論的基本概念1隨機(jī)試驗(yàn):概率論里所研究的試驗(yàn)有下列特點(diǎn):在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性,而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果1.6.1概率論的基本概念1.隨機(jī)事件2樣本空間:給定一個(gè)試驗(yàn),所有可能的結(jié)果的全體構(gòu)成一個(gè)集合,這個(gè)集合稱作樣本空間,用大寫的希臘字母表示,這個(gè)樣本空間中的每一個(gè)元素也稱作此樣本空間的一個(gè)樣本點(diǎn),可以用小寫的希臘字母表示.隨機(jī)事件:隨機(jī)事件就是樣本空間的子集,或者說(shuō)事件就是試驗(yàn)結(jié)果的集合,通常用大寫英文字母A,B,C,…等表示.3幾個(gè)特殊的事件基本事件:只包括一個(gè)樣本點(diǎn),或者說(shuō)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的事件稱為基本事件.必然事件:包括整個(gè)樣本空間的所有元素的事件,或者就用表示,則每次試驗(yàn)必然發(fā)生,因此稱為必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次試驗(yàn)一定不會(huì)發(fā)生,稱為不可能事件,用表示,則={}.4事件的包含事件的關(guān)系事件的相等事件的并(和)事件的交(積)對(duì)立事件事件的差互不相容事件5完備事件組若事件A1,A2,…,An為兩兩互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組或構(gòu)成一個(gè)劃分.最常用的完備事件組是某事件A與它的逆6例1擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)事件A表示"奇數(shù)點(diǎn)",事件B表示"點(diǎn)數(shù)小于5",C表示"小于5的偶數(shù)點(diǎn)".用集合的列舉表示法表示下列事件:7解:={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5}B={1,2,3,4} C={2,4}A+B={1,2,3,4,5} AB={5}BA={2,4} AB={1,3}AC=

C-A={2,4}8例2從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取出的產(chǎn)品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有兩次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.9解:三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有兩次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品:102.概率給定事事件A,存在著著一個(gè)個(gè)正數(shù)數(shù)P與之對(duì)對(duì)應(yīng),稱之為為事件件A的概率率,記作P(A)或P{A}.最高的的發(fā)生生概率率為1,表示必必然發(fā)發(fā)生.最低的的概率率為0,表示不不可能能發(fā)生生.而一般般的隨隨機(jī)事事件的的概率率介于于0與1之間.113.古典概型有一類試驗(yàn)驗(yàn)的特點(diǎn)是是:(1)每次試驗(yàn)只只有有限種種可能的試試驗(yàn)結(jié)果(2)每次試驗(yàn)中中,各基本事件件出現(xiàn)的可可能性完全全相同.具這兩個(gè)特特點(diǎn)的試驗(yàn)驗(yàn)稱為古典典概型試驗(yàn)驗(yàn).在古典概型型的試驗(yàn)中中,如果總共有有n個(gè)可能的試試驗(yàn)結(jié)果,因此每個(gè)基基本事件發(fā)發(fā)生的概率率為1/n,如果事件A包含有m個(gè)基本事件件,則事件A發(fā)生的概率率則為m/n.12放回抽樣假設(shè)一副牌牌有52張,將它們編號(hào)號(hào)為1,2,……,52.每次抽出一一張觀察后后再放回去去(這樣下一次次這張牌仍仍有機(jī)會(huì)被被抽到),這叫放回抽抽樣.假設(shè)共抽了了5次,共有多少種種可能的抽抽法?第一次有52種抽法,在第一次的的每一種抽抽法中,第二次又有有52種抽法,…,因此抽5次共有5252525252=525種抽法.一般地,從n個(gè)元素中進(jìn)進(jìn)行m次放回抽樣樣,則共有nm種抽法.13不放回抽樣樣(排列)還是這52張牌,每次抽出一一張,但不放回,則第二次抽抽時(shí)只有51張牌,第三次就只只有50張牌.如果這樣抽抽5次,就共有5251504948=52!/47!種抽法一般地,從N個(gè)元素中抽抽取n個(gè)(nN),共有14不放回抽樣樣(組合)如果從N個(gè)元素中不不放回抽樣樣n個(gè),但不關(guān)心其其順序,比如說(shuō)(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被視作一樣樣,則稱為組合合,因此,組合的數(shù)目目要比排列列的數(shù)目小小n!