高中數(shù)學(xué)第3章不等式331從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程第一冊(cè)數(shù)學(xué)案

3.3從函數(shù)看法看一元二次方程和一元二次不等式從函數(shù)看法看一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)1．理解函數(shù)零點(diǎn)的看法．(要點(diǎn))經(jīng)過以一元二次方程研究函數(shù)的零點(diǎn)的學(xué)習(xí)，2．能依據(jù)“兩個(gè)二次”之間的關(guān)系研究函培育數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算修養(yǎng)．?dāng)?shù)的零點(diǎn)．(要點(diǎn)、難點(diǎn))函數(shù)與方程有著必定的聯(lián)系，請(qǐng)?jiān)囋囘_(dá)成以下兩個(gè)表格；并思慮它們有著如何的聯(lián)系？a>0a<0一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象一元一次方程y＝ax＋b的根＝>0<00二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點(diǎn)1．二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)自變量

x的值，即二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與

x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也稱為二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(

a≠0)的零點(diǎn)．提示：函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)，是函數(shù)的圖象與

x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；也是函數(shù)值為零時(shí)自變量的

x的值，也是函數(shù)相應(yīng)的方程相異的實(shí)數(shù)根．2．當(dāng)

a>0時(shí)，一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

的根、二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖象、二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)之間的關(guān)系以下表所示：鑒別式＝b2－4ac>0＝0<0有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)方程ax2＋bx＋c＝根x1,2＝有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根b0(a>0)的根－±b2－4acx1,2＝－2ab2a二次函數(shù)y＝ax2＋bxc(a>0)的圖象有兩個(gè)零點(diǎn)x1,2＝二次函數(shù)y＝ax2＋bxb－b±b2－4ac有一個(gè)零點(diǎn)x＝－2a無零點(diǎn)＋c(a>0)的零點(diǎn)2a1．函數(shù)y＝x2＋4x－5的零點(diǎn)為()A．－5和1B．(－5,0)和(1,0)C．－5D．1[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]2．函數(shù)

y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

．2[由

x2＋2ax－a2－1＝0得

＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，因此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．]3．函數(shù)y＝x2＋2x－1的零點(diǎn)在區(qū)間(n，n＋1)(n∈Z)，則n的取值會(huì)合為．{－3,0}2解得x＝－1－2，x＝－1＋2，由于－1－2∈(－3，12－2)，－1＋2∈(0,1)，因此n的取值會(huì)合為{－3,0}．]求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】求以下函數(shù)的零點(diǎn)．y＝3x2－2x－1；y＝ax2－x－a－1(a∈R)；y＝ax2＋bx＋c,其圖象以下圖．[思路點(diǎn)撥](1)直接解出相應(yīng)方程的根．(2)對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a分a＝0，a≠0兩類進(jìn)行議論，當(dāng)a≠0時(shí)，還要比較兩根的大?。?3)依據(jù)相應(yīng)函數(shù)的圖象，找到其與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．[解](1)由3x212的零點(diǎn)為1121和－3．(2)(ⅰ)當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，因此函數(shù)的零點(diǎn)為－1．2a＋1(ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí)，由ax－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝a，x2＝－1．a(chǎn)＋12a＋1又a－(－1)＝a，1①當(dāng)a＝－2時(shí)，x1＝x2＝－1，函數(shù)有獨(dú)一的零點(diǎn)－1．1a＋1②當(dāng)a≠－2且a≠0時(shí)，x1≠x2，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)－1和a．1綜上：當(dāng)a＝0或2時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為－1．1a＋1當(dāng)a≠－2且a≠0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)－1和a．(3)由函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1和3，因此該函數(shù)的零點(diǎn)為－1和3．1．求函數(shù)的零點(diǎn)就是解相應(yīng)的方程，相應(yīng)方程互異的實(shí)根就是函數(shù)的零點(diǎn)．2．函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點(diǎn)．3．求含有參數(shù)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)分類議論的步驟：若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，則議論二次項(xiàng)系數(shù)能否為零；若二次項(xiàng)系數(shù)不是零，議論對(duì)應(yīng)方程的根的鑒別式的符號(hào)，判斷方程能否有實(shí)數(shù)．若能夠因式分解，則必定存在零點(diǎn)．若二次項(xiàng)系數(shù)不是零，且相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，議論相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根能否相等．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求以下函數(shù)的零點(diǎn)．y＝2x2－3x－2；y＝ax2－x－1；y＝ax2＋bx＋c,其圖象以下圖．[解]2解得x＝2，x＝－12的零點(diǎn)為2xx2121和－2．(2)(ⅰ)當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，因此函數(shù)的零點(diǎn)為－1．2(ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí)，由ax－x－1＝0得＝1＋4a，1當(dāng)<0，即a<－4時(shí)，相應(yīng)方程無實(shí)數(shù)根，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)＝0，即a＝－1時(shí)，x1＝x2＝－2，函數(shù)有獨(dú)一的零點(diǎn)－2．4②當(dāng)12得x＝1±1＋4a>0，即a>－4時(shí)，由ax－x－1＝01,22a，1＋1＋4a1－1＋4a函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2a和2a．綜上：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為－1；1當(dāng)a＝－4時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為－2；1

