河北聯(lián)合大學(xué)輕工學(xué)院機(jī)器人基礎(chǔ)微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣

第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣第3節(jié)雅克比矩陣的性質(zhì)

第五章

微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣*機(jī)器人研究所2第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分運(yùn)動(dòng):指機(jī)器人的微小運(yùn)動(dòng)（推導(dǎo)不同桿件間的速度關(guān)系），而微分關(guān)系是指微分運(yùn)動(dòng)與速度之間的關(guān)系。機(jī)械手的變換主要包括平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、。將變換的變量進(jìn)行微分就可以表示為微分平移和微分旋轉(zhuǎn)。*機(jī)器人研究所3第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移*機(jī)器人研究所4第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)*機(jī)器人研究所5第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)*機(jī)器人研究所6第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換

已知坐標(biāo)系{T}，相對(duì)于參考坐標(biāo)系變換T+dT可表示為從上式解出dT(微分變換矩陣)*機(jī)器人研究所7第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換

已知坐標(biāo)系{T}，相對(duì)于{T}坐標(biāo)系變換T+dT可表示為從上式解出dT*機(jī)器人研究所8第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換將微分平移和微分旋轉(zhuǎn)帶入到和中：*機(jī)器人研究所9第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換繞矢量K的微分旋轉(zhuǎn)等價(jià)于分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸x，y，z分別旋轉(zhuǎn)(弧度)，即帶入到Δ中*機(jī)器人研究所10第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標(biāo)系之間的變換同理可得*機(jī)器人研究所11第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量寫成矩陣形式：相對(duì)于{T}坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量微分平移矢量微分旋轉(zhuǎn)矢量*機(jī)器人研究所12第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)例題1：已知坐標(biāo)系{A}和對(duì)基坐標(biāo)系的微分平移與微分旋轉(zhuǎn)分別為求微分變換dA*機(jī)器人研究所13第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)解：由，則*機(jī)器人研究所14第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)解：*機(jī)器人研究所15第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)矢量D在不同坐標(biāo)系中的表示是不同的，在一個(gè)坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動(dòng)給出后，如何求出在另一個(gè)坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動(dòng)？*機(jī)器人研究所16第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換由于*機(jī)器人研究所17第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換矩陣相乘，可得又由的定義式*機(jī)器人研究所18第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換兩矩陣對(duì)應(yīng)元素相等式中，R為旋轉(zhuǎn)變換矩陣；S(p)矩陣為*機(jī)器人研究所19第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換例題2：已知坐標(biāo)系{A}和對(duì)基坐標(biāo)系的微分平移與微分旋轉(zhuǎn)分別為求對(duì)坐標(biāo)系{A}的等價(jià)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)。*機(jī)器人研究所20第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：旋轉(zhuǎn)矩陣R為S(p)矩陣為*機(jī)器人研究所21第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：先求矩陣-RTS(p)*機(jī)器人研究所22第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：再帶入公式中*機(jī)器人研究所23第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：對(duì)坐標(biāo)系{A}的等價(jià)微分平移和微分旋轉(zhuǎn)分別為*機(jī)器人研究所24第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：下面來(lái)驗(yàn)證例題1所求結(jié)果由，則先求*機(jī)器人研究所25第1節(jié)機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換解：下面來(lái)驗(yàn)證例題1所求結(jié)果由，則*機(jī)器人研究所26第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義操作臂的雅克比矩陣:為操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性關(guān)系。操作臂的運(yùn)動(dòng)方程代表操作空間X與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系將上式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得出q與X的微分關(guān)系*機(jī)器人研究所27第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義稱為機(jī)器人末端在操作空間的廣義速度，為關(guān)節(jié)速度；為的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為雅克比矩陣。*機(jī)器人研究所28第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：R-P平面機(jī)械手如圖所示，有兩個(gè)關(guān)節(jié)，一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)(θ)，一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)(r)。運(yùn)動(dòng)方程為*機(jī)器人研究所29第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：將方程兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到操作速度與關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系*機(jī)器人研究所30第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：表示成矢量形式為末端抓手的操作速度矢量；為關(guān)節(jié)速度矢量；為雅克比矩陣。*機(jī)器人研究所31第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：由式，可以解出關(guān)節(jié)速度稱為逆雅克比矩陣。*機(jī)器人研究所32第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：當(dāng)時(shí)，逆矩陣不存在，與操作速度對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)速度可能變?yōu)椴桓F大。這種形位稱為奇異狀態(tài)。奇異狀態(tài)*機(jī)器人研究所33第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題2：平面2R機(jī)械手，有兩個(gè)平行的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為將等式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：(x,y)*機(jī)器人研究所34第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題2：*機(jī)器人研究所35第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題2：判斷機(jī)器人的奇異狀態(tài)當(dāng)或時(shí)，，機(jī)器人處于奇異狀態(tài)。*機(jī)器人研究所36第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣2.雅克比矩陣的求法*機(jī)器人研究所37第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣2.雅克比矩陣的求法對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)i因此得到雅克比矩陣的第i列表示坐標(biāo)系{i}的Z軸單位向量。*機(jī)器人研究所38第2節(jié)機(jī)器人的雅克比矩陣2.雅克比矩陣的求法對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i，在末端抓手上產(chǎn)生的角速度為同時(shí)在抓手上產(chǎn)生的線速度為

表示末端抓手坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的位置在基坐標(biāo)系{0}的表示，*機(jī)器人研究所39第2節(jié)機(jī)器人的雅克