倍,記作15例3袋內(nèi)裝有5個(gè)白球,3個(gè)黑球,從中任取兩兩個(gè)球,計(jì)算取出的的兩個(gè)球都都是白球的的概率.16例4一批產(chǎn)品共共200個(gè),廢品有6個(gè),求(1)這批產(chǎn)品的的廢品率;(2)任取3個(gè)恰有一個(gè)個(gè)是廢品的的概率;(3)任取3個(gè)全非廢品品的概率解設(shè)P(A),P(A1),P(A0)分別表示(1),(2),(3)中所求的概概率,則17加法法則兩個(gè)互不相相容(互斥)事件之和的的概率等于于它們的概概率的和.即當(dāng)AB=時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)實(shí)際上,只要P(AB)=0,上式就成立立.18如果n個(gè)事件A1,A2,…,An互不相容,則P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)A1A2A3A419若n個(gè)事件A1,A2,…,An構(gòu)成一完備備事件組,則它們的概概率的和為為1,即P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特別地,兩個(gè)對(duì)立事事件概率之之和為1,即A1A2A3A4AA20例如擲擲3次硬幣,求至少一一次正面面朝上的的概率.解:假設(shè)A={至少一次次正面},則A={全是反面面},只包含一一個(gè)基本本事件.基本事件件總數(shù)為為23=8,因此經(jīng)常有一一些概率率論的較較難的題題,直接計(jì)算算某事件件的概率率困難,因此考慮慮先求此此事件的的逆事件件的概率率21例5產(chǎn)品有一一,二等品及及廢品3種,若一,二等品率率分別為為0.63及0.35,求產(chǎn)品的的合格率率與廢品品率.解令事事件A表示產(chǎn)品品為合格格品,A1,A2分別表示示一,二等品.顯然A1與A2互不相容容,并且A=A1+A2,則P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.9822例6一個(gè)袋內(nèi)內(nèi)裝有大大小相同同的7個(gè)球,4個(gè)是白球球,3個(gè)為黑球球.從中一次次抽取3個(gè),計(jì)算至少少有兩個(gè)個(gè)是白球球的概率率.解設(shè)事事件Ai表示抽到到的3個(gè)球中有有i個(gè)白球(i=2,3),顯然A2與A3互不相容容,且23定義在事件B已經(jīng)發(fā)生生的條件件下,事件A發(fā)生的概概率,稱為事件件A在給定B下的條件件概率,簡(jiǎn)稱為A對(duì)B的條件概概率,記作P(A|B).相應(yīng)地,把P(A)稱為無(wú)條條件概率率.4.條件概率率與乘法法法則24乘法法則則兩個(gè)事件件A,B之交的概概率等于于其中任任一個(gè)事事件(其概率不不為零)的概率乘乘以另一一個(gè)事件件在已知知前一個(gè)個(gè)事件發(fā)發(fā)生下的的條件概概率,即P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)25例710個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到難簽簽,甲,乙都抽到難簽簽,甲沒(méi)抽到難簽簽而乙抽到難難簽以及甲,乙,丙都抽到難簽簽的概率.解設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙乙丙各抽到難難簽26全概率定理如果事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備備事件組,并且都具有正正概率,則對(duì)任意一事事件B有用全概率定理理來(lái)解題的思思路,從試驗(yàn)的角度度考慮問(wèn)題,一定是將試驗(yàn)驗(yàn)分為兩步做做,將第一步試驗(yàn)驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果果分為一些完完備事件組A1,A2,…,An,然后在這每一一事件下計(jì)算算或給出某個(gè)個(gè)事件B發(fā)生的條件概概率,最后用全概率率公式綜合27貝葉斯定理若A1,A2,…,構(gòu)成一個(gè)完備備事件組,并且它們都具具有正概率,則對(duì)于任何一一個(gè)概率不為為零的事件B,有貝葉斯定理解解題的題型與與全概率定理理的題型完全全一樣,只是要求的是是一個(gè)條件概概率,是在信息論中中的重要公式式,即在二次試驗(yàn)驗(yàn)后,觀察者只能看看到最后的結(jié)結(jié)果事件B,卻要根據(jù)B來(lái)推斷第一步步試驗(yàn)的哪個(gè)個(gè)事件發(fā)生了了的條件概率率P40例1-4428在使用全概率率公式和貝葉葉斯公式的題題型中,關(guān)鍵的一步是是要使用一完完備事件組,而最常用的完完備事件組,是一事件A與它的逆A構(gòu)成的完備事事件組,這時(shí)的全概率率與貝葉斯公公式為,(應(yīng)在考試前專專門將它們記記住).295.