1＋

1＋4a

1－

1＋4a當(dāng)a>－4時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

2a

和

2a

；1當(dāng)a<－4時(shí)，相應(yīng)方程無實(shí)數(shù)根，函數(shù)無零點(diǎn)．(3)由函數(shù)的圖象與

x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－

3和

1，因此該函數(shù)的零點(diǎn)為－

3和

1．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的論證與研究【例

2】

若a>2，求證：函數(shù)

y＝

(

a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個(gè)零點(diǎn)．[思路點(diǎn)撥

]

要證明二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

需要證明一元二次方程

(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．[證明]

觀察一元二次方程

(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，由于

＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(

a＋2)，又a>2，因此>0，因此函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個(gè)零點(diǎn)．2－2(a－2)x－4有零點(diǎn)的充要條件．(變題)求函數(shù)y＝(a－2)x[解][必需性]由于函數(shù)＝(－2)2－2(－2)x－4有零點(diǎn)，yaxa當(dāng)a＝2時(shí)，方程(－2)2－2(a－2)x－4＝0無解．函數(shù)無零點(diǎn)；ax當(dāng)a≠2時(shí)，由于函數(shù)y＝(－2)x2－2(－2)x－4有零點(diǎn)，因此方程(－2)x2－2(a－aaa2)x－4＝0有實(shí)數(shù)根．因此＝4(－2)2＋16(－2)＝4(－2)(a＋2)≥0，aaaa－2≥0，a－2≤0，≤－2，即或解得≥2或a＋2≥0a＋2≤0，又a≠2，因此a>2或a≤－2，因此函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點(diǎn)，則a>2或a≤－2．[充分性]當(dāng)a>2或a≤－2時(shí)，對(duì)于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，因此函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點(diǎn)．綜上函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點(diǎn)的充要條件是a>2或a≤－2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋ca≠0的零點(diǎn)的論證對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的鑒別式＝b2－4ac.>0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋ca≠0有兩個(gè)零點(diǎn).2＝0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c≠0有一個(gè)零點(diǎn).a3<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c≠0無零點(diǎn).a[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．求證：函數(shù)y＝ax2－x－a(a∈R)有零點(diǎn)．[證明]當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－x，該函數(shù)有零點(diǎn)0；當(dāng)a≠0時(shí)，對(duì)于一元二次方程ax2－x－a＝0，＝1＋4a2>0，函數(shù)y＝ax2－x－a有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)y＝ax2－x－a(a∈R)有零點(diǎn)．二次函數(shù)的零點(diǎn)散布研究【例3】(1)判斷二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)能否存在零點(diǎn)；(2)若二次函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的兩個(gè)零點(diǎn)均為正數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥](1)直接求出函數(shù)的零點(diǎn)，再加以判斷．聯(lián)合相應(yīng)一元二次方程的鑒別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究．[解](1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋2，2＝－1－2，由于－3<－1－2<－2，x因此二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零點(diǎn)．由于函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的兩個(gè)零點(diǎn)均為正數(shù)，因此(－2)x2－2(－2)x－4＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根．明顯≠2．a(chǎn)aa由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得＝4a－2＋2>0，a12－2a－2＝2>0，a>2或a<－2，即a－2a<2，41x2＝2a－2>0，因此

a<－2．即實(shí)數(shù)

a的取值范圍

(－∞，－

2)．1．二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點(diǎn)的散布研究聯(lián)合一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的鑒別式

