【金版學(xué)案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)名師講義第六章第九節(jié)數(shù)學(xué)歸納法理

第九節(jié)數(shù)學(xué)概括法認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概括法的原理，能用數(shù)學(xué)概括法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.知識(shí)梳理數(shù)學(xué)概括法：關(guān)于某些與正整數(shù)n相關(guān)的命題經(jīng)常采納下邊的方法來(lái)證明它的正確0時(shí)命題建立；而后假定當(dāng)*0性．先證明當(dāng)n取第一個(gè)值nn＝k(k∈N，k≥n)時(shí)命題建立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也建立．這類證明方法就叫做數(shù)學(xué)概括法．用數(shù)學(xué)概括法證明一個(gè)與正整數(shù)(或自然數(shù))相關(guān)的命題的步驟：(1)(概括奠定)證明當(dāng)n取第一個(gè)值0(比如0＝1，0＝2等)時(shí)結(jié)論正確；nnn*0n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正(2)(概括遞推)假定當(dāng)n＝k(k∈N，且k≥n)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)確．n開始的全部正整數(shù)n都正確．由(1)，(2)可知，命題關(guān)于從0用數(shù)學(xué)概括法來(lái)證明與正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意：遞推基礎(chǔ)不行少，概括假定要用到，結(jié)論寫明莫忘記．基礎(chǔ)自測(cè)1．(2013·深圳月考)用數(shù)學(xué)概括法證明“2n>n2＋1關(guān)于n≥n0的正整數(shù)n都建立”時(shí)，第一步證明中的開端值n0應(yīng)取()A．2B．3C．5D．6分析：當(dāng)n≤4時(shí)，2n>2＋1不建立，≥5時(shí)，2n>2＋1建立，所以取0＝5.nnnn答案：C2．以下代數(shù)式中(此中k∈N*)，能被9整除的是()kk－1A．6＋6×7B．2＋7C．3(2＋7k)D．2(2＋7k＋1)k分析：(1)當(dāng)k＝1時(shí)，明顯只有3(2＋整除．7)能被9假定當(dāng)k＝n(n∈N*)命題建立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)36，這就說(shuō)明，當(dāng)k＝n＋1時(shí)命題也建立．應(yīng)選C.答案：C1111113113．(2013·廈門質(zhì)檢)察看以下不等式：1>2，1＋2＋3>1,1＋2＋3＋＋7>2，1＋2＋3＋11115*＋15>2,1＋2＋3＋＋31>2，，由此猜想第n個(gè)不等式為________(n∈N)．分析：3＝2－3－1,15＝24111n21,7＝2－1，可猜想：1＋＋＋＋n>.232－12111n答案：1＋2＋3＋＋2n－1>214．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且Sn＝n(2n－1)an，經(jīng)過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是________．111211311n1.2n＋131×3153×5355×72n－1答案：an＝12n－12n＋111．已知f(x)＝2x－x.若x≥1時(shí)，證明：f(x)≥lnx；111n＋1)＋n≥1)．(2)證明：1＋＋＋＋>ln((23n2n＋1n證明：(1)設(shè)g(x)＝f(x)－lnx1111x2－2x＋1222222xx22xxx－1＝≥0(x≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上單一遞加，即當(dāng)x≥1時(shí)，g(x)≥g(1)＝0，2x2即f(x)≥lnx.1111(2)(法一)由(1)有f(x)＝2x－x≥lnx(x≥1)，且當(dāng)x＞1時(shí)，2x－x＞lnx.k＋1k＋11＋1k111令x＝k，有l(wèi)nk＜2k－k＋1＝21＋k－1－k＋1，111即ln(k＋1)－lnk＜2k＋k＋1，k＝1,2,3，，n.將上述n個(gè)不等式挨次相加，得ln(n＋1)＜1＋1＋1＋＋1＋1.223n2n＋1111n整理得1＋2＋3＋＋n＞ln(n＋1)＋2n＋1.(法二)用數(shù)學(xué)概括法證明．1當(dāng)n＝1時(shí)，左側(cè)＝1，右側(cè)＝ln2＋4＜1，不等式建立．假定n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式建立，即111k＋1)＋2k1＋2＋3＋＋k＞ln(k＋1.1111k＋1)＋2k1那么n＝k＋1時(shí)，1＋2＋3＋＋k＋k＋1＞ln(k＋1＋k＋1＝ln(k＋1)＋k＋2.2k＋111≥lnx(x≥1)．