事件的獨(dú)立性性定義如果事件A發(fā)生的可能性性不受事件B發(fā)生與否的影影響,即P(A|B)=P(A),則稱事件A對(duì)于事件B獨(dú)立.30由此定義及條條件概率P(A|B)的定義有31如A與B獨(dú)立,則32例8甲,乙,丙3部機(jī)床獨(dú)立工工作,由一個(gè)工人照照管,某段時(shí)間內(nèi)它它們不需要工工人照管的概概率分別為0.9,0.8及0.85.求在這段時(shí)間間內(nèi)有機(jī)床需需要工人照管管的概率以及及機(jī)床因無(wú)人人照管而停工工的概率.解用事件A,B,C分別表示在這這段時(shí)間內(nèi)機(jī)機(jī)床甲,乙,丙不需工人照照管.依題意A,B,C相互獨(dú)立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85則這段時(shí)間內(nèi)內(nèi)有機(jī)床需要要工人照管的的概率為33而當(dāng)至少有兩兩部機(jī)床需要要照管的時(shí)候候,就有機(jī)床因無(wú)無(wú)人照管而停停工了,這樣的事件是是34按取值情況可可將隨機(jī)變量量分為兩類:(1)離散型隨機(jī)變變量只可能取有限限個(gè)或無(wú)限可可列個(gè)值.(2)非離散型隨機(jī)機(jī)變量可能取任何實(shí)實(shí)數(shù).而非離散型隨隨機(jī)變量中最最常用的為連續(xù)型隨機(jī)變變量.1.6.2一維隨機(jī)變量量及數(shù)字特征征1.隨機(jī)變量的概概念(p42)352.離散型隨機(jī)變變量的分布36定義如如果隨機(jī)變變量x只取有限個(gè)或或可列個(gè)可能能值,而且以確定的的概率取這些些不同的值,則稱x為離散性隨機(jī)機(jī)變量.為直觀起見(jiàn),將x可能取的值及及相應(yīng)概率列列成概率分布表如下xx1x2…xk…Pp1p2…pk…此外,x的概率分布情情況也可以用用一系列等式式表示:P(x=xk)=pk(k=1,2,……)這被稱作隨機(jī)機(jī)變量x的概率函數(shù)(或概率分布)37例9一批產(chǎn)品的廢廢品率為5%,從中任意抽取取一個(gè)進(jìn)行檢檢驗(yàn),用隨機(jī)變量x來(lái)描述廢品出出現(xiàn)的情況.并寫出x的分布.解用x表示廢品的個(gè)個(gè)數(shù),則它只能取0或1兩個(gè)值."x=0"表示"產(chǎn)品為合格","x=1"表示"產(chǎn)品為廢品",則概率分布表表如下x01P0.950.05即P{x=0}=0.95,P{x=1}=0.05,或可寫為P{x=k}=0.05k0.951-k(k=0,1)38隨機(jī)變量的分分布函數(shù)定義若x是一個(gè)隨機(jī)變變量(可以是離散型型的,也可以是非離離散型的),對(duì)任何實(shí)數(shù)x,令F(x)=P(xx)稱F(x)是隨機(jī)變量x的分布函數(shù)39例10求本節(jié)例1中的分布函數(shù)數(shù)x01P0.950.05其分布函數(shù)為為解在例1中x的概率函數(shù)如如下表所示:40分布函數(shù)與概概率函數(shù)滿足足關(guān)系:由于P(x1<x2)=F(x2)-F(x1)因此,若已知的分布函數(shù)數(shù)F(x),就能知道在任何一個(gè)個(gè)區(qū)間上取取值的概率率,從這個(gè)意義義上說(shuō),分布函數(shù)完完整地描述述了隨機(jī)變變量的變化化情況41分布函數(shù)F(x)具有如下幾幾個(gè)性質(zhì):42兩點(diǎn)分布:只有兩個(gè)可可能取值的的隨機(jī)變量量所服從的的分布,稱為兩點(diǎn)分分布.其概率函數(shù)數(shù)為P(x=xk)=pk(k=1,2)概率分布表表為:xx1x2Pp1p2430-1分布:只取0和1兩個(gè)值的隨隨機(jī)變量所所服從的分分布稱為0-1分布.其概率函數(shù)數(shù)為P(x=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分布表表為:x01P1-pp44連續(xù)型隨機(jī)機(jī)變量的分分布離散型隨機(jī)機(jī)變量，用用概率函數(shù)數(shù)來(lái)描述即即簡(jiǎn)單又直直觀。對(duì)于連續(xù)型型隨機(jī)變量量也希望有有一種比分分布函數(shù)更更直觀的描描述方式。。