＝b2－4ac

和根與系數(shù)的關(guān)系辦理>0，(1)x＋x>0，?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個(gè)正零點(diǎn)．12x1x2>0>0，(2)x1＋x2<0，?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)．x1x2>0x1x2<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)．2．二次函數(shù)的零點(diǎn)假如能夠求出，再研究其散布就很方便．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知函數(shù)y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．(1)若該函數(shù)有兩個(gè)正的零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，此外一個(gè)小于1，求a的取值范圍．[解]法一：由x2－－a2＋＝0得x1＝a，x2＝1－，xaaa>0，111－>0，(1)由于該函數(shù)有兩個(gè)正的零點(diǎn)，因此解得0<a<2或2<a<1，aa≠1－a，11因此a的取值范圍是0<a<2或2<a<1．(2)由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，此外一個(gè)小于1，a≠1－a，a≠1－a，因此a>1，或1－a>1，解得a>1或．a(chǎn)<01－a<1a<1，因此a的取值范圍是a>1或a<0．法二：(1)由于該函數(shù)有兩個(gè)正的零點(diǎn)，該函數(shù)其相應(yīng)方程為x2－x－a2＋a＝0，＝1－4－a2＋a＝2a－12>0，因此112x＋x＝2>0，x1x2＝－a2＋a>0，11解得0<<或<<1，a22a因此a的取值范圍是110<<或<<1．a(chǎn)22a(2)方程x2－x－a2＋a＝0中＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，設(shè)其兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1＋x2＝1，則x1x2＝－a2＋a，由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，此外一個(gè)小于1，因此(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，因此(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．因此

a的取值范圍是

a>1或

a<0．1．求函數(shù)的零點(diǎn)，能夠聯(lián)合相應(yīng)函數(shù)的圖象，看其與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也能夠直接解相應(yīng)的方程，求出其不相等的實(shí)數(shù)根；對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的議論，能夠著手從參數(shù)能否影響方程的次數(shù)、方程根的存在性、方程根的大小等方面確立分類議論的標(biāo)準(zhǔn)．2．二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的論證實(shí)質(zhì)上就是論證相應(yīng)一元二次方程的根的鑒別式與0的大小關(guān)系．3．二次函數(shù)零點(diǎn)的散布研究，能夠先解出相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，再判斷，也能夠研究相應(yīng)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．1．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)(－3,0)，對(duì)稱軸為x＝A1．給出下邊四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b．此中正確的結(jié)論是( )A．②④

B．①④C．②③

D．①③B[由于二次函數(shù)的圖象與

x軸交于兩點(diǎn)，因此

b2－4ac>0，即

b2>4ac，①正確；對(duì)稱b軸為

x＝－1，即－

2a＝－1,2

a－b＝0，②錯(cuò)誤；聯(lián)合圖象，當(dāng)

x＝－1時(shí)，y>0，即

a－b＋c>0，③錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)圖象張口向下，因此a<0，因此5a<2a，即5a<b，④正確．應(yīng)選B．]2．已知函數(shù)y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y＝3，無零點(diǎn)，當(dāng)a≠0時(shí)，由2ax－a＋3＝0得，x＝a－3a－3a>0時(shí)－2<－3<2，解得a>1；當(dāng)a<0時(shí)，－，因此－1<<1，當(dāng)2a2aaaa2a>a－3>2a，解得a<－3，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]3．已知p：對(duì)于x的方程ax2＋bx＋c＝