由(1)有f(x)＝x－x2k＋21k＋2k＋1k＋2令x＝k＋1，得2k＋1－k＋2≥lnk＋1＝ln(k＋2)－ln(k＋1)．∴l(xiāng)n(k＋1)＋k＋2≥ln(k＋2)＋k＋1.2k＋1k＋221111k＋1∴1＋2＋3＋＋k＋k＋1＞ln(k＋2)＋2k＋2.這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也建立．依據(jù)(1)，(2)，可知不等式對(duì)任何n∈N*都建立．2．(2012·綱領(lǐng)全國(guó)卷)函數(shù)f(x)＝x2－2x－3.定義數(shù)列{xn}以下：x1＝2，xn＋1是過(guò)兩點(diǎn)P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．證明：2≤xn<xx＋1<3；求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式．證明：由于f(4)＝42－8－3＝5，故點(diǎn)P(4,5)在函數(shù)f(x)的圖象上，故由所給出的兩點(diǎn)P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直線PQn斜率必定存在.故有直線PQn的直線方程為y－5fx－52－2x－8－54x＋3nnn·(x－4)?xn＋2＝x－4?n＝xn－4·(x－4)．令y＝0，可求得－5＝xn－4x＝xn＋2.4xn＋3所以xn＋1＝xn＋2.下邊用數(shù)學(xué)概括法證明2≤xn<3.①當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝2，知足2≤x1<3.②假定n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，2≤xk<3建立，則當(dāng)

n＝＋1時(shí)，k＋1＝4xk＋3＝4－5，kxxk＋2xk＋255115由2≤xk<3?xk＋2<5?1<xk＋2≤4?2<4≤4－xk＋2<3即2≤xk＋1<3也建立．綜上可知，2≤x<3對(duì)隨意正整數(shù)恒建立．n下邊證明xn<xn＋1：224xn＋3－xn－1＋44xn＋3－xn－2xn由xn＋1－xn＝xn＋2－xn＝xn＋2＝xn＋2，由2≤xn<3?0<－(xn－1)2＋4≤3，故有xn＋1－xn>0，即xn<xn＋1.綜合①②可知，2≤xn<xn＋1<3恒建立．3＋4xn分析：由(1)及題意得xn＋1＝2＋xn.設(shè)b151111nn＝＋1，＋＝5＋，4n＋1nn＋1n1135的等比數(shù)列．所以數(shù)列bn＋4是首項(xiàng)為－4，公比為所以113n－14，b＋＝－·5，即bn＝－n－1＋n所以數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝3－4(*．n－1∈N)3·5＋1n1．察看下表：123434567456789設(shè)第n行的各數(shù)之和為S，則S＝______________.nn分析：第一行，1＝12，第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，概括：第n行的各數(shù)之和n＝(2－1)2.Sn答案：(2n－1)2)＝ax2．(2013·揭陽(yáng)一模改編)已知函數(shù)f(xa(x>0，a為常數(shù))，數(shù)列{n}知足：11＋xaa1，an＋1＝f(an)，n∈N*.2當(dāng)a＝1時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；在(1)的條件下，證明對(duì)?n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋＋anan＋1an＋2＝12nn＋5.n＋2＋3n(1)分析：當(dāng)a＝1時(shí)，an＋1＝f(an)＝n，兩邊取倒數(shù)，得11a－＝1，故數(shù)列1＋anan＋1an以1＝2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以1＝n＋1，an＝1，n∈N*.a1an＋1n1證明：(法一)由(1)知an＝n＋1，故對(duì)k＝1,2,3，，aak＋ak＋＝1＝k12k＋1k＋3k＋211－12k＋1k＋2k＋2k＋3所以a1a2a3＋a2a3a4＋＋anan＋1an＋211111＝2－－＋＋2×33×4＋3×44×51－1＋1n＋2n＋2＋3nn11－1nn＋5.n＋2n＋3＝12n＋2n＋3＝22×3(法二)①當(dāng)＝1時(shí)，等式左側(cè)＝1＝1，n2×3×4241×1＋51等式右側(cè)＝12×1＋21＋3＝24，左側(cè)＝右側(cè)，等式建立；②假定當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)等式建立，kkk＋2＝12kk＋5，即a1a2a3＋a2a3a4＋＋aa＋1ak＋2k＋3則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a＋aaaaaa＋aaa＋＋aa123234kk＋1k＋2k＋1k＋2k＋3＝12kk＋5＋1k＋2k＋3k＋2k＋3k＋4＝12kk＋5k＋4＋12＝12k3＋9k2＋20k＋12