這就是““概率密度函函數(shù)”45定義對(duì)于于連續(xù)型隨隨機(jī)變量x,如果存在一一定義在(-,+)上的非負(fù)函數(shù)(x),對(duì)于任意實(shí)實(shí)數(shù)x都有(x)0,且滿足,x落在任意區(qū)區(qū)間內(nèi)的概概率為j(x)在此區(qū)間的的積分,即則稱j(x)為x的概率密度函函數(shù).46用概率密度度函數(shù)計(jì)算算x落在任何區(qū)區(qū)間內(nèi)的概概率如下圖所所示意.abx0j(x)P(axb)47概率密度度函數(shù)的的兩個(gè)性性質(zhì)(1)(x)048概率密度度函數(shù)(x)與分布函函數(shù)F(x)的關(guān)系為為x0j(x)x49例11已知連續(xù)續(xù)型隨機(jī)機(jī)變量x有概率密密度求系數(shù)k及分布函函數(shù)F(x),并計(jì)算P(1.5<x<2.5)解因50則j(x)及其圖形形如下120xj(x)51x當(dāng)x<0時(shí),120xj(x)52x當(dāng)0<x<2時(shí),120xj(x)53當(dāng)x>2時(shí),x120xj(x)54綜合前面面最后得得120xF(x)55120xj(x)120xF(x)將概率密密度函數(shù)數(shù)j(x)與分布函函數(shù)F(x)對(duì)照56現(xiàn)根據(jù)概概率密度度函數(shù)和和分布函函數(shù)分別別計(jì)算概概率P{1.5<x<2.5}根據(jù)分布布函數(shù)計(jì)計(jì)算:P{1.5<x<2.5}=P{1.5<x2.5}-P(x=2.5)=F(2.5)-F(1.5)-0=1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625根據(jù)概率率密度函函數(shù)進(jìn)行行計(jì)算則則是574.隨機(jī)變量量的數(shù)字字特征通常求出出隨機(jī)變變量的分分布并不不是一件件容易的的事,而人們更更關(guān)心的的是用一一些數(shù)字字來(lái)表示示隨機(jī)變變量的特特點(diǎn),這些與隨隨機(jī)變量量有關(guān)的的數(shù)字,就是隨機(jī)機(jī)變量的的數(shù)字特特征.最常用的的數(shù)字特特征為數(shù)數(shù)學(xué)期望望,方差和相相關(guān)系數(shù)數(shù).58數(shù)學(xué)期望望數(shù)學(xué)期望望是任何何一個(gè)隨隨機(jī)變量量的最重重要的也也被最廣廣泛使用用的數(shù)學(xué)學(xué)特征,英文是expectation,另一種叫叫法為均均值(meanoreveragevalue)它的實(shí)際際意義就就是平均均值.但屬于一一種更為為嚴(yán)格的的平均值值,和本書后后面講到到的統(tǒng)計(jì)計(jì)平均值值有一些些小差別別.59定義假設(shè)離散散型隨機(jī)機(jī)變量x有概率函函數(shù)P{x=xk}=pk(k=1,2,...),若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂斂,則稱這級(jí)級(jí)數(shù)為x的數(shù)學(xué)期期望,簡(jiǎn)稱期望望或均值值,記為Ex,即60例若x服從0-1分布,其概率函函數(shù)為P{x=k}=pk(1-p)1-k(k=0,1),求Ex解Ex=0(1-p)+1p=p61例12甲乙兩名名射手在在一次射射擊中得得分(分別用x,h表示)的分布律律如下表表所示,試比較甲甲,乙兩射手手的技術(shù)術(shù).解Ex=10.4+20.1+30.5=2.1Eh=10.1+20.6+30.3=2.2這表明,如果進(jìn)行行多次射射擊,他們得分分的平均均值分別別是2.1和2.2,故乙射手手較甲射射手的技技術(shù)好.x123P0.40.10.5h123P0.10.60.362定義設(shè)連續(xù)型型隨機(jī)變變量x有概率密密度j(x),若積分63例13計(jì)算在區(qū)區(qū)間[a,b]上服從均均勻分布布的隨機(jī)機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期期望.解依題題意,64數(shù)學(xué)期期望的的性質(zhì)質(zhì)常量的的期望望就是是這個(gè)個(gè)常量量本身身,即E(c)=c.(2)隨機(jī)變變量x與常量量c之和的的數(shù)學(xué)學(xué)期望望等于于x的期望望與這這個(gè)常常量c的和E(x+c)=Ex+c(3)常量c與隨機(jī)機(jī)變量量x的乘積積等于于這個(gè)個(gè)常量量與此此隨機(jī)機(jī)變量量的期期望的的乘積積,(cx)=cEx(4)隨機(jī)變變量的的線性性函數(shù)數(shù)的數(shù)數(shù)學(xué)期期望等等于這這個(gè)隨隨機(jī)變變量期期望的的同一一線性性函數(shù)數(shù),即E(kx+c)=kEx+c65(5)兩個(gè)隨隨機(jī)變變量之之和的的數(shù)學(xué)學(xué)期望望等于于這兩兩個(gè)隨隨機(jī)變變量數(shù)數(shù)學(xué)期期望之之和.E(x+h)=Ex+Eh(6)兩個(gè)相相互獨(dú)獨(dú)立隨隨機(jī)變變量乘乘積的的數(shù)學(xué)學(xué)期望望等于于它們們數(shù)學(xué)學(xué)期望望的乘乘積,即E(xh)=ExEh66例14某種無(wú)無(wú)線電電元件件的使使用壽壽命x是一個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量,其概率率密度度為其中l(wèi)>0,求這種種元件件的使使用壽壽命.67方差68如果x是離散散型隨隨機(jī)變變量,并且P{x=xk}=pk(k=1,2,...),則可見(jiàn)隨隨機(jī)變變量的的方差差是非非負(fù)數(shù)數(shù),Dx0,常量的的方差差是零零.當(dāng)x的可能能值密密集在在它的的期望望值Ex附近時(shí)時(shí),方差較較小,反之則則方差差較大大.因此方方差的的大小小可以以表示示隨機(jī)機(jī)變量量分布布的離離散程程度69例15計(jì)算參參數(shù)為為p的0-1分布的的方差差解根根據(jù)x的概率率函數(shù)數(shù)P{x=1}=pP{x=0}=1-p=q則Ex=0q+1p=pDx=(0-p)2q+(1-p)2p==p(pq+q2)=pq(p+q)=pq=p(1-p)Ex=pDx=pq70方差的的性質(zhì)質(zhì)常量的的方差差等于于零(2)隨機(jī)變變量與與常量量之和和的方方差就就等于于這個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量的方方差本本身(3)常量與與隨機(jī)機(jī)變量量乘積積的方方差,等于這這常量量的平平方與與隨機(jī)機(jī)變量量方差差的乘乘積.(4)兩個(gè)獨(dú)獨(dú)立隨隨機(jī)變變量之之和的的方差差,等于這這兩個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量方差差的和和71計(jì)算Ex2的辦法法:(5)任意隨隨機(jī)變變量的的方差差等于于這個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量平方方的期期望與與其期期望平平方之之差,即Dx=Ex2-(Ex)272例16計(jì)算在在區(qū)間間[a,b]上服從從均勻勻分布布的隨隨機(jī)變變量x的方差差.解已已知x的概率率密度度為在3.1例4中已算算出Ex=(a+b)/273定義如果隨隨機(jī)變變量x有概率率函數(shù)數(shù)其中0<p<1,q=1-p,則稱x服從參參數(shù)為為n,p的二項(xiàng)項(xiàng)分布布.簡(jiǎn)記作作x~B(n,p).5.幾種重重要的的分布布(1)二項(xiàng)分分布74例17某工廠廠每天天用水水量保保持正正常的的概率率為3/4,求最近6天內(nèi)用水量量正常的天天數(shù)的分布布.解設(shè)最近近6天內(nèi)用水量量保持正常常的天數(shù)為為x,則x~B(6,0.75),因此75其分布表如如下表所示示x0123456P0.00020.00440.0330.13180.29660.3560.178分布圖:76二項(xiàng)分布的的期望和方方差77例某班有學(xué)生生23名,其中有5名女同學(xué),今從班上任任選4名學(xué)生去參參觀展覽,被選到的女女同學(xué)數(shù)x是一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量,求x的分布.解x可取0,1,2,3,4,這5個(gè)值,相應(yīng)概率為為(2)超幾何分布布78概率分布表表為x01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布圖圖為:79定義設(shè)N個(gè)元素分為為兩類,有N1個(gè)元素屬于于第一類,N2個(gè)元素屬于于第二類(N1+N2=N).從中按不重重復(fù)抽樣取取n個(gè),令x表示這n個(gè)中第一(或二)類元素的個(gè)個(gè)數(shù),則x的分布稱為為超幾何分分布.其概率函數(shù)數(shù)為:80根據(jù)概率分分布的性質(zhì)質(zhì),必有81超幾何分布布的數(shù)學(xué)期期望和方差差82定義如果隨機(jī)變變量x的概率函數(shù)數(shù)是(3)普哇松(Poisson)分布83普哇松分布布的數(shù)學(xué)期期望和方差差84例17檢查了100個(gè)零件上的的疵點(diǎn)數(shù),結(jié)果如下表表:疵點(diǎn)數(shù)0123456頻用普哇松松分布公式式計(jì)算疵點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的分布布,并與實(shí)際檢檢查結(jié)果比比較.解85計(jì)算出來(lái)的的圖表如下下所示:疵點(diǎn)數(shù)0123456頻率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.1350.2710.2710.180.090.0360.0186(4)指數(shù)分布定義如隨機(jī)變量量x的概率密度度為87指數(shù)分布的的分布函數(shù)數(shù)88對(duì)任何實(shí)數(shù)數(shù)a,b(0a<b),有指數(shù)分布的的數(shù)學(xué)期望望和方差：：Ex=l-1Dx=l-289例18某元件壽命命x服從參數(shù)為為l(l-1=1000小時(shí))的指數(shù)分布布,3個(gè)這樣的元元件使用1000小時(shí)后,都沒(méi)有損壞壞的概率是是多少?P(x>1000)=1-P(x1000)=1-F(1000)=e-1各元件壽命命相互獨(dú)立立,因此3個(gè)這樣的元元件使用1000小時(shí)都未損損壞的概率率為e-3(約為0.05).