高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.1直線與平面垂直的判定課件新人教A版必修

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定

直線與平面垂直如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂

直,記作①

l⊥α

.直線l叫做平面α的②垂線

,平面α叫做直線l的③

垂面

.

直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做④

垂足

.

直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條

⑤

相交

直線都垂直,則該直

線與此平面垂直

?l⊥α

直線與平面所成的角定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的⑦

銳角

,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角范圍(1)一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們

所成的角是⑧

0°

的角;(2)一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是

⑨

直角

;(3)直線與平面所成的角θ的取值范圍是⑩0°≤

θ≤90°

圖形表示

判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”.1.若直線l垂直于平面α,則l與平面α內(nèi)的直線可能相交,可能異面,也可能平行.

(

?)l與平面α內(nèi)的所有直線都垂直,所以l與平面α內(nèi)的直線不可能平行.2.若a∥b,a?α,l⊥α,則l⊥b.

(√)3.若a⊥b,b⊥α,則a∥α.

(

?)a也可能在平面α內(nèi).4.直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條直線,則直線l垂直于平面α.

(

?)直線l必須垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線,才有l(wèi)垂直于平面α.5.直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線l垂直于平面α.

(

?)若平面α內(nèi)與直線l垂直的無數(shù)條直線都互相平行,則不能說明直線l垂直于平面α.

證明直線與平面垂直的常用方法

1.利用直線與平面垂直的定義,即證明直線a垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線,從而

得到直線a⊥平面α(一般不易驗(yàn)證任意性).2.利用直線與平面垂直的判定定理,即證明一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直

線都垂直,則該直線與此平面垂直,簡記為“線線垂直?線面垂直”(a⊥b,a⊥c,b

?α,c?α,b∩c=M?a⊥α).3.利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì),即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一

個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面(a∥b,b⊥α?a⊥α).4.如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面(a⊥α,α∥β?a⊥β).5.證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形,尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直

關(guān)系,進(jìn)而證明線面垂直.三角形全等,等腰三角形底邊的中線、高,菱形、正方形

的對(duì)角線,三角形中的勾股定理的逆定理等都是找線線垂直的方法.

如圖,在三棱錐A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD于點(diǎn)E,作AH⊥BE于點(diǎn)H.求

證:AH⊥平面BCD.思路點(diǎn)撥要證AH⊥平面BCD,只需證AH垂直于平面BCD內(nèi)的兩條相交直線.當(dāng)條件中有線

段相等時(shí),證明線線垂直可以考慮利用等腰三角形的性質(zhì).證明

如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接CF,DF.因?yàn)镃A=CB,DA=DB,所以CF⊥AB,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因?yàn)镃D?平面CDF,所以AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,所以CD⊥平面ABE.因?yàn)锳H?平面ABE,所以CD⊥AH.因?yàn)锳H⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.

直線與平面所成的角的求法

求斜線與平面所成的角的步驟:(1)作角:作(或找)出斜線在平面上的射影,將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為

平面角(斜線與射影所成的銳角).(2)證明:證明該平面角就是斜線與平面所成的角.(3)計(jì)算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中點(diǎn),求直線AE與平面ABC1D1所

成角的正弦值.

思路點(diǎn)撥取CD的中點(diǎn)F,連接EF,交平面ABC1D1于點(diǎn)O,連接AO,B1C,則∠EAO即為直線AE

與平面ABC1D1所成的角,將線面角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題求解即可.解析

如圖,取CD的中點(diǎn)F,連接EF,交平面ABC1D1于點(diǎn)O,連接AO,B1C.易得B1C⊥BC1,又B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,BC1,D1C1?平面ABC1D1,∴B1C⊥平面ABC1D1.由E,F分別為A1B1,CD的中點(diǎn),得EF∥B1C,∴EF⊥平面ABC1D1,∴∠EAO為直線AE