解指數(shù)數(shù)分布的分分布函數(shù)為為90定義如果果連續(xù)型隨隨機(jī)變量x的概率密度度為其中s,m為常數(shù),并且s>0,則稱x服從正態(tài)分布,簡(jiǎn)記作x~N(m,s2).特別地,當(dāng)m=0,s=1時(shí),稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布,其概率密度記為為j0(x),這時(shí)x~N(0,1).(5)正態(tài)分布91j0(x)的圖形xj0(x)01-192j0(x)除一般概率密度度的性質(zhì)外,還有下列性質(zhì)(1)j0(x)有各階導(dǎo)數(shù)(2)j0(-x)=j0(x),偶函數(shù)(3)在(,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0,)嚴(yán)格下降.在x=0處達(dá)到最大值:(4)在x=1處有兩個(gè)拐點(diǎn);(5)x軸是j0(x)的水平漸近線93Ex=m正態(tài)分布的數(shù)學(xué)學(xué)期望和方差94一般正態(tài)分布與與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布的關(guān)系定理1如果x~N(m,s2),h~N(0,1),其概率密度分布布記為j(x)和j0(x),分布函數(shù)分別記記為F(x)及F0(x),則95定理2如果x~N(m,s2),而h=(x-m)/s,則h~N(0,1)96例19x~N(0,1),求P(x1.96),P(x-1.96),P(|x|1.96),P(-1<x2),P(x5.9).解P(x1.96)=0.975=F0(1.96)P(x-1.96)=P(x1.96)=1-P(x<1.96)=1-0.975=0.025=1-F0(1.96)P(|x|1.96)=P(-1.96x1.96)=F0(1.96)-F0(-1.96)=2F0(1.96)-1=0.95P(-1<x2)=F0(2)-F0(-1)=F0(2)-[1-F0(1)]=0.81855P(x5.9)=F0(5.9)=197概括起來(lái),如果x~N(0,1),則98例20x~N(m,s2),P(x-5)=0.045,P(x3)=0.618,求m及s99總體樣本統(tǒng)計(jì)計(jì)量1.6.3數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本本概念1.基本概念100數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)務(wù)在概率論的各個(gè)個(gè)題目中,隨機(jī)變量的分布布往往是知道的的,是通過(guò)某些已知知的信息計(jì)算另另一些信息.而在實(shí)際中,經(jīng)常是有一個(gè)我我們關(guān)心的總體體X,我們即不知道它它的分布,也不知道它的數(shù)數(shù)學(xué)期望和方差差.但是,我們可以對(duì)其進(jìn)進(jìn)行反復(fù)地試驗(yàn)驗(yàn),則試驗(yàn)n次,得到n個(gè)樣本值,這n個(gè)樣本值可以看看作是對(duì)n個(gè)與總體分布相相同的樣本進(jìn)行行觀察而獲得的的.101樣本均值102樣本方差103定理1設(shè)(X1,X2,...,Xn)是取自正態(tài)總體體N(m,s2)的樣本,若2.常用的重要結(jié)論論104這個(gè)定理是為解解決這樣的問(wèn)題題105定理2設(shè)X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立,Xi~N(0,1),i=1,2,...,n,則即n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的隨機(jī)變量的平平方和服從n個(gè)自由度的c2(n)分布106定理3設(shè)(X1,X2,...,Xn)是取自正態(tài)總體體N(m,s2)的樣本,則有107此定理的用處在在于108定理4設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量量x與h相互獨(dú)立,并且x~N(0,1),h~c2(n),則109推論設(shè)(X1,X2,...,Xn)是取自正態(tài)總體體N(m,s2)的樣本,110此推論的意義在在于111定理5設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量量x1和x2相互獨(dú)立,且x1~c2(n1),x2~c2(n2),則有112推論設(shè)設(shè)X1,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Ym分別來(lái)自兩個(gè)個(gè)相互獨(dú)立的的正態(tài)總體1131.6.4參數(shù)估計(jì)人們經(jīng)常遇到到的問(wèn)題是如如何選取樣本本以及根據(jù)樣樣本來(lái)對(duì)總體體的種種統(tǒng)計(jì)計(jì)特征作出判判斷。實(shí)際際工作中碰到到的隨機(jī)變量量(總體)往往是分布類類型大致知道道,但確切的形式式并不知道,亦即總體的參參數(shù)未知.要求出總體的的分布函數(shù)F(x)(或密度函數(shù)j(x)),就等于要根據(jù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)計(jì)出總體的參參數(shù).這類問(wèn)題稱為為參數(shù)估計(jì).1141.參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)計(jì)（1）矩估計(jì)法115(2)最大似然估計(jì)計(jì)法現(xiàn)在要根據(jù)從從總體x中抽到的樣本本(X1,X2,...,Xn),對(duì)總體分布中中的未知參數(shù)數(shù)q進(jìn)行估計(jì).最大似然法是是要選取這樣樣的估計(jì)值,當(dāng)它作為q的估計(jì)值時(shí),使觀察結(jié)果出出現(xiàn)的可能性性最大.對(duì)于離散型的的隨機(jī)變量就就是估計(jì)概率率函數(shù)中的參參數(shù)q,對(duì)于連續(xù)型的的隨機(jī)變量就就是估計(jì)概率率密度中的q.116設(shè)x為連續(xù)型隨機(jī)機(jī)變量,它的分布函數(shù)數(shù)是F(x;q),概率密度是j(x;q),其中q是未知參數(shù),可以是一個(gè)值值,也可以是一個(gè)個(gè)向量,由于樣本的獨(dú)獨(dú)立性,則樣本(X1,X2,...,Xn)的聯(lián)合概率密密度是對(duì)每一取定的的樣本值x1,x2,...,xn是常數(shù),L是參數(shù)q的函數(shù),稱L為樣本的似然函數(shù)117設(shè)x為離散型隨機(jī)機(jī)變量,有概率函數(shù)P(x=xi)=p(xi;q),則似然函數(shù)118最大似然估計(jì)計(jì)值119例21已知x1,x2,...,xn為x的一組樣本觀觀察值,求q的最大似然估估計(jì).120解似然函數(shù)數(shù)121例22已知x服從正態(tài)分布布N(m,s2),(x1,x2,...,xn)為x的一組觀察值值,用最大似然估估計(jì)法估計(jì)m,s2的值.122解似然方程組組123例23求普哇松分布布中參數(shù)l的最大似然估估計(jì).解已知總體體x的概率函數(shù)為為124因此1251262.參數(shù)的區(qū)間估估計(jì)用點(diǎn)估計(jì)來(lái)估估計(jì)總體參數(shù)數(shù),即使是無(wú)偏有有效的估計(jì)量量,也會(huì)由于樣本的隨隨機(jī)性,從一個(gè)樣本算得估估計(jì)量的值不一定定恰是所要估計(jì)的的參數(shù)真值.而且,即使真正相等,由于參數(shù)值本身是是未知的,也無(wú)從肯定這種相相等.到底二者相差多少少呢?這個(gè)問(wèn)題換一種提提法就是,根據(jù)估計(jì)量的分布布,在一定的可靠程度度下,指出被估計(jì)的總體體參數(shù)所在的可能能數(shù)值范圍.這就是參數(shù)的區(qū)間間估計(jì)問(wèn)題.127區(qū)間估計(jì)的具體做做法是,找兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量128區(qū)間估計(jì)示意圖1-aa/2a/21-a為置信系數(shù),置信概率或置信度a為檢驗(yàn)水平129(1)總體分布未知利用切貝謝夫不等等式進(jìn)行估計(jì).因?yàn)閷?duì)任何隨機(jī)變變量x(不論它的分布如何何),只要Ex,Dx存在,對(duì)任給的正數(shù)e>0,滿足130從總體x中抽取樣本(X1,X2,...,Xn),131若要求132一般地,若要求133切貝謝夫區(qū)間估計(jì)計(jì)示意圖1-aa/2a/2134例24某燈泡廠某天生產(chǎn)產(chǎn)了一大批燈泡,從中抽取了10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn),得數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)):

1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200已知其方差Dx=8,試找出燈泡的平均均壽命區(qū)間(a=5%).135(2)正態(tài)總體136則137例如,當(dāng)a=0.05時(shí),ua=1.96,有138查表示意圖x0a/21-a/2ua139例25某燈泡廠某天生產(chǎn)產(chǎn)了一大批燈泡,假設(shè)燈泡的壽命x服從正態(tài)分布,x~N(m,8),從中抽取了10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn),得數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)):

1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200,試找出平均壽命區(qū)區(qū)間(a=0.05).解因?yàn)閍=0.05,所以u(píng)a=1.96,而n=10,s=2.8284140例26已知某煉鐵廠的鐵鐵水含碳量在正常常生產(chǎn)情況下服從從正態(tài)分布,其方差s2=0.1082.現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水,其平均含碳量為為4.484.按此資料計(jì)算該該廠鐵水平均含含碳量的置信區(qū)區(qū)間,并要求有95%的可靠性.解設(shè)該廠鐵水水平均含碳量為為m,已知a=5%,所以u(píng)a=1.96,m的置信系數(shù)為95%的置信區(qū)間是141引例1拋擲一枚硬幣100次,"正面"出現(xiàn)了40次,問(wèn)這枚硬幣是否否勻稱?若用x描述拋擲一枚硬硬幣的試驗(yàn),"x=1"及"x=0"分別表示"出現(xiàn)正面"和"出現(xiàn)反面",上述問(wèn)題就是要要檢驗(yàn)x是否服從p=1/2的0-1分布?1.6.5假設(shè)檢驗(yàn)142引例2從1975年的新生兒(女)中隨機(jī)地抽取20個(gè),測(cè)得其平均體重重為3160克,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克.而根據(jù)過(guò)去統(tǒng)計(jì)計(jì)資料,新生兒(女)平均體重為3140克.問(wèn)現(xiàn)在與過(guò)去的的新生兒(女)體重有無(wú)顯著差差異(假設(shè)新生兒體重重服從正態(tài)分布布)?若把所有1975年新生兒(女)體重體現(xiàn)為一個(gè)個(gè)總體x,問(wèn)題就是判斷Ex=3140是否成立?143引例3在10個(gè)相同的地塊上上對(duì)甲,乙兩種玉米進(jìn)行行對(duì)比試驗(yàn),得如下資料(單位:公斤)甲95196610081082983乙730864742774990從直觀上看,二者差異顯著.但是一方面由于于抽樣的隨機(jī)性性,我們不能以個(gè)別別值進(jìn)行比較就就得出結(jié)論;另一方面直觀的的標(biāo)準(zhǔn)可能因人人而異.因此這實(shí)際上需需要比較兩個(gè)正正態(tài)總體的期望望值是否相等.144這種作為檢驗(yàn)對(duì)對(duì)象的假設(shè)稱為為待檢假設(shè),通常用H0表示.例如,引例1的假設(shè)是H0:x~B(1,0.5)引例2的假設(shè)是H0:Ex=3140引例3的假設(shè)是H0:EX=EY(X與Y是兩種玉米的產(chǎn)產(chǎn)量期望值)如何根據(jù)樣本的的信息來(lái)判斷關(guān)關(guān)于總體分布的的某個(gè)設(shè)想是否否成立,也就是檢驗(yàn)假設(shè)設(shè)H0成立與否的方法法.145置信區(qū)間方法用置信區(qū)間的方方法進(jìn)行檢驗(yàn),基本思想是這樣樣的:首先設(shè)想H0是真的成立;然后考慮在H0條件下,已經(jīng)觀測(cè)到的樣樣本信息出現(xiàn)的的概率.如果這個(gè)概率很很小,這就表明一個(gè)概概率很小的事件件在一次試驗(yàn)中中發(fā)生了.而小概率原理認(rèn)認(rèn)為,概率很小的事件件在一次試驗(yàn)中中是幾乎不可能能發(fā)生的,也就是說(shuō)導(dǎo)出了了一個(gè)違背小概概率原理的不合合理的現(xiàn)象.這表明事先的設(shè)設(shè)想H0是不正確的,因此拒絕原假設(shè)設(shè)H0.否則,不能拒絕H0.146至于什么算是"概率很小",在檢驗(yàn)之前都事事先指定.比如概率為5%,1%等,一般記作a.a是一個(gè)事先指定定的小的正數(shù),稱為顯著性水平或檢驗(yàn)水平.147兩類錯(cuò)誤由于人們作出判判斷的依據(jù)是樣樣本,也就是由部分來(lái)來(lái)推斷整體,因而假設(shè)檢驗(yàn)不不可能絕對(duì)準(zhǔn)確確,它也可能犯錯(cuò)誤誤.其可能性的大小小,也是以統(tǒng)計(jì)規(guī)律律性為依據(jù)的,所可能犯的錯(cuò)誤誤有兩類.第一類錯(cuò)誤是:原假設(shè)H0符合實(shí)際情況,而檢驗(yàn)結(jié)果把它它否定了,這稱為棄真錯(cuò)誤誤.第二類錯(cuò)誤是:原假設(shè)H0不符合實(shí)際情況況,而檢驗(yàn)結(jié)果把它它肯定下來(lái)了,這稱為取偽錯(cuò)誤誤.148一個(gè)正態(tài)總體的的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體為x~N(m,s2).關(guān)于總體參數(shù)m,s2的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題題,一般有下列四種種:(1)已知方差s2,檢驗(yàn)假設(shè)H0:m=m0;(2)未知方方差s2,檢驗(yàn)假假設(shè)H0:m=m0;(3)未知期期望m,檢驗(yàn)假假設(shè)H0:s2=s02;(4)未知期期望m,檢驗(yàn)假假設(shè)H0:s2s02;其中H0中的s02,m0都是已已知數(shù)數(shù).149方差已已知對(duì)對(duì)期望望值m的檢驗(yàn)驗(yàn)